2017-2018学年高中数学(人教版必修五)教师文档:第一章+§1.2 应用举例+(三)+Word版含答案


学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公 式的简单推导和应用. 知识点一 航海中的测量问题 思考 在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何 表达位置和航向的? 答案 用方向角和方位角. 梳理 方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角. 方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西 60°,即以正南方向为始边, 顺时针方向向西旋转 60°. 知识点二 三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高,可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角, 有没有办法求三角形面积? 答案 在△ABC 中,如果已知边 AB、BC 和角 B,边 BC 上的高记为 ha,则 ha=ABsinB.从而 可求面积. 1 1 梳理 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 则△ABC 的面积 S= absinC= bcsinA 2 2 1 = acsinB. 2 类型一 航海中的测量问题 例 1 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行 67.5nmile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32°的方向航行 54.0nmile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01nmile) 解 在△ABC 中,∠ABC=180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理, AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC = 67.5 +54.0 -2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15. 根据正弦定理, = , sin∠CAB sin∠ABC sin∠CAB= 2 2 BC AC BCsin∠ABC 54.0sin137° ≈ ≈0.3255, AC 113.15 所以∠CAB=19.0°,75°-∠CAB=56.0°. 答 此船应该沿北偏东 56.0°的方向航行,需要航行 113.15nmile. 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角), 二要弄清不动点(三角形顶点), 然后 根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题. 跟踪训练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处, 乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶, 已知甲船的速度是每小时 3a 海里, 问甲船应沿着什么方向前进, 才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇, 则在△ABC 中, BC=at(海里), AC= 3at(海里), B=90°+30°=120°, 由 = ,得 sin∠CAB sinB 3 BC AC BCsinB at×sin120° 2 1 sin∠CAB= = = = , AC 3at 3 2 ∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°, ∴∠DAC=60°-30°=30°, ∴甲船应沿着北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 类型二 三角形面积公式的应用 命题角度 1 求面积 例 2 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S.(精确到 0.1cm ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; (2)已知 B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm, 2 c=38.7cm. 1 解 (1)应用 S= casinB, 2 1 2 得 S= ×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm ). 2 b c bsinC (2)根据正弦定理 = ,得 c= , sinB sinC sinB S= bcsinA= b2 1 2 1 sinCsinA , 2 sinB A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°, S= ×3.162× 1 2 sin65.8°sin51.5° 2 ≈4.0 (cm ). sin62.7° (3)根据余弦定理的推论,得 cosB= c2+a2-b2 38.72+41.42-27.32 = ≈0.7697, 2ca 2×38.7×41.4 2 2 sinB= 1-cos B≈ 1-0.7697 ≈0.6384. 1 1 应用 S= casinB,得 S≈ ×38.7×41.4×0.6384 2 2 ≈511.4 (cm ). 1 1 1 反思与感悟 三角形面积公式 S= absinC,S= bcsinA,S= acsinB 中含有三角形的边角 2 2 2 关系.因此求三角形的面积,与解三角形有密切的关系.首先根据已知,求出所需,然后求 出三角形的面积. 跟踪训练 2 在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,求△ABC 的面积. 1 3 3 解 由正弦定理,得 = ,∴sinC= . sin30° sinC 2 ∵0°<C<180°,∴C=60°或 120°. 2 ①当 C=60°时,A=90°, 1 3 ∴S△ABC= × 3×1= ; 2 2 ②当 C=120°时,A=30°, S△ABC= × 3×1×sin30°= 命题角度 2 已知三角形面积 1 2 3 . 4 π 例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= .若△ABC 3 的面积等于 3,求 a,b. 1 2 2 解 由余弦定理及已知条件,得 a +b -ab=4,又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC 2 = 3,得 ab=4, ? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?ab=4, ? 2 2 解得? ? ?a=2, ?b=2. ? 反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积, 要根据题意灵活选用三角形的面积公 式. 跟踪训练 3 如图所示,已知半圆 O 的直径

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