2019年人教A版必修一高中数学第一章 1.3.2 第2课时奇偶性的应用优质课课件_图文


第一章 1.3.2 奇偶性 第2课时奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法; 2. 理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式 ; 3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解. 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 思考 用奇偶性求解析式 函数 f(x) 在区间 [a , b] 上的解析式与该区间函 数图象上的点(x,y)有什么关系? 答案 满足y=f(x). 答案 一般地,求解析式的任务就是要找到一个含有自变 量因变量的等式.如果该等式同时满足两个条件: ①定义域符合要求; ②图象上任意一点均满足该式. 如果知道函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式, 那么就可以设出关于原点对称区间[-b,-a]上任一 点 (x , y) ,通过关于原点 ( 或 y 轴 ) 的对称点 ( - x ,- y)(或(-x,y))满足的关系式间接找到(x,y)所满足的 解析式. 知识点二 奇偶性与单调性 2 1 思考 观察偶函数 y=x 与奇函数 y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调 性,你有何猜想? 答案 偶函数 y=x2 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇函数 y= 1 在 ( - ∞ , 0) 和 (0 ,+ ∞ ) 上的单调性相同 . x 答案 一般地, (1) 若奇函数 f(x) 在[a ,b] 上是增函数,且有 增 - M 最大值M,则 f(x)在[-b,-a ]上是 小值 +∞)上是 . 函数,且有最 增函数 (2) 若偶函数 f(x) 在 ( - ∞ , 0) 上是减函数,则 f(x) 在 (0 , . 答案 知识点三 奇偶性的推广 ?-x+x ? ? 2 =0, 思考 (1)f(-x)=-f(x)?? ?f?-x?+f?x? =0 ? 2 ? ?a-x+a+x ? = a , ? 2 f(a-x)=-f(a+x)?? ?f?a-x?+f?a+x? =0 ? 2 ? ?y=f(x)关于(0,0)对称; 那么 (a,0) 对称; ?y=f(x)关于________ 答案 ?-x+x ? =0, 2 (2)f(-x)=f(x)?? ?y=f(x)关于直线 x=0 对称;那么 f(a- ? ?f?-x?=f?x? ?a-x+a+x ? =a, x=a 对称. 2 x)=f(a+x)?? ?y=f(x)关于直线________ ? ?f?a-x?=f?a+x? 答案 返回 题型探究 类型一 例1 重点难点 个个击破 用奇偶性求解析式 (1) 函数f(x) 是定义域为 R的奇函数,当 x>0时, f(x)=-x+1,求当x<0时,f(x)的解析式; 解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 解析答 1 (2)设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)= ,求函数 f(x),g(x) x-1 的解析式. 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 由 f(x)+g(x)= . x-1 ① 1 用-x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1 1 ∴f(x)-g(x)= , ② -x-1 1 x (①+②)÷2,得 f(x)= 2 ; (①-②)÷2,得 g(x)= 2 . x -1 x -1 反思与 解析答 跟踪训练 1 (1) 函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x>0时,f(x)=2x,求f(x)的解析式; 解 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2(-x)=-2x, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-2x,∴当x<0时,f(x)=2x. 又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0也适合上式. ∴f(x)=2x,x∈R. 解析答 (2) 设 f(x) 是偶函数, g(x) 是奇函数,且 f(x) + g(x) = 2x , 求函数f(x),g(x)的解析式. 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由f(x)+g(x)=2x. ∴f(x)-g(x)=-2x, ① ② 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x, (①+②)÷2,得f(x)=0; (①-②)÷2,得g(x)=2x. 解析答 类型二 奇偶性对单调性的影响 例2 证明 设f(x)是偶函数,在区间[a,b]上是减函数,试 设 x1, x2 是区间 [ -b ,-a]上任意两个值,且 证f(x)在区间[-b,-a]上是增函数. 有x1<x2. ∵-b≤x1<x2≤-a,∴a≤-x2<-x1≤b. ∵f(x)在[a,b]上是减函数, ∴f(-x2)>f(-x1).∵f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), ∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1). ∴f(x2)>f(x1),即f(x1)<f(x2). 反思与 解析答 跟踪训练2 已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x) 解 <0. ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, ∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得 f(1-x)<-f(1-2x). ∴f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1,1)上是减函数, ? ?-1<1-x<1, ? 2 ∴?-1<1-2x<1, 解得 0<x< . 3 ? ? ?1-x>2x-1. 2 ∴原不等式的解集为(0,3). 解析答 类型三 对称问题 例3 解 定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足: f(x - 4) =- f(x) , ∵f(x

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