§7.3.1平面向量的内积_图文


§7.3.1平面向量的内积

教师:尤清

向量的直角坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以向量相应的坐标. 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

? a ? (? x1 , ? y1 ).

向量的坐标
一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标.

用向量的坐标表示向量平行的条件
若向量 a ? ( x1,y1 ),b ? ( x2,y2 ), 则 a b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.

? 一个物体在力 F的作用下发生的位移 s,力 F与物体位移 ? s 的夹角为 ?. ① 力 F在位移方向上的分量是多少? F cos ?

② 力 F所做的功W是多少?
③ 功W是一个数量还是一个向量?
F

W ? s F cos ?

数量

θ

? s

说出下列特殊角的余弦值: 0,

? ? ? ? 2? 3? 5?
6 4 3 2 , , , , 3 , 4 , 6

,?

两个非零向量夹角的概念

? ? ? ? 已知非零向量 a与 b,作 OA ? a , OB ? b, ? ? 则∠AOB 叫做 a与 b的夹角. 记作: ? =〈a, b〉 ? b 规定: 0? ? ? ? 180?

? b

B

? a

说明:

注意: 在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.

? ? (1)当 ? ? 0 时,a与 b同向; ? ? (2)当 ? ? π 时,a与 b反向; ? ? ? ? π (3)当? ? 时,a与 b垂直,记作 a ? b ; 2

O

?

? a

A

向量的内积(数量积)的概念 ? ? 已知非零向量 a与 b ,? = 为两向量的夹角, 〈a , b〉

? ? 我们把 a b cos ? 这个乘积叫做 a与 b 的内积(或数量积).

记作:a ? b ? a b cos ? ? 规定 0 与任何向量的内积为0. 说明: ①这是一种新的运算,以前所学的运算律、 性质是否适用 需要验证. ②两个向量的内积是一个实数,不是向量,符号由cosθ 的 符号所决定. ? ? ③两个向量的内积,写成 a ? b ;符号“ · ”在向量运算中 不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

向量的内积(数量积)的概念 ? ? 已知非零向量 a与 b ,? = 为两向量的夹角, 〈a , b〉

? ? 我们把 a b cos ? 这个乘积叫做 a与 b 的内积(或数量积).

记作:a ? b ? a b cos ? ? 规定 0 与任何向量的内积为0. 根据向量内积的定义,我们可得到一些常用结论: (1)当 a、b 同向时, a ?b ? a b ? ? ? 2 特别地 a ? a ? a ? 0, a ? a ? a (2)当 a、b 反向时, a ?b ? ? a b (3)当 a ? b时, a ? b ? 0 命题 ? ? ? ? a ? b ? 0, a ? 0 ? b ? 0 (4) a ? b ? a b 正确吗?

向量的内积(数量积)的概念 ? ? 已知非零向量 a与 b ,? = 为两向量的夹角, 〈a , b〉
记作:a ? b ? a b cos ? ? 规定 0 与任何向量的内积为0. 可以验证,向量内积满足以下运算律

? ? 我们把 a b cos ? 这个乘积叫做 a与 b 的内积(或数量积).

? ? ? ? ⑴ a ?b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵ ? (a ? b ) ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? ⑶ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

注意: 向量的数量积运算不满足结合律.

你知道为 什么吗?

a ? 5, b ? 4, 〈a, b〉 ? 120 . ? ? 求 a ?b .
已知

? ? ? ? ? ? 解: a ? b ? a b cos 〈a, b 〉
? 5 ? 4 ? cos 120 ?
? ?10.

① a ? 8, b ? 4,〈a, b〉 ? 30 ,求a ? b.
②已知 a ? 4, b ? 4, a ? b ? 8 2, 求a与b的夹角? .

思考:在 ?ABC中,若BA? BC ? 0, 判断?ABC的形状。

已知 a ? 1, b ?

2, 且a b, 求a ? b.

解:由a b ,分两种情况: 当a, b 同向时, a ? b ? a ? b cos 0 = 2;

当a, b反向时, a ? b ? a ? b cos ? = ? 2.

已知 a ? 1, b ?

2, 且a ? b, 求a ? b;

求证: 证明:

(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
2 2

2

(a ? b)2 ? ( a ? b) ? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? (a ? b) ? b
? a ? a ? a ?b ? b? a ? b?b

? a ? 2a ? b ? b
2

2

求证: (a ? b) ? (a ? b) ? a

2

?b

2

已知 a ? 6, b ? 4,a与b 的夹角为60 , 求 : ① a ? b ;② a ? b .

你会求吗?
2

解: a ? b ? ( a ? b) 2
? a ? 2a ? b ? b
2

? 6 ? 2 ? 6 ? 4 ? cos60 ? 4
2

2

? 76 ? 2 19

已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角? =45 , 求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ).

已知 a ? 3, b ? 4, 且a与b 不共线,k 为何值时 向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直?

解: a ? kb与 a ? kb 互相垂直

? (a ? kb ) ( ? a ? kb ) =0 2 2 2 即 a ? k b ? 0. 3 2 ? 9 ? 16k ? 0. ? k ? ?

4 3 因此,k = ? 时,a ? kb 与a ? kb 互相垂直. 4

设m、n是两个单位向量,其夹角为60?, 求向量a ? 2m ? n与b ? 2n ? 3m的夹角.

向量的内积(数量积)的概念 向量的内积的运算律
向量内积满足以下运算律

? ? 把 a b cos ? 这个乘积叫做 a与 b 的内积(或数量积).

? ? ? ? ⑴ a ?b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵ ? (a ? b ) ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? ⑶ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

注意:向量的数量积运算不满足结合律.
2

向量的内积的常用结论
⑴当 a、b 同向时, a ? b ? a b , 特别地 a ? a ? a , ⑵当 a、b 反向时, a ?b ? ? a b , ⑶当a ? b 时, a ? b ? 0.

作业:
P38 练习7.3.1 第1、2、3题


相关文档

7.3.1《平面向量的内积》教案
§7.4.1平面向量的内积
7.4平面向量的内积 (1)
高教版中职数学(基础模块)下册7.3《平面向量的内积》ppt课件1
7.3.1平面向量的内积(修改版)
7.4平面向量的内积(一)
7.4平面向量的内积1
7.3 平面向量的内积
7.3平面向量的内积
7.3 平面向量内积
电脑版
?/a>