2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习:第3章 1.2 导数在实际问题中的应用 Word版含解析


第三章 §1 1.2 1.函数 f(x)=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 解析:f′(x)=-3x2+3, 令 f′(x)=0, ) B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 即-3x2+3=0,解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)<0,f(x)是减少的; 当-1<x<1 时,f′(x)>0,f(x)是增加的; 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)是减少的. ∴函数的极小值为 f(-1)=1-3+1=-1,函数的极大值为 f(1)=1+3-1=3. 答案:D 2.函数 y=x3+1 的极大值是( A.1 C.2 ) B .0 D.不存在 解析:y′=3x2≥0,所以函数 y=x3+1 在 R 上单调递增,故无极大值. 答案:D 3.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( A.2 C.4 B .3 D.5 ) 解析:f′(x)=3x2+2ax+3,由 f(x)在 x=-3 处取得极值,知 f′(-3)=0,解得 a=5. 答案:D 4.在下列四个函数中,存在极值的是________. 1 ①y= x ②y=x2+1 ③y=2 ④y=x3 1 1 解析:∵y′=- 2<0,∴y= 在定义域内不存在极值.同理,③④也不存在极值.②中, x x y′=2x,令 y′=0,得 x=0.∴当 x>0 时,y′>0;当 x<0 时,y′<0.故函数 y=x2+1 在 x =0 处取极小值. 答案:② 5.设函数 f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值;(2)求 g(x)的极值. 解:(1)∵f′(x)=3x2+2bx+c, ∴g(x)=f(x)-f′(x)= x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c. 又 g(x)是 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x). ∴(-x)3+(b-3)x2-(c-2b)x-c= -x3-(b-3)x2-(c-2b)x+c. 化简,得(b-3)x2-c=0.∴b=3,c=0. (2)由(1)知 g(x)=x3-6x, ∴g′(x)=3x2-6=3(x+ 2)(x- 2). 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x g′(x) g (x) (-∞,- 2) + - 2 0 极大值 (- 2, 2) - 2 0 极小值 ( 2,+∞) + 由表可知 g(x)的递增区间为(-∞, - 2)和( 2, +∞), 递减区间为(- 2, 2), 且 g (x) 在 x=- 2处取得极大值为 g(- 2)=(- 2)3-6×(- 2)=4 2, 在 x= 2处取得极小值为 g( 2)=( 2)3-6 2=-4 2.

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