北京市丰台区2012届高三数学下学期统一练习(一)试题 理


北京市丰台区 201 2 届高三下学期 3 月月考 数 学 试 题(理)
注意事项: 1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校 、班级、 姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚, 并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2.本次考试所 有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对 应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹 签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。作图题用 2 B 铅笔作图,要求线条、图形清晰。 3.请严格按照答题卡上题 号在相应答题区内作答,超出答题区域 书写的答案无效,在 试题、 草稿纸上答题无效。 4.请保 持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 4 0 分.在每小 题列出 的四个选项中,选出符合题目要求的 一 项. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {a},若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是 A. (??, ?1) ? (1, ??) B. ? ??, ?1? ? ?1, ??? C.(-1,1) D.[-1,1] ( )

? y ? 0, ? 2.若变量 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 1, 则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是 ? x ? 4 y ? 3, ?
A. ?3, ?? ? 3. ( B. [?8,3] C. ? ??,9? D. [?8,9]





x 2 6 ? ) 的二项展开式中,常数项是 2 x
B.15 C.20 D.30





A.10

4.已知向量 a ? (sin ? ,cos? ), b ? (3, 4) ,若 a ? b ,则 tan 2? 等于 A.

?

?

?

?

( D. ?



24 7

B.

6 7

C. ?

24 25

24 7

5.若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示,则该几何体的表面积是( A.4 B. 4 ? 4 10 C.8 D. 4 ? 4 11



6.学校组织一年级 4 个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区
用心 爱心 专心 1

中任选一个游览,则恰有 2 个班选择了甲景区的选法共有
2 A. A4 ? 32 种 2 C. C4 ? 32 种 2 2 B. A4 ? A3 种 2 2 D. C4 ? A3 种





7.已知 a ? b ,函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x. 命题 p : f (a) ? f (b) ? 0 ,命题 q : g ( x)在(a, b) 内有 最值,则命题 p 是命题 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x3 ,若函数

g ( x) ? f ( x) ? loga | x | 至少有 6 个零点,则 a
A. a ? 5或a ?





1 5

C. a ? [ , ] ? [5, 7]

1 1 7 5

1 5 1 1 D. a ? [ , ] ? [5, 7] 7 5
第二部分 (非选择题 共 110 分)

B. a ? (0, ) ? ?5, ?? ?

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,一条渐近线方程为 y ? 是 。

3 x ,则该双曲线的离心率 4

10.已知等比数列 {an } 的首项为 1,若 4a 1,2a2, a3 ,成等差数列,则数列 {

1 } 的前 5 项和为 an



? 3 t, ?x ? 1? ? 2 (t 为参数)。以 O 为极点,x 轴 11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? ?y ? 1 t ? ? 2
正方向为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0. 则圆心到直线的距离
2

是___ . 12.如图所示,Rt△ABC 内接于圆, ?ABC ? 60? ,PA 是 圆的切线,A 为切点,PB 交 AC 于 E,交圆于 D。若 PA =AE, PD= 3, BD ? 3 3 ,则 AP= ,AC= 。 。

13.执行如下图所示的程序框图,则输出的 i 值为

用心

爱心

专心

2

14. 定义在区间[a, b]上的连结函数 y ? f ( x) , 如果 ?? ? [a, b] , 使得 f (b) ? f (a) ? f '(? )(b ? a) , 则称 ? 为区间[a,b]上的“中值点”。下列函数: ① f ( x) ? 3x ? 2; ② f ( x) ? x2 ? x ? 1; ③ f ( x) ? ln( x ? 1) ;④ f ( x) ? ( x ? ) 中,在区间[0,
3

1 2

。(写出所有满足条件的函数的序号) .. 三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a sin B ? b cos C ? c cos B. ( I)判断 △ABC 的形状; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1]上“中值点”多于一个函数序号为

1 2 1 cos 2 x ? cos x ? ,求 f(A)的取值范围. 2 3 2

[

16.(本小题共 14 分) 四 棱 锥 P — ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD ,

?BCD ? 60?, PA ? PD ? 2 ,E 是 BC 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上.
(I)求证:AD ? PB;
用心 爱心 专心 3

(Ⅱ)若 Q 是 PC 的中点,求二面角 E—DQ—C 的余弦值; (Ⅲ)若

PQ ? ? ,当 PA//平面 DEQ 时,求 A 的值 . PC

17.(本小题共 13 分) 某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示。 (I)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (Ⅱ) 从成绩在[50,70 )内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在[60,70)内 的概率; (Ⅲ)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的成绩 进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[ 60,70 )内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x. . (I)当 a=l 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1, e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 对任意 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值范 围.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 M(一 2,0). 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,连接 MA, MB 并延长交

用心

爱心

专心

4

直线 x=4 于 P,Q 两点,设 yP , yQ 分别为点 P,Q 的纵坐标,且 过定 点。

1 1 1 1 ,求证直线 l ? ? ? y1 y2 yP yQ

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x, f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函数。 (1)若数列 {an } 满足 an?1 ? f '(an ), 且a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? b, bn?1 ? f (bn ) 。 (i)是否存在实数 b,使得数列 {bn } 是等差数列?若存在,求出 b 的值;若不存在,请说明理 由。 (ii)若 b ? 0 ,求证:

?b
i ?1

n

bi
i ?1

1 ? .[ b

用心

爱心

专心

5

用心

爱心

专心

6

用心

爱心

专心

7

用心

爱心

专心

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用心

爱心

专心

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用心

爱心

专心

10

用心

爱心

专心

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