1.7 四种命题(2)


1.7 四种命题(2)

复习: 1.四种命题: 原命题 若p则q ; 若q则p;

逆命题
否命题 逆否命题

若? p则? q;
若? q则? p .

注意:命题的否定和否命题的区别.

2.四种命题之间的相互关系 :
原命题 若 p则 q

互逆

逆命题
若 q则 p

互 否
否命题

互为 逆否

互 否 逆否命题
若? q则 ? p

互逆

若? p则 ? q

常用的一些词语和它的否定词语:

例1 以下命题为原命题,写出它们的逆命题、

否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假:
(1)若a=0,则ab=0. (真) (2)对角线相等的平行四边形是矩形. (真) 解(1)逆命题:若ab=0,则a=0. (假) 否命题: 若a≠0 ,则ab≠0.

逆否命题:若ab≠0,则a≠0.

(假) (真)

(2)逆命题:若平行四边形是矩形,则它的对角线相等. (真) 否命题:对角线不相等的平行四边形不是矩形. (真) 逆否命题:若平行四边形不是矩形,则它的对角线不相等.(真)

一般地,一个命题的真假与其它三个

命题的真假有如下关系:
1.原命题为真,它的逆命题不一定为真。

2.原命题为真,它的否命题不一定为真。
3.原命题为真,它的逆否逆否命题一定为真。

注意: (1)互为逆否的命题是等价命题,它们同真或同假。

(2)在同一个命题的四种命题中,真命题的个数是0个,或
2个,或4个.

例2 已知命题“有一组对边平行,而另一组对边 相等的四边形是平行四边形.”试分别判断原命题、 逆命题、否命题及逆否命题的真假. 解:等腰梯形的一组对边平行,另一组对边相等, 故原命题是假命题. 所以其逆否命题是假命题. 又其逆命题:若四边形是平行四边形,则它有一组 对边平行,而另一组对边相等. 逆命题是真命题, 根据互为逆否的命题是等价命题,它们同真或同假. 所以其否命题是真命题。

说明:直接举反例可知原命题是假命题,根据 平行四边形的定义及性质可知逆命题是真命题, 而逆否命题、否命题的真假难判定,则通过原 命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题, 它们同真或同假。推得逆否命题是假命题,否 命题是真命题。

例3.分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假. 2 1 ( 1 )m ? 时,mx ? x ? 1 ? 0无实根; 4 (2)已知 x、y∈N*,当 y = x+1 时,y=3,x=2.
(3)两个奇数之和一定是偶数. 解 (1)原命题: 2 1 若m ? ,则mx ? x ? 1 ? 0无实根. (真) 4 2 逆命题: 若mx ? x ? 1 ? 0无实根,则m ? 1 . (真) 4 否命题: 若m ? 1 ,则mx2 ? x ? 1 ? 0有实根. (真) 4 2 逆否命题: 若mx ? x ? 1 ? 0有实根, 则m ? 1 . (真) 4

例3.分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,

并分别判断它们的真假. (2)已知 x、y∈N*,当 y = x+1 时,y=3,x=2.
解:

已知 x、y∈N*,若 y = x+1 ,则y=3,x=2. (假) 原命题: 已知 x、y∈N*,若 y=3,x=2 ,则y = x+1. (真) 逆命题:
已知 x、y∈N*,若 y≠x+1 ,则y≠3或x≠2. 否命题: (真 ) (假 )

已知 x、y∈N*,若 y≠3或x≠2 ,则y ≠ x+1. 逆否命题:

例3.分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假. (3)两个奇数之和一定是偶数. 解 原命题: 若两个数是奇数,则它们的和是偶数. (真) 逆命题: 若两个数的和是偶数,则它们是奇数. (假) 否命题: 若两个数不都是奇数,则它们的和不是偶数. (假) 逆否命题: 若两个数的和不是偶数,则它们不都是奇数. (真)

小结:
四种命题的真假判断

1.原命题为真,它的逆命题不一定为真。
2.原命题为真,它的否命题不一定为真。 3.原命题为真,它的逆否命题一定为真。 4. 原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价 命题,它们同真或同假。 (真命题个数是0或2或4)

P32 练习
1.判断下列说法是否正确: (1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真; (2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真。 分析(1)∵一个命题的逆命题为真,它的原命题不一 定为真,根据原命题与逆否命题是等价命题,它们同真 或同假。∴它的逆否命题不一定为真.即说法(1)正确. (2) ∵这个命题的否命题为真,根据逆命题与否命题 是等价命题,它们同真或同假。 ∴它的逆否命题一定为真.即说法(2)正确.

2.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并分 别判断它们的真假: (1)有三边对应相等的两个三角形全等; (2)若a>b,则a+c>b+c ; (3)若xy=0,则x=0或y=0. 解(1)原命题:若两个三角形三边对应相等,则这两 个三角形全等. 原命题为真。 逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对 应相等. 逆命题为真。 否命题:若两个三角形三边不对应相等,则这两个三角 形不全等. 否命题为真。 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三 边不对应相等. 逆否命题为真。

(2)若a>b,则a+c>b+c . 逆命题:若a+c>b+c,则 a>b. 逆命题为真. 否命题: 若a≤b ,则 a+c≤b+c . 否命题为真. 逆否命题:若a+c≤b+c ,则 a≤b . 逆否命题为真.
(3)若xy=0,则x=0或y=0.

逆命题:若x=0或y=0,则xy=0. 逆命题为真. 否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0. 否命题为真. 逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0. 逆否命题为真.

3. 写出下列命题的否定及其否命题,并判断它们的真假. (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等; (2)末位数字是0或5的整数能被5整除. 解(1)命题的否定: (假 ) 正n边形(n≥3)的n个内角不全相等; 否命题: 不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等. (真) (2)命题的否定: (假 ) 末位数字是0或5的整数不能被5整除. 否命题: 末位数字不是0也不是5的整数不能被5整除.(真)

说明:原命题是“若p则q”,则原命题的否定是“若p则非q”, 而原命题的否命题是“若非p则非q”.

4. 命题“有一组对边平行,而另一组对边相等的四边 形是平行四边形.”为原命题,写出它们的逆命题、 否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假. 解: 原命题:若四边形有一组对边平行,而另一组 对边相等,则四边形是平行四边形。原命题为假. 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形有一组对 边平行,而另一组对边相等。逆命题为真. 否命题:若四边形没有一组对边平行或没有一组 对边相等,则四边形不是平行四边形。否命题为真. 逆否命题:若四边形不是平行四边形,则四边形没有一 组对边平行或没有一组对边相等。逆否命题为假.

作业: 1. 一教材 习题1.7
2. 第二教材
读书 P26~27
完成 P27 分级训练

3,4

P33 练习:
1.把下列命题改写成“若p则q”的形式: (1)末位是0的整数,可以被5整除; (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等; (3)等式两边都乘以同一个数,所得结果仍是等式; (4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线。

解: (1)若一个整数末位是0,则它可以被5整除; (2)若一个点在线段的垂直平分线上,则它与 这条线段两个端点的距离相等; (3)若一个式子是等式,则它的两边都乘以同 一个数,所得结果仍是等式; (4)若一条直线到圆心的距离不等于半径,则 它不是圆的切线。

2.填空: (1)命题“末位是0的整数,可以被5整除” 的逆命题是“________________________”; (2)命题“线段的垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等” 的否命题是“________________________” ; (3)命题“等式两边都乘同一个数,所得结果 仍是等式”的逆否命题是“_______________” ; (4)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不 是圆的切线”的逆否命题是“_____________” 。

解: (1)可以被5整除的整数,末位是0; (2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离不相等; (3)若式子两边都乘以同一个数,所得结果不 是等式 ,则这个式子不是等式; (4)若一条直线是圆的切线,则它到圆心的距 离等于半径。


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