两条直线所成的角优秀教案 精品


两条直线所成的角 一、教学目标 (一)知识教学点 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题. (二)能力训练点 通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推 导,培养学生综合运用知识解决问题的能力. (三)学科渗透点 训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯. 二、教材分析 1.重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研 究.两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到,教学时要讲请 l1、l2 的公式的推导方法及这一公式的应用. 2,难点:公式的记忆与应用. 3.疑点:推导 l1、l2 的角公式时的构图的分类依据. 三、活动设计 分析、启发、讲练结合. 第 1 页 共 9 页 四、教学过程 (一)引入新课 我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况, 对于两条相交直线, 怎样根据它们的直线 方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题. (二)l1 到 l2 的角正切 两条直线 l1 和 l2 相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,我们把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角,叫做 l1 到 l2 的角.图 1-27 中,直线 l1 到 l2 的角 是θ1,l2 到 l1 的角是θ2(θ1+θ2=180°). l1 到 l2 的角有三个要点:始边、终边和旋转方向. 现在我们来求斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1 到 l2 的角,设已知直线的方程分别是 l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果 1+k1k2=0,那么θ=90°, 下面研究 1+k1k2≠0 的情形. 由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究 θ 与 l1 和 l2 的倾角的关系入手考虑问 题. 第 2 页 共 9 页 设 l1、l2 的倾斜角分别是α1 和α2(图 1-32),甲图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 和 x 轴围 成的三角形的内角;乙图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 与 x 轴围成的三角形的外角. tgα1=k1, tgα2=k2. ∵θ=α2-α1(图 1-32), 或 θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1), ∴tgθ=tg(α2-α1). 或 tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1). 可得 即 eq \x( ) 上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆. 第 3 页 共 9 页 (三)夹角公式 从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要考虑不大于直 角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面的公式 (四)例题 解:k1=-2,k2=1. ∴θ=arctg3≈71°34′. 本例题用来熟悉夹角公式. 例2 已知直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、 A1A2+B1B2≠0),l1 到 l2 的角是θ,求证: 证明:设两条直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,则 第 4 页 共 9 页 这个例题用来熟悉直线 l1 到 l2 的角. 例 3 等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y-2=0,底边所在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线 l3 的方程. 解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等, 并且与两腰的顺序无关. 设 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3,l1 到 l2 的角是θ1,l2 到 l3 的角是θ2,则 . 因为 l1、l2、l3 所围成的三角形是等腰三角形,所以 θ1=θ2. tgθ2=tgθ1=-3. 第 5 页 共 9 页 解得 k3=2. 因为 l3 经过点(-2,0),斜率为 2,写出点斜式为 y=2[x-(-2)], 即 2x-y+4=0. 这就是直线 l3 的方程. 讲此例题时, 一定要说明: 无须作图, 任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等, 要为锐角都为锐角, 要为钝角都为钝角. (五)课后小结 (1)l1 到 l2 的角的概念及 l1 与 l2 夹角的概念; (2)l1 到 l2 的角的正切公式; (3)l1 与 l2 的夹角的正切公式; (4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于底边所在直线到另一腰所在 直线的角. 五、布置作业 1.(教材第 32 页,1.8 练习第 1 题)求下列直线 l1 到 l2 的角与 l2 到 l1 的角: 第 6 页 共 9 页 ∴θ1=45°. l2 到 l1 的角θ2=π-θ1=arctg3. 2.(教材第 32 页,1.8 练习第 2 题)求下列直线的夹角: ∵k1·k2=-1, 第 7 页 共 9 页 ∴l1 与 l2 的夹角是 90°. (2)k1=1, k2=0. 两直线的夹角为 45°. ∴l1 与 l2 的夹角是 90°. 3.(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2,1),且和直线 5x+2y+3=0 的夹角为 45o,求 直线 l 的方程. 即 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0. 第 8 页 共 9 页 4.等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 2x-y+4=0,底面所在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线 l3 的方程. 解:这是本课例 3 将 l1 与 l3 互换的变形题,解法与例 3 相同,所求方程为: x-2y-2=0. 六、板书设计 第 9 页 共

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