【步步高】高中数学北师大版必修4练习:1.4.3 单位圆与诱导公式(含答案解析)


4.3 单位圆与诱导公式 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解四组公式的推导过程.2.运用所学诱 导公式进行求值、化简与证明. 诱导公式 (1)角 α 与-α,2π-α 的正弦函数、余弦函数关系: sin(-α)=________,sin(2π-α)=________. cos(-α)=________,cos(2π-α)=________. (2)角 α 与 α±π 的正弦函数、余弦函数关系: sin(π+α)=__________,cos(π+α)=__________. sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α. (3)角 α 与 π-α 的正弦函数、余弦函数关系: sin(π-α)=________,cos(π-α)=________. (4)角 α 与π2+α 的正弦函数、余弦函数关系: sin??π2+α??=________,cos??π2+α??=________. (5)角 α 与π2-α 的正弦函数、余弦函数关系: sin??π2-α??=________,cos??π2-α??=________. (6)角 α 与 2kπ+α 的正弦函数、余弦函数关系: sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)=________. 一、选择题 1.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10°)的值为( A.-12 B.12 C.- 3 2 2.若 sin(3π+α)=-12,则 cos ??72π-α??等于( A.-12 B.12 C. 3 2 ) D. 3 2 ) D.- 3 2 3.已知 sin??α-π4??=13,则 cos??π4+α??的值等于( ) A.-13 B.13 C.-23 2 D.23 2 4.若 sin(π+α)+cos??π2+α??=-m,则 cos??32π-α??+2sin(2π-α)的值为( ) A.-23m B.23m C.-32m D.32m 5.α 和 β 的终边关于 y 轴对称,下列各式中正确的是( ) A.sin α=sin β B.cos α=cos β C.cos(π-α)=cos β D.sin(π-α)=-sin β 6.已知 cos(75°+α)=13,则 sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( ) A.13 B.23 C.-13 D.-23 二、填空题 7.sin(-300°)+sin 240°的值等于________. 8.下列三角函数: ①sin??nπ+43π?? ②cos??2nπ+π6?? ③sin??2nπ+π3?? ④cos?? 2n+1 -π6?? ⑤sin?? + -π3??,(以上各式 n∈Z)其中函数值与 sinπ3的值相同的是________.(填 所有相同代数式的序号) 9.若 sin??α+1π2??=13,则 cos??α+71π2??=________. 10.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β 为非零常数.若 f(2 011) =1,则 f(2 012)=________. 三、解答题 11.(1)求值:sin 1 200°·cos 1 290°+ cos(-1 020°)·sin(-1 050°); (2)已知 cos??π6-α??=13,求 sin??23π-α??的值. 12.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,求证: (1)cos(2A+B+C)=cos(B+C); (2)sin??A2 +π4??=cos??B+2 C-π4??. 能力提升 13.化简: ++ - + + -θ](其中 k∈Z). 14.设 f(n)=cos(n2π+π4)(n∈N*),求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 011)的值. 1.正弦函数、余弦函数的诱导公式概括如下: 2kπ+α(k∈Z),-α,2π-α,π±α 的正(余)弦函数值,等于 α 的同名函数值前面加上把 α 看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号. π 2±α 的正(余)弦函数值,等于 α 的相应余(正)弦函数值前面加上把 α 看成锐角时这些角 所在象限的正(余)弦函数值的符号. π 2±α 的正(余)弦函数值,等于 α 的相应余(正)弦函数值前面加上把 α 看成锐角时这些角 所在象限的正(余)弦函数值的符号. 2.可以利用诱导公式,将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、 余弦函数的问题. 4.3 单位圆与诱导公式 答案 知识梳理 (1)-sin α -sin α cos α cos α (2)-sin α -cos α (3)sin α -cos α (4)cos α -sin α (5)cos α sin α (6)sin α cos α 作业设计 1.A [f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240° =cos(180°+60°)=-cos 60°=-12.] 2.A [∵sin(3π+α)=-sin α=-12,∴sin α=12. ∴cos??72π-α??=cos??32π-α??=-cos??π2-α?? =-sin α=-12.] 3.A [cos??π4+α??=sin??π2-??π4+α???? =sin??π4-α?? =-sin??α-4π??=-13.] 4.C [∵sin(π+α)+cos??π2+α??=-sin α-sin α =-m, ∴sin α=m2 .cos??32π-α??+2sin(2π-α) =-sin α-2sin α=-3sin α=-32m.] 5.A [∵α 和 β 的终边关于 y 轴对称, ∴β 与 π-α 终边相同, ∴β=2kπ+π-α,k∈Z ∴sin

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