2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习椭圆


第一节 椭 圆 一. 内容归纳
1.知识精讲 [1] 椭圆的两种定义: ①平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。其 中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹。 注意:(1)椭圆的定义用点集语言叙述:①点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};②点 集 M={P| PF ? e ,0<e<1 的常数}。 d (2)定义①中的定长大于| F1F2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义②中的 0 <e<1,区别于另两种曲线。 [2] 标准方程:(1)焦点在 x 轴上,中心在原点: x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0); a2 b2
焦点 F1(-c,0), F2(c,0)。其中 c ? a2 ? b2
(2)焦点在 y 轴上,中心在原点: y 2 ? x 2 ? 1(a>b>0); a2 b2

焦点 F1(0,-c),F2(0,c)。其中 c ? a2 ? b2

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0, c ? a2 ? b2 并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当 A<B 时, 椭圆的焦点在 x 轴上,A>B 时焦点在 y 轴上。
[3]性质:对于焦点在 x 轴上,中心在原点: x2 ? y 2 ? 1(a>b>0)有以下性质: a2 b2
① 范围:|x|≤a,|y|≤b; ② 对称性:对称轴方程为 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0); 顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b; ③ 离心率:e= c (焦距与长轴长之比);
a

④ 准线方程: x ? ? a 2 ; c

⑥焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0。

焦点在

y

轴上,中心在原点:

y2 a2

x2 ?
b2

? 1(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。 2. 思维方式:待定系数法与轨迹方程法。 3. 特别注意:椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件 a,b,一个定位条件焦点坐标或准线 方程.

二.问题讨论

例 1:(1)已知 F1 为椭圆的左焦点,A,B 分别为椭圆的右顶点与上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率 e=_______。
(2) 设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点 P 到右准线的距离为 10,那么点 P 到左焦点的距离等于 100 36
_______。

(3)已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点 P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍,则 P 的 25 9
坐标是_________。

解:(1)设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0), c ? a2 b2

a2 ? b2 , F1(-c,0),则点 P(?c, b 2 ) ,
a



PO∥AB



kAB=kOP 即 ?

b a

?

? b2 ac

,∴b=c,故 e

?

2。 2

(2)由椭圆的第二定义得:点 P 到左焦点的距离等于 12。
(3)设 P(x,y),F1,F2 分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 x ? ? 25 , 4

故 | PF1 | ? | PF2 | ,∵|PF1|=2|PF2|,∴ x ? ? 119 ,故 P( 25 ,? 119 ) 。

25 ? x 25 ? x

4

12 4

4

4

【思维点拨】1)求离心率一般是先得到 a,b,c 的一个关系式,然后再求 e; 2)由椭圆的一 个短轴端点,一个焦点,中心 O 为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到; 3)结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。 例 2:(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆
的长轴长是 6,且 cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。 (2)若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为原

点)的斜率为 2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程。
2

解:(1)∵椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA=2/3,∴点 A 不是长轴的端点。∴|OF|=c,|AF|=a=3,

∴c=2,b2=5。∴椭圆方程是 x 2 ? y 2 ? 1,或 x 2 ? y 2 ? 1。

59

95

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M( x1 ? x2 , y1 ? y2 ).

2

2



?x ??ax2

? ?

y? by 2

1 ?

1

消去

y



(a ? b)x2 ? 2bx ? b ?1 ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? b , 2 a?b

y1 ? y2 =1- x1 ? x2 ? a ,

2

2 a?b



M

(

a

b ?

b

,

a

a ?

b

)

,∴由

k

OM

?

2 得b ?
2

2a ……①;

又 OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即

x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴ (2 b ?1)? 2b ? 1 ? 0 , ∴a+b=2……②. a?b a?b

联立①②得 a ? 2( 2 ?1), b ? 2 2( 2 ?1) ∴方程为 2( 2 ?1)x 2 ? 2 2( 2 ?1) y 2 ? 1 .

【思维点拨】“OA⊥OB ? x1x2+y1y2=0”(其中 A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论.
例 3:已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项。(1)求椭圆方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠P F1F2=1200,求 tan∠F1PF2。

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,c=1。∴2a=4,∴b=

3 。∴椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1。 43

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2 F1=600-θ ,由正弦定理并结合等比定理可得到

| F1F2 s in ?

| ?

| PF2 | sin120 0

?

| PF1 | sin(60 0 ?? )

?

s

in

| PF2 | 120 0 ?

? | PF1 sin(60 0

| ?

?

)

,

∴化简可得 5sin? ? 3(1 ? cos? ) ,∴ tan ? ?

s in ?

?

3
,

2 1 ? cos? 5

从而可求得

tan∠F1PF2=

53 11



【思维点拨】解与△P F1F2 有关的问题(P 为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结 合|PF1|+|PF2|=2a 来求解。
例 4:(1)已知点 P 的坐标是(-1,3),F 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点,点 Q 在椭圆上移动,当 16 12
QF ? 1 PQ 取最小值时,求点 Q 的坐标,并求出其最小值。 2

(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 e ? 3 ,已知点 P ?? 0, 3 ?? 这

2

? 2?

个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离是 7

的点的坐标。
解(1)由椭圆方程可知 a=4,b= 2 3 ,则 c=2, e ? 1 , 2
椭圆的右准线方程为 x=8
过点 Q 作 QQ’ ? l 于点 Q’, 过点 P 作 PP’ ? l 于点 P’,

QF

则据椭圆的第二定义知,

?e

QQ '

? ? ? QF ? 1 QQ' , QF ? 1 PQ ? 1 QQ' ? PQ

2

2

2

易知当 P、Q、Q’在同一条线上时,即当 Q’与 P’点重合时, QQ' ? PQ 才能取得最小值,

最小值为 8-(-1)=9,此时点 Q 的纵坐标为-3,代入椭圆方程得 x ? ?2 。
因此,当 Q 点运动到(2,-3)处时, QF ? 1 PQ 取最小值 9. 2

(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 1?a ? b ? 0?
a2 b2

由 e2

?

c2 a2

?

a2 ?b2 a2

? 1 ? ?? b ??2 ?a?

?

3 ,解得 b

4

a

?

1 ,设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离为 d 2

则d 2

?

x2

? ?? y ? ?

3 ?2 ?
2?

? a2

?

a2 b2

y2

? ?? y ? ?

3 ?2 ?
2?

?

?3?? y ? ?

1 ?2 ?
2?

? 4b2

?3

? ? 其中 ? b ? y ? b ,如果 b ? 1 ,

则当 y=-b 时,d2 取得最大值

7

2

? ??b ?

3 ?2 ?

2

? 2?

解得 b= 7 ? 3 ? 1 与 b ? 1 矛盾,

22

2

故必有 b ? 1 2

? ? 当 y ? ? 1 时 d2 取得最大值, 7 2 ? 4b2 ? 3 2

解得 b=1,a=2

所求椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 4

由 y ? ? 1 可得椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点为 ?? ? 3,? 1 ?? , ?? 3,? 1 ??

2

?

2? ? 2?

三、课堂小结: 1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数 a,b,c,,e 的相互关系,几何意义与一些概念的联 系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).

2.在椭圆的两种标准方程中,总有 a>b>0, c ? a2 ? b2 并且椭圆的焦点总在长轴上;
3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用. 四、课外作业:
P298 能力提高


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