2018版高中数学第一章三角函数1.3.2第2课时正切函数的图象与性质学案苏教版必修4


第 2 课时 正切函数的图象与性质 学习目标 1.会求正切函数 y=tan(ω x+φ )的周期.2.掌握正切函数 y=tan x 的奇偶性, 并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性,并掌握其图象的画法. 知识点一 正切函数的图象 思考 1 体会利用正切线作正切函数图象的方法步骤. 思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图,你能类似地画出正切 ? π π? 函数 y=tan x,x∈?- , ?的简图吗?怎样画? ? 2 2? 梳理 (1)正切函数的图象叫正切曲线,图象如下: (2)正切函数的图象特征 π 正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. 2 知识点二 正切函数的性质 思考 1 正切函数的定义域是什么? π 思考 2 诱导公式 tan(π +x)=tan x,x∈R 且 x≠ +kπ ,k∈Z 说明了正切函数的什么性 2 质? 1 π 思考 3 诱导公式 tan(-x)=-tan x,x∈R 且 x≠ +kπ ,k∈Z 说明了正切函数的什么性 2 质? π 思考 4 从正切线上看,正切函数是区间(0, )上的单调增函数吗? 2 π ? ? 梳理 函数 y=tan x?x∈R且x≠kπ + ,k∈Z?的图象与性质见下表: 2 ? ? 解析式 y=tan x 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 在开区间________________________上都是单调增函数 类型一 正切函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y= ; 1+tan x (2)y=lg( 3-tan x). 反思与感悟 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时,要充分利用 2 三角函数的图象或三角函数线. 跟踪训练 1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. 类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间 ? 1 π? 例 2 求函数 y=tan?- x+ ?的单调区间及周期. 4? ? 2 π 反思与感悟 y=tan(ω x+φ ) (ω >0)的单调区间的求法是把 ω x+φ 看成一个整体, 解- 2 π +kπ <ω x+φ < +kπ ,k∈Z 即可.当 ω <0 时,先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区 2 间. π? ? 跟踪训练 2 求函数 y=tan?2x- ?的单调区间. 3? ? 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 (1)比较大小: ①tan 32°________tan 215°; 18π 28π ②tan ________tan(- ). 5 9 (2)将 tan 1,tan 2,tan 3 按大小排列为______________.(用“<”连接) 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的方法: (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. ? 7π ? ? 9π ? 跟踪训练 3 比较大小:tan?- ?________tan?- ?. 4 ? ? ? 5 ? 3 类型三 正切函数的图象及应用 例 4 画出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 反思与感悟 (1)作出函数 y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是: ①保留函数 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分. ②将函数 y=f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. (2)若函数为周期函数, 可先研究其一个周期上的图象, 再利用周期性, 延拓到定义域上即可. ?x π ? 跟踪训练 4 设函数 f(x)=tan? - ?. ?2 3 ? (1)求函数 f(x)的周期,对称中心; (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图. π 1.函数 y=tan(2x+ )的最小正周期是________. 6 2.若 tan x>tan π 且 x 在第三象限,则 x 的取值范围是____________________. 5 π? ? 3.方程 tan?2x+ ?= 3在区间[0,2π )上的解的个数是________. 3? ? 4.比较大小:tan 1________tan 4. 1.正切函数的图象 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ + 支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 π ,k∈Z,相邻两条渐近线之间都有一 2 4 π (1)正切函数 y=tan x 的定义域是{x|x≠kπ + ,k∈Z},值域是 R. 2 (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π ,函数 y=Atan(ω x+φ ) (Aω ≠0)的周期为 T= π . |ω | π ? π ? (3)正切函数在?- +kπ , +kπ ?(k∈Z)上是单调增函数,不能写成闭区间, 正切函数无 2 ? 2 ? 单调减区间. 5 答案精析 问题导学 知识点一 π π ?π ? ? π ? 思考 2 能,三个关键点:? ,1?,(0,0),?- ,-1?,两条平行线:x= ,x=- . 2 2 ?4 ? ? 4 ? 知识点二 π 思考 1 {x|x∈R 且 x≠ +kπ ,k∈Z}. 2 思考 2 周期性. 思考 3 奇偶性. 思考 4 是. 梳理 {x|x∈R 且 x≠kπ + 题型探究 1+tan x≠0, ? ? 1 例 1 解 (1)要使函数 y= 有意义,必须且只需? π 1+tan x x≠kπ + k∈Z ? 2 ? π π 所以函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ - ,x≠kπ + ,k∈Z}. 4 2 (2)因为 3-tan x>0,所以 tan x< 3. π 又因为当 tan x= 3时,x= +kπ (k∈Z), 3 π π 根据正切函数图象,得 kπ - <x<kπ + (k∈Z), 2

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