人教A版高中数学必修四课件:1-4-2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1


§1.4正弦余弦函数 的性质 (1)定义域 域 (2)值 (3)奇偶性 (4)最值 (5)对称性 (6)周期性 五点画图法,作 y ? sin x, x ? [0,2? ]的图象 x 0 0 sinx 2 ? y 1 ? ? 2 (0 o ,0) ? 2 1 0 3? ?2 -1 0 ( , 2 1) ? ? 2 ? (?, 0) 1 3? ( , 2 3? 2 2? ( 2? ,0) x -1) 点,与x轴的交点 五点法—关键点:最高点、最低 — 仔细观察正弦、余弦函数的图象,并思考以 下几个问题: y 1 4 ? 3 ? 2 ? ? o 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? x 正弦 (1)正弦、余弦函数的定义域是什么? 曲线 [-1,1] (2)正弦、余弦函数的值域是什么? R y 1 4 ? 3 ? 2 ? ? 余弦 曲线 ? 2 ? 3 ? o 1 4 ? 5 ? 6 ? x (1)正弦、余弦函数的定义域都是R. (2)正弦、余弦函数的值域都是[-1,1]. 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于 单位圆的半径的长度, 所以 sin x ? 1, 即 ? 1 ? sin x ? 1 ? 1 ? cos x ? 1 cos x ? 1 称为正弦、余弦函数的有界性. 仔细观察正弦、余弦函数的图象,并思考以 下几个问题: y 1 4 ? 3 ? 2 ? ? o 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? x (3)正弦、余弦函数的奇偶性? 正弦 曲线 y 1 4 ? 3 ? 2 ? ? 余弦 曲线 ? 2 ? 3 ? o 1 4 ? 5 ? 6 ? x 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinx (x?R) 图象关于原点对 称 y 1 3 ? ? 5? 2 2 ? ? 3? 2 ? ? ? 2 o 1 ? 2 ? 3? 2 2 ? 5? 2 x 3 ? 7? 2 4 ? y=si nx (3)正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇 偶性 y 1 4 ? 3 ? 2 ? ? o 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? x sin(-x)= - sinx (x?R) cos(-x)= cosx (x?R) 4 ? 3 ? 2 ? ? y=sinx (x?R) 定义域关于原 点对称 y=cosx (x?R) y 1 是奇函 数 是偶函 数 4 ? 5 ? 6 ? o 1 ? 2 ? 3 ? x (4)正弦、余弦函数的最值 正弦函数y=sinx最 y 值 1 3 ? ? 5? 2 2 ? ? 3? 2 ? ? ? 2 o 1 ? 2 ? 3? 2 2 ? 5? 2 x 3 ? 7? 2 4 ? ? x ? ? 2k? , k ? Z时,y max ? 1 2 ? x ? ? ? 2k? , k ? Z时,y min ? ?1 2 余弦函数y=cosx的 y 最值 1 3 ? ? 5? 2 2 ? ? 3? 2 ? ? ? 2 o 1 ? 2 ? 3? 2 2 ? 5? 2 x 3 ? 7? 2 4 ? x ? 2k? , k ? Z时,y max ? 1 x ? ? ? 2k? , k ? Z时,y min ? ?1 (5)正弦、余弦函数的对称性 正弦函数的对称性y 1 3 ? ? 5? 2 2 ? ? 3? 2 ? ? ? 2 o 1 ? 2 ? 3? 2 2 ? 5? 2 x 3 ? 7? 2 4 ? 对称中心(k? ,0) 余弦函数的对称性 y 1 3 ? ? 5? 2 ? 对称轴: x ? k? ? 2 2 ? ? 3? 2 ? ? ? 2 o 1 ? 2 ? 3? 2 2 ? 5? 2 x 3 ? 7? 2 4 ? ? 对称中心( k? ? ,0) 2 对称轴:x ? k? 诱导公式sin(x+2π ) =sinx的几何意义. y o X X X+2 π X+2 π x 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性? 概 念 1.一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定 义域内的每一个x的值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x) 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. ?正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π. 注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x ? T ) ? f ( x ) 不能说T 是y ? f ( x )的周期. ? ? ? ? ? ? 例如 : sin( ? ) ? sin , 但是 sin( ? ) ? sin . 3 2 3 4 2 4 ? 就是说 不能对x在定义域内的每一个值使 2 ? ? sin( x ? ) ? sin x ,因此 不是y ? sin x的周期. 2 2 2.并不是所有的函数都有最小正周期,例如 (1)常值函数f ( x ) ? C (C为常数, x ? R)周期为任一实数, ?1. (当x为有理数时) (2) D( x ) ? ? ,周期为任一有理数. ?0. (当x为无理数时) 它们都没有最小正周期. ?思考:一个周期函数的周期 有多少个? 三角函数的周期性 : y=sinx(x ∈R) y ? -2 y 4π 8π x 0X ? 2 x X+2 π 4 ? 自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的 o y x o 6

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