河南省安阳一中2012-2013学年高二第二次阶段考试数学试题(奥赛班)


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河南省安阳一中 2012-2013 学年高二第二次阶段考试数学试题(奥赛班)

考生注意:本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,共 4 页三大题,考试时间为 120 分钟

第Ⅰ卷
?

选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、已知随机变量错误!未找到引用源。服从正态分布错误!未找到引用源。,且错误!未找
到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 , 若错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 (

)

A.0.1358

B.0.1359

C.0.2716
2 012

D.0.2718 )

2、 设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51 A.0 B.1 C.11

+a 能被 13 整除,则错误!未找到引用源。 ( D.12

3、曲线错误!未找到引用源。 :错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切 线错误!未找到引用源。恰好经过坐标原点,则曲线错误!未找到引用源。 、直线错误! 未找到引用源。 、错误!未找到引用源。轴围成 的图形面积为 ( ) B . 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 D.错误!未找到引用

A.错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。 源。 4、已知错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。=( A.-8 B.8 C.-16 D.16 )

5、设错误!未找到引用源。的展开式中不含错误!未找到引用源。的系数的系数和是( ) A.错误!未找到引用源。 B.160 C.161 D.错误!未找到引用源。

6、 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 事件 A 为 “取到的 2 个数之和为偶数” , 事件 B 为 “取 到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)=( 1 A. 8 B. 1 4 C. 2 5 ) 1 D. 2

7、有 8 人排成一排照相,要求错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。两人不相邻,
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。三人互不相邻,则不

同的排法有( A.11520

) B.8640 C.5640 D.2880

8、设函数错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。是从 0,1,2 三数中任取一个,错 误!未找到引用源。是从 1,2,3,4 四数中任取一个,那么错误!未找到引用源。恒成立的概 率为( )
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A.错误!未找到引用源。 7 B. 20

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C. 2 5 D. 1 2

9、将错误!未找到引用源。 名同学分配到错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。 、
错误!未找到引用源。三个宿舍中,每个宿舍至少安排错误!未找到引用源。 名学生,

其中甲同学 不能被分配到错误!未找到引用源。宿舍,那么不同的分配方案有( A.76 B.100 C.132 D.150 ) )

10、若错误!未找到引用源。 ,则下列不等式恒成立的是( A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。错误!

11、已知函数错误!未找到引用源。,对于错误!未找到引用源。值域内的所有实数错误!未
找到引用源。,则满足不等式错误!未找到引用源。恒成立的错误!未找到引用源。的集合是

( ) A.错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

12、已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? 1, f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数.已知 y ? f ' ( x) 的 图象如图所示,若两个正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 范围是( A. (? ,1) C. (?2,1) ) B. (??,? ) ? (1,??) D. (??,?2) ? (1,??)

b ?1 的取值 a?2

1 2

1 2

第Ⅱ卷
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13、甲、乙两名同学从三门选修课中各选修两门,则两人所选课程中恰有一门相同的概率 为 . 14、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。?,若 错误!未找到引用源。均为正实数) ,根据以上等式,可推测错误!未找到引用源。的值, 则错误!未找到引用源。 .

15、 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项, 已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5

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7 ,则文娱队的 10

人,从中选 2 人,设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数, P (? ? 0) ?

人数为 . 16、 已知函数错误!未找到引用源。,对任意的错误!未找到引用源。 ,都存在错误!未 找到引用源。 使得错误!未找到引用源。则实数错误!未找到引用源。的取值范围是______________.

三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 ................ 算步骤 ) ...
17、 (本小题满分 10 分) 已知错误!未找到引用源。展开式中偶数项二项式系数的和比错误!未找到引用源。展开式 的各项系数和 大 112. (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)在(1)的条件下,求错误!未找到引用源。展开式中系数最大的项; (Ⅲ)求错误!未找到引用源。展开式中的所有的有理项.

18、 (本小题满分 12 分) 设ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ =0;当 两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ =1. (Ⅰ)求概率 P(ξ =0); (Ⅱ)求ξ 的分布列,并求其数学期望错误!未找到引用源。.

19、 (本小题满分 12 分) 在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数 列(n∈N*). (Ⅰ)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; 1 1 1 5 (Ⅱ)证明: + +?+ < . a1+b1 a2+b2 an+bn 12

20、 (本小题满分 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人
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去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ =|X-Y|,求随机变 量ξ 的分布列与数学期望错误!未找到引用源。.

21、 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是增函数,求错误!未找到
引用源。的取值范围;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设错误!未找到引用源。, 求错误!未找到引用源。的最小值.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)讨论函数错误!未找到引用源。在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处取得极值,对错误!未找 到引用源。错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。恒成立, 求实数错误!未找到引用源。的取值范围; (Ⅲ)当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时,试比较 错误!未找到引用源。 的大小.

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安阳一中奥赛班 2012—2013 学年第一学期第一次阶段考试 高二数学答案
一、选择题 :BDDDC 二、填空题:
13、错误!未找到引用源。 14、41 15、5 16、错误!未找到引用源。

BAABC

CA

三、解答题:

从而错误!未找到引用源。展开式中系数最大的项是: 错误!未找到引用源。 (Ⅲ)设有理项为第 r+1 项,则 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。令 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

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18、解: (Ⅰ )若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1 个顶点恰有 8C3 8×3 4 2 3 条棱,所以共有 8C3对相交棱,因此 P(ξ =0)= 2 = = . C12 66 11 (Ⅱ)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对, 6 1 故 P(ξ = 2)= 2 = , C12 11 4 1 6 于是 P(ξ =1)=1-P(ξ =0)-P(ξ = 2)=1- - = , 11 11 11 所以随机变量ξ 的分布列是
2

ξ

0 4 11

1 6 11

2 1 11

P(ξ )

6 1 6+ 2 因此 E(x)=1× + 2× = . 11 11 11 19、解: (Ⅰ )由条件得 2bn=an+an+1,an+1=bnbn+1. 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1) . 用数学归纳法证明:
2 2

a2 k+1 bk+1= =(k+2)2, bk
所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1) 对一切正整数都成立. (Ⅱ)证明: 1
2

a1+b1 6 12

1 5 = < .

n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.

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故 1 1 1 + +?+ a1+b1 a2+b2 an+bn

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1 1 1? 1 + +?+ < + ? n? 6 2?2×3 3×4

n+1? ? ?

1

?

1 1 ? 1 1?1 1 1 1 = + ? - + - +?+ - n n+1? 6 2?2 3 3 4 ? 1 ? 1 1 5 1 1?1 = + ? - ?< + = . 6 2?2 n+1? 6 4 12 综上,原不等式成立. 1 20、解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为错 3
误!未找到引用源。.设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),
i?1?i?2?4-i 则 P(Ai)=C4? ? ? ? . ?3? ?3?

8 2?1?2?2? 2 (Ⅰ )这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)=C4? ? ? ? = . ?3? ?3? 27

(Ⅲ)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ =0)=P(A2)= 40 81 8 , 27 17 81

P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= ,P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以ξ 的分布列是 ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81

P

8 40 17 148 随机变量ξ 的数学期望 Eξ =0× +2× +4× = . 27 81 81 81 21、解: (Ⅰ ) 错误!未找到引用源。,∵f(x) 在(0,1)上是增函数,∴2x+错误! 未找到引用源。-a≥0 在(0,1)上恒成立,即 a≤2x+错误!未找到引用源。恒成立, ∴只 需 a≤(2x+错误!未找到引用源。)min 即可. ∴x+错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。 (当且仅当 x=错误!未找到引用源。
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(Ⅱ)设错误!未找到引用源。 其对称轴为

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时取等号) , ∴a≤错误!未找到引用源。 设错误!未找到引用源。 , ∴t=

t=错误!未找到引用源。,由(1)得 a≤错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。 则当 1≤错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。,即 2≤a≤错误!未找到引用源。 时,h(t)的最小值为 h(错误!未找到引用源。)=-1-错误!未找到引用源。, 当错误!未找到引用源。<1,即 a<2 时,h(t)的最小值为 h(1)=-a , 当 2≤a≤错误!未找到引用源。时 g(x) 的最小值为-1-错误!未找到引用源。 , 当 a <2 时 g(x) 的最小值为-a. 22、解: (Ⅰ) ,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 在错误!未找到引用源。上恒成立,函数错误!未找到引用源。

∴当错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上没有极值 点,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上有一 个极值点. (Ⅱ)∵函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处取得极值,∴错误!未找 ,∴ , 到引用源。 错误!未找到引用源。 令 ,错误!未找到引用源。,可得错误!未找到引用源。在错误!未 错误!未找到引用源。 找到引用源。上递减,在错误!未找到引用源。上递增, ∴ ,即 . 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知错误!未找到引用源。在(0,e )上单调减 ∴0<x<y<e 时,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。 当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴错误!未找到引用源。 当 e<x<e 时,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴错误!未找到引用源。.
2 2 2

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