高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.1 函数的单调性与导数对点训练 理


2017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.1 函数的单调

性与导数对点训练 理

1.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( )

A.???-23e,1???

B.???-23e,34???

C.???23e,34???

D.???23e,1???

答案 D

解析 由题意可知存在唯一的整数 x0,使得 ex0(2x0-1)<ax0-a,设 g(x)=ex(2x-1),

h(x)=ax-a,由 g′(x)=ex(2x+1)可知 g(x)在???-∞,-12???上单调递减,在???-12,+∞???上

单调递增,作出

g(x) 与

h(x)























?? h ???h



g

g



,即

??a<1 ???-2a≤-3e

,所以23e≤a<1,故选 D.

2.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-

f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

答案 A

解析

令 F(x)=f

x x

,因为 f(x)为奇函数,所以 F(x)为偶函数,由于 F′(x)=

xf

x -f x2

x

,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,所以 F(x)=f

x x

在(0,+∞)上单调

1

递减,根据对称性,F(x)=f

x x

在(-∞,0)上单调递增,又 f(-1)=0,f(1)=0,数形

结合可知,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选 A.

3.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下

列结论中一定错误的是( )

A.f???1k???<1k

B.f???1k???>k-1 1

C.f???k-1 1???<k-1 1

D.f???k-1 1???>k-k 1

答案 C

解析 构造函数 g(x)=f(x)-kx+1,

则 g′(x)=f′(x)-k>0,∴g(x)在 R 上为增函数.

∵k>1,∴k-1 1>0,则 g???k-1 1???>g(0).

而 g(0)=f(0)+1=0,

∴g???k-1 1???=f???k-1 1???-k-k 1+1>0,

即 f???k-1 1???>k-k 1-1=k-1 1,

所以选项 C 错误,故选 C. 4.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围 是( )

A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)

答案 C

解析 (1)当 a=0 时,显然 f(x)有两个零点,不符合题意.

(2)当 a≠0 时,f′(x)=3ax2-6x,令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=2a.



a>0

2 时,a>0,所以函数

f(x)=ax3-3x2+1

在(-∞,0)与???2a,+∞???上为增函数,在

???0,2a???上为减函数,因为 f(x)存在唯一零点 x0,且 x0>0,则 f(0)<0,即 1<0,不成立. 当 a<0 时,2a<0,所以函数 f(x)=ax3-3x2+1 在???-∞,2a???和(0,+∞)上为减函数,在

???2a,0???上为增函数,因为 f(x)存在唯一零点 x0,且 x0>0,则 f???2a???>0,即 a·a83-3·a42+1>0, 解得 a>2 或 a<-2,又因为 a<0,故 a 的取值范围为(-∞,-2).选 C.

5.已知函数 f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中 a>0.

(1)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性;

(2)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 在区间(1,+∞)内恒成立,且 f(x)=0 在区

间(1,+∞)内有唯一解.

2

解 (1)由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f′(x)=2(x-a)-2ln x- 2???1+ax???,
所以 g′(x)=2-2x+2xa2 =2???x-12???2x+2 2???a-14???

当 0<a<14时,g(x)在区间???0,1- 21-4a???,???1+ 21-4a,+∞???上单调递增,

在区间???1- 21-4a,1+ 21-4a???上单调递减; 当 a≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

(2)证明:由 f′(x)=2(x-a)-2ln x-2???1+ax???=0,解得 a=x-11+-xl-n1 x. 令 φ (x) = - 2 ???x+x-11+-xl-n1 x??? ln x + x2 - 2 ???x-11+-xl-n1 x??? x - 2 ???x-11+-xl-n1 x??? 2 + x-1-ln x 1+x-1 .

则 φ (1)=1>0,φ (e)=-

- 1+e-1

-2???1e+-e2-1???2<0.

故存在 x0∈(1,e),使得 φ (x0)=0.

令 a0=x0-11+-xl-0 n1 x0,u(x)=x-1-ln x(x≥1).

由 u′(x)=1-1x≥0 知,函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

所以 0=u1+1

<u1+xx0- 0 1

=a0<u1+e-1

e-2 =1+e-1<1.

即 a0∈(0,1).

当 a=a0 时,有 f′(x0)=0,f(x0)=φ (x0)=0.

由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,

故当 x∈(1,x0)时,f′(x)<0,

从而 f(x)>f(x0)=0;

当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,

从而 f(x)>f(x0)=0.

所以,当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.

综上所述,存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 在区间(1,+∞)内恒成立,且 f(x)=0 在区

间(1,+∞)内有唯一解.

6.设函数 f(x)=3x2e+x ax(a∈R).

(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1))

处的切线方程;

3

(2)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围.

解 (1)对 f(x)求导得

f′(x)=

x+a

x- x2+ax
x2

x

-3x2+ -a x+a



ex



因为 f(x)在 x=0 处取得极值,所以 f′(0)=0,即 a=0. 当 a=0 时,f(x)=3exx2,f′(x)=-3xe2x+6x,故 f(1)=3e,f′(1)=3e,

从而 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-3e=3e(x-1),化简得 3x-ey=0.

(2)由(1)知 f′(x)=-3x2+

-a ex

x+a ,

令 g(x)=-3x2+(6-a)x+a,



g(x)=0

解得

x1=6-a-6

a2+36 ,

x2=6-a+6

a2+36 .

当 x<x1 时,g(x)<0, 即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0, 即 f′(x)>0,故 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0, 即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数. 由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,



x2=6-a+6

a2+36 ≤3,解得

a≥-92,

故 a 的取值范围为???-92,+∞???. 7.已知函数 f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;

(3)已知 1.4142< 2<1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001). 解 (1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)单

调递增. (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x, g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2). ①当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(-∞,+∞)单调递增. 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0; ②当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e-x<2b-2,

4

即 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时,g′(x)<0. 而 g(0)=0,因此当 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时,g(x)<0.综上,b 的最大值为 2. (3)由(2)知,g(ln 2)=32-2 2b+2(2b-1)ln 2.

当 b=2 时,g(ln 2)=32-4 2+6ln 2>0,ln 2>8 122-3>0.6928;

当 b=3 4 2+1 时,ln (b-1+ b2-2b)=ln 2,

g(ln

3

18+ 2

2)=-2-2 2+(3 2+2)ln 2<0,ln 2< 28 <0.6934.

所以 ln 2 的近似值为 0.693.

5


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