2014高考数学文科全国卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 M ? B ? ( A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3) )

(2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

1 ? i ,则 | z |? 1? i 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? (4)已知双曲线 2 ? a 3 6 5 A. 2 B. C. D. 1 2 2 (5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的是
A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

(7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? 数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 的所有函 6 4

?

8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱



9.执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? ( A.

)

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

1

10.已知抛物线 C: y 2 ? x 的焦点为 F , A A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

?x , y ?是 C 上一点,zxxk AF ? 5 ,则 x 4x
0 0
0

0

?(



(11)设 x , y 满足约束条件 ? (A)-5 (C)-5 或 3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ? x ? y ? ?1,
(B)3 (D)5 或-3

3 2 (12)已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值 范围是

(A) ? 2, ???

(B) ?1, ?? ?

(C) ? ??, ?2?

(D) ? ??, ?1?

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、zxxk C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? x , x ? 1, ? (16)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m , 则 山 高 MN ? ________ m .

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)
2

已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

3

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部 产品的80%”的规定?

19(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C zxxk 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C .有途高考网 (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标 原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

4

21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,zxxk 曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0 2
a ,求 a 的取值范围。 a ?1

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ; (II)设 AD 不是 ? O 的直径, AD 的中点为 M ,zxxk 且 MB ? MC ,证明: ?ABC 为等边三角形.

5

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y2 ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值.
已知曲线 C :

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

6


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