云南省保山曙光学校高二数学《113解三角形的进一步讨论》教学设计


1.1.3 一、内容及其解析 解三角形的进一步讨论 本节课中,应先通过分析典型例题,帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指出 正弦定理和余弦定理是相通的,凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也可以解,反之 亦然.但解题的时候,应有最佳选择.教学过程中,我们应指导学生对利用正弦定理和余弦 定理解斜三角形的问题进行归类,列表如下: 解斜三角形时可用的定理和 公式 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC 正弦定理 适用类型 (1)已知三边 (2)已知两边及其夹角 备注 类型(1) (2)有解时只有一 解 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 三角形面积公式 (3)已知两角和一边 (4) 已知两边及其中一边的 对角 (5)已知两边及其夹角 类型 (3) 在有解时只有一解, 类型(4)可有两解、一解或 无解 1 1 S ? bc sin A ? ac sin B ? 2 2 1 ab sin C 2 同时应指出,在解斜三角形问题时,经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换,转化的 主要途径有两条: (1) 化边为角, 然后通过三角变换找出角与角之间的关系, 进而解决问题; (2)化角为边,将三角问题转化为代数问题加以解决.一般地,当已知三角形三边或三边 数量关系时,常用余弦定理;若既有角的条件,又有边的条件,通常利用正弦定理或余弦定 理,将边化为角的关系,利用三角函数公式求解较为简便.总之,关键在于灵活运用定理及 公式. 二、目标及其解析 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 2.三角形各种形状的判定方法; 3.三角形面积定理的应用. 教具准备 投影仪、幻灯片 第一张:课题引入图片(记作 1.1. 正弦定理: a b c ? ? ? 2R ; sin A sin B sin C 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC, cos A ? b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 cos B ? cos C ? , , 2bc 2ca 2ab 第二张:例 3、例 4(记作 1.1. B [例 3]已知△ ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶BC=AD∶DC [例 4]在△ ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC 第三张:例 5(记作 1.1. [例 5]在△ ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状 三、问题诊断分析 通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数 公式及三角形有关性质求解三角形问题.通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角 形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可 能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系. 四、教学过程 问题与题例 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触 了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、 余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定 理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一 节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角 恒等式时的应用 推进新课 思考:在△ ABC 中,已知 A=22cm,B=25cm,A=133° ,解三角形. (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 在某些条 件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题. 【例 1】在△ ABC 中,已知 A,B,A,讨论三角形解的情况 师 分析:先由 sin B ? b sin A a sin C 可进一步求出 B;则 C =180° -(A+B),从而 c ? a sin A 一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况. 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解;否则无解. 2.当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解; 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a>bsinA,则有两解; (2)若 a=bsinA,则只有一解; (3)若 a<bsinA,则无解. (以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页) 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解 三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a<b 时,有 两解;其他情况时则只有一解或无解. (1)A 为直角或钝角 (2)A 为锐角 【例 2】在△ ABC 中,已知 a =7,b=5,c =3,判断 △ ABC 的类型. 分析:由余弦定理可知 a2=b2+c2 ? A 是直角 ? △ ABC 是直角三角形, a2>b2+c2 ? A 是钝角 ? △ ABC 是钝角三角形, a2<b2+c ? A 是锐角/ △ ABC 是锐角三角形。 (注意:A 是锐角/ △ ABC 是锐角三角形 ) 解:∵72>52+32,即 a2>b2+c2, ∴△ABC 是钝角三角形. 1.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题. ①已知两角和任一边,求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) . 2. 正弦定理, 可以用来判断三角形的形状, 其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例 如:在判断三角形形状时,经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替. 3.余弦定理的主要作用一是解三角形,二是判断三角形的形状,它的主要功能是实现边 角之间的转化. (1)已知三边,求三

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