(10月31日)初高中数学衔接讲座


江西省上犹中学

刚从初中升上高中的学生普遍不能 一下子适应过来,都觉得高一数学难学, 特别是对意志品质薄弱和学习方法不妥 的那部分学生更是使他们过早地失去学 数学的兴趣,甚至打击他们的学习信心。 如何搞好高初中数学教学的衔接,如何 帮助学生尽快适应高中数学教学特点和 学习特点,跨过“高台阶”?今天很荣 幸与各位领导、专家、同行共同探讨高 初中数学教学知识点方面的衔接。

1 2

绝对值 整式 分式 二次根式 二次方程(组)
衔接中 最重要的内容

3
4 5 6

二次函数的图象和性质

1.绝对值 绝对值的概念始出现于初一数学课本,它是数 学重要概念之一,贯穿于整个初等数学的始终,并 随着知识的发展,不断深化.2010年广东省的最后 一题便是一道绝对值不等式的问题。 【初中】借助数轴理解绝对值的意义,并会求 有理数的绝对值(绝对值符号内不含字母). 【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等 式选讲. 【建议】含字母的绝对值,简单的含绝对值的 方程(不等式)的解法.

你看看:(2010高考)
21.(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )是平面直角坐标系 xOy 上的
两点,现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 P(A,B)为 ? ( A, B) ? x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y1 )B( x 2 ,

y2 )

(1) 若点 C(x,y)是平面 xOy 上的点,试证明 p(A,C)+p(C,B)≥p(A,B) (2) 若平面 xOy 上是否存在点 X(x,y) ,同时满足 ① p(A,C)+p(C,B)=pA,B) ;②p(A,C)= p(C,B) 若存在,请求出。 本题考了: (1)∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; (2)∣a-b∣≤∣a-c∣+∣c-b∣.

【高中练习示例】 问题1: 解不等式|x-1|<|x+3| 【高一前应掌握练习】

【例 1】 解关于 x 的不等式:|x-2|<1. 【例 2】解下列方程或不等式: (1) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 . (2) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 .

2.整式 整式的变形是重要的代数式的恒等变 形,也是高中数学中极其常见的运算. 【初中】要求了解整式的概念,会进 行简单的整式加、减运算,乘法运算( 其中 的多项式相乘仅指一次式相乘);会利用平 方差、完全平方公式进行简单计算;会用提 公因式法、公式法(直接用公式不超过二次) 进行因式分解(指数是正整数). 【高中】不再学习整式.

【建议】 1、乘法公式 (1)立方和公式: (a ? b)( a ? ab ? b ) ? a ? b ;
2 2 3 3

(2)立方差公式: (a ? b)( a ? ab ? b ) ? a ? b ;
2 2 3 3

(3)三数和平方公式:

(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ;
(4)两数和立方公式: (a ? b) ? a ? b ? 3a b ? 3ab ;
3 3 3 2 2

(5)两数差立方公式: (a ? b) ? a ? b ? 3a b ? 3ab .
3 3 3 2 2

2、因式分解的新方法: (1)分组分解法;(2)十字相乘法;(3)求根法;(4)待定系数法.

思考:分解因式:x3-3x+2

【高中练习示例】
求证:函数 y=x3 是增函数。 本题实质是: 已知函数 y=x3 的图象经过点 ( x1 , y1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) ,且 x1 ? x2 ,求证: y1 ? y 2 . 解:∵函数 y=x3 的图象经过点 ( x1 , y1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) ,∴ y1 ? x1 , y 2 = x 2 .
3 3

∴ y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 = ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ,
3 3 2 2

∵ x1 ? x2 , ∴ x1 ? x 2 ? 0 . 又 x1 ? x1 x 2 ? x 2
2 2

x 3x ? x1 ? x1 x 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 4
2 2

2

x 2 3x = ( x1 ? 2 ) ? 2 ? 0 ,(由于 x1 ? x2 ,所以不能取等号) 2 4
∴ y1 ? y 2 ? 0 ,即 y1 ? y 2 .

【高一前应掌握练习】

【例 1】分解因式: 3x 2 ? 8x ? 3 ;(2) x 2 ? 5 xy ? 6 y 2 ; (1) (3) 2 x 2 ? 7 xy ? 6 y 2 ? 2 x ? y ? 12 . 【例 2】比较 a 2 ? b 2 ? c 2 与 ab ? bc ? ca 的大小.

3.分式 【初中】了解分式的概念,会利用分式的基本性 质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、 乘、 除运算;会解可化为一元一次方程的分式方程(方程 中的分式不超过两个);能确定分式函数的自变量取 值范围,并会求出函数值. 【高中】不再学习。高二选修中,有少量分式 不等式的学习。 【建议】接触更复杂的分式运算(如分式拆分, 分式乘方);解可化为一元二次方程的分式方程.

【高中练习示例】
2x ?1 【例 1】判断:函数 f ( x) ? x 是奇函数还是偶函数。 2 ?1 2 x ? 1 2?x ? 1 本题的实质是:比较 x 与 ?x 是相等,还是互为相反数。 2 ?1 2 ?1

【高一前应掌握练习】

【例

b 2x ? 3 1】已知函数 y ? x ? 1 .将它化为 y ? a ? x ? 1

(a,b

为常数)的形式;
问题 2:下列是一个同学觉得比较简单的题,请大家试试,你 能全对吗: ① 当 x ?1 时 ,
1 x

的 范 围 是 ; 范 围 是 .



1 ②当 x ? 1时, 的范围是 x 1 ③ 当 x ? ?1 时 , 的 x 1 ④当 x ? ?1 时, 的范围是 x



4.二次根式 高中阶段,我们在学习函数、解析几何、数 列等内容时,涉及到大量的与二次根式有关的计 算。 【初中】了解二次根式的概念及其加、减、 乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简 单四则运算(不要求分母有理化). 【高中】会学习有理指数幂及运算。 【建议】根据需要,我们应掌握最简二次根 式、同类根式的概念与运用,分子(母)有理化, 简单的无理方程(不等式).

【高中练习示例】
已知动点 P(x,y)满足: 求点 P 的轨迹方程。 本题的实质:化简该方程。 结果是:
x2 y2 ? ? 1 ,化简后马上就可以知道,点 9 5
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 6

P

的轨迹是椭圆。

【高一前应掌握练习】
3? 2 3? 2
?

【例 1】化简: (1) (3) 【例 2】化简: (1) (2)

1 2

; (2)


(n ? 2) .

n ? 2 ? n2 ? 4 n?2? n ?4
2

n ? 2 ? n2 ? 4 n?2? n ?4
2

11 ? 2 18



x2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

5.二次方程(组) 【初中】会用因式分解法、公式法、配方法 解很简单的数字系数的一元二次方程. 【高中】不要学习。 【建议】 (1)理解一元二次方程的根的判别式,并能 用判别式判定根的情况; (2)掌握一元二次方程根与系数的关系,并 能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式 的值,还能构造以、为根的一元二次方程; (3)能解决二元二次方程组的相关问题.

【高中练习示例】
20.(本小题满分 14 分) (2010 高考题)

x2 已知双曲线 ? y 2 ? 1 的左、右定点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y2 ) ,Q( 2 x1 , ? y2 )是双曲线上不同的两个动点。求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方
程;若过点 H(0.h) (h>1)的两条直线

部分解答过程:
x2 x2 l将 y ? kx ? h 代入 ? y 2 ? 1 得 ? (kx ? h) 2 ? 1 , 1: 2 2 2 2 2 即 (1 ? 2k ) x ? 4khx ? 2h ? 2 ? 0 ,
由 ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

即 1 ? 2k ? h .
2 2

【高一前应掌握练习】
有两个不相等的实数根?

【例 1】 关于 x的方程mx 2 ? 2(3m ? 1) x ? 9m ? 1 ? 0 .m 取何值时,方程

【例 2】 设方程 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根是 ?、?, ? ? ? , 利用根与 且 系数的关系求: (1) ?

1

?

1

?

?2 ? ? 2. ; (2)

6.二次函数的图象和性质(衔接中最重要的内容) 二次函数知识的生长点在初中,而发展点则在高中,是初 高中数学衔接的重要内容.二次函数作为一种简单而基本的函 数类型,是历年来高考的一项重点考查内容,经久不衰,以它 为核心内容的重点试题,也年年有所变化. 【初中】确定二次函数的表达式,会用描点法画出二次函 数的图象,并能从图象上认识二次函数的性质,会利用二次函 数的图象求一元二次方程的近似解. 【高中】结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究,所以应 该更深入地研究二次函数的图象和性质,包括:简单的图象变 换、求给定自变量x的范围的二次函数的最值、构造二次函数来 解决一些问题.

【高中练习示例】
(07 广东) 已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ?
2

在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围. 部分解答:

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 2 4 ? 4 a ? ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

0

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 或? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 解得 a ? 5 或 a ? 2

【高一前应掌握练习】
【例 1】 对于二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 , 分别在下列的自变 量取值范围内,求出函数的最大值、最小值. (1) 3 ? x ? 4 ; (2) 0 ? x ? 1 ; (3) 0 ? x ? 5 . 【例 2】 1)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 ( ? 1 ? x ? 2 ) ( 的最大值为 4,求 a 的值.

总之,初高中数学的衔接,既是知识的 衔接,又是教法、学习方法、学习习惯和师生 情感的衔接,只有综合考虑学生实情、课标和 大纲、教材、教法等各方面的因素,才能制定 出较完善的措施。 作为教师,要积极地了解学生、关爱 学生;要不断地探讨教学的规律,为提高课堂 教学的质量不懈地努力;要不断地提高自身素 质,强化自身的业务能力,以自身的人格魅力 吸引学生,以自身的严谨作风感染学生,以自 身的过硬的能力指导学生,才能取得教育教学 的成功。


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