高二数学北师大版选修2-2第二章 4.2 导数的乘法与除法法则 课件(北师大版选修2-2)


第二章 变化率与导数 4.2 导数的乘法与除法法则 求函数的导数的步骤是怎样的? (1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x ?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x 导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 导数的加法和减法法则是什么? 两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即: ? f ( x) ? g ( x)? ? ? ? f ( x) ? g ( x)? ? ? f ?( x) ? g ?( x), f ?( x) ? g ?( x). 问题提出 如果有函数 y ? f ( x) g ( x) ? x 2 f ( x), 如何来求它的导数呢 ? 分析推导 按照求函数导数的步骤 : 首先给定自变量 x0的一个改变量 ?x, 可以得到函数值的改变 量 2 ?y ? ( x0 ? ?x) 2 f ( x0 ? ?x) ? x0 f ( x0 ), 相应的平均变化率可以 写成 2 f ( x0 ) ?y ( x0 ? ?x) 2 f ( x0 ? ?x) ? x0 ? ?x ?x 2 ( x0 ? ?x) 2 ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )? ? ( x0 ? ?x) 2 ? x0 f ( x0 ) ? ?x 2 2 f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ( x ? ? x ) ? x 0 0 0 ? ( x0 ? ?x) 2 ? 0 f ( x0 ), ?x ?x ? ? 2 令?x ? 0,由于 lim ( x0 ? ?x) 2 ? x0 , ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ? f ?( x0 ), ?x ?0 ?x 2 ( x0 ? ?x) 2 ? x0 lim ? 2 x0 , ?x ?0 ?x 知f ( x) g ( x) ? x 2 f ( x)在x0处的导数值为 2 x0 f ?( x0 ) ? 2 x0 f ( x0 ). 因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ?( x) ? ( x 2 )? f ( x). ? ? ? ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x ), 一般地, 若两个函数 f ( x)和g ( x)的导数分别 ? ?( x 是f ?( x)和g ? f ), ( x我们有 )? f ?:( x) . ? ? ?? ? ? f ( x) g (?xg )? x)) ? f ( x) g ?( x), ?((x ( x? ) ?f ( x) gg ? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) . ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ? ? 特别地 , 当g ( x) ? k时, 有 : ?kf ( x)? ? kf ?( x). ? 例题讲解 例1.求下面函数的导数 : (1) y ? x 2e x ;(2) y ? x sin x;(3) y ? x ln x. 解 : (1)函数y ? x 2 e x是函数f ( x) ? x 2与g ( x) ? e x 之积, 由导数公式表分别得出 f ?( x) ? 2 x, g ?( x) ? e x , 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : x 2 x 2 x ? ( x e ) ? 2 xe ? x e ? (2 x ? x )e . 2 x ( 2)函数y ? f ?( x) ? 1 x sin x是函数f ( x) ? , g ?( x) ? cos x, x与g ( x) ? sin x之积, 由导数公式表分别得出 2 x 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : sin x ( x sin x)? ? ? 2 x x cos x. (3)函数y ? x ln x是函数f ( x) ? x与g ( x) ? ln x之积, 由导数公式表分别得出 1 f ?( x) ? 1, g ?( x) ? , x 根据两函数之积的求导 法则, 可得 : 1 ( x ln x)? ? 1 ? ln x ? x ? ? ln x ? 1. x 例题讲解 例2.求下列函数的导数 : sin x x (1) y ? ,(2) y ? . x ln x 2 sin x 解 : (1)函数y ? 是函数f ( x) ? sin x和函数 x g ( x) ? x之商, 根据导数公式表分别得 出: f ?( x) ? cos x, g ?( x) ? 1, 由求导的除法法则得: ? ? sin x ? cos x ? x ? sin x ?1 x cos x ? sin x ? . ? ? ? 2 2 x x ? x ? x2 (2)函数y ? 是函数f ( x) ? x 2和函数 ln x g ( x) ? ln x之商, 根据导数公式表分别得 出: 1 f ?( x) ? 2 x, g ?( x) ? , x 由求导的除法法则得 : 2 1 ? 2 x ? ln x ? x ? ? x2 ? x(2 ln x ? 1) x ? ? . 2 2 ? ln x ? ? ? (ln x) ln x ? ? 例题讲解 例3.求下列函数的导数 : cos x ? x (1) y ? x (ln x ? sin x); (2) y ? . 2 x 2 解 : (1)函数y ? x 2 (ln x ? sin x)是函数f ( x) ? x 2与 g ( x) ? ln x ? sin x的积.由导数公式表及和函数 的求 1 导法则可得: f ?( x) ? 2 x, g ?( x) ? ? cos x, x 由求导

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