2017高三一轮复习教案-导数的概念及其运算


第十节

导数的概念及其运算

1.导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 (1)能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= , x y =x2,y=x3,y= x的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. (3)能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数.

知识点一 导数的概念及几何意义 导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 li m →
Δx

f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x0, → Δx 0 Δx 0Δx

即 f′(x0)=li m →
Δx 0Δx

f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m . Δx Δx→0

(2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0, y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数). 相应地, 切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)=li m → ?易误提醒 1.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者.
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. [自测练习] 1.(2015· 陕西一检)已知直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3lnx 的一条切线,则 m 的值为 ( ) A.0 C.1 B.2 D.3

3 解析:因为直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3lnx 的切线,所以令 y′=2x- =-1,得 x x 3 =1,x=- (舍),即切点为(1,1),又切点(1,1)在直线 y=-x+m 上,所以 m=2,故选 B. 2 答案:B 2.(2015· 洛阳期末)函数 f(x)=exsinx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( 3π A. 4 π C. 4 π B. 3 π D. 6 )

解析:因为 f′(x)=exsinx+excosx,所以 f′(0)=1,即曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切 π 线的斜率为 1,所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 ,故选 C. 4 答案:C 知识点二 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 1 (sinx)′=cos_x,(cosx)′=-sin_x,(ax)′=axln_a,(ex)′=ex,(logax)= ,(lnx)′ xlna 1 = . x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2

3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. ?易误提醒

1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)′=nxn ∈Q,(cosx)′=-sinx. 2.注意公式不要用混,如(ax)′=axln a,而不是(ax)′=xax 1.


-1

中 n≠0 且 n

3.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. [自测练习] 3.下列求导运算正确的是( 1 1 x+ ?′=1+ 2 A.? ? x? x 1 B.(log2x)′= xln2 C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cosx)′=-2sinx 1? 1 x x 2 2 2 ?1? 解析:? ?x+x?′=x′+?x?′=1-x2;(3 )′=3 ln3;(x cosx)′=(x )′cosx+x (cosx)′ =2xcosx-x2sinx. 答案:B 4.若函数 f(x)=2x+lnx 且 f′(a)=0,则 2aln2a=( A.1 C.-ln2 B.-1 D.ln2 ) )

1 1 1 解析:f ′(x)=2xln2+ ,由 f′(a)=2aln2+ =0,得 2aln2=- ,则 a· 2a· ln2=-1, x a a 即 2aln2a=-1. 答案:B

考点一 导数的运算|

1.(2015· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则 x0=( A.e2 C.ln2 B.1 D.e

)

1 解析:由题意可知 f′(x)=2014+lnx+x· =2015+lnx.由 f′(x0)=2015,得 lnx0=0, x 解得 x0=1. 答案:B 2.若函数 f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________.

1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 解得 f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 3.已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, π? ?π? ?π? n≥2),则 f1? ?2?+f2?2?+?+f2016?2?=________. 解析:f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx, f3(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx, f4(x)=-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π? ?π? ?π? ∴f1? ?2?+f2?2?+?+f2016?2?

?π? ?π? ?π? ?π?? =504? ?f1?2?+f2?2?+f3?2?+f4?2??=0.
答案:0

求导运算应遵循的两个原则 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等式等变 形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.

考点二 导数的几何意义| 导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题中前 几问,难度较低.归纳起来常见的命题探究角度有: 1.求切线方程问题. 2.确定切点坐标问题. 3.已知切线问题求参数. 4.切线的综合应用. 探究一 求切线方程问题 lnx-2x 1.(2015· 云南一检)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为( x A.2x-y-4=0 B.2x+y=0 )

C.x-y-3=0

D.x+y+1=0

1-lnx 解析:f′(x)= 2 ,则 f′(1)=1,故该切线方程为 y-(-2)=x-1,即 x-y-3=0. x 答案:C 探究二 确定切点坐标问题 2.(2015· 洛阳期末)已知直线 m:x+2y-3=0,函数 y=3x+cosx 的图象与直线 l 相切 于 P 点,若 l⊥m,则 P 点的坐标可能是( π 3π? A.? ?-2,- 2 ? 3π π? C.? ? 2 ,2? ) π 3π? B.? ? 2, 2 ? 3π π? D.? ?- 2 ,-2?

1 解析:因为直线 m 的斜率为- ,l⊥m,所以直线 l 的斜率为 2.因为函数 y=3x+cosx 2 的图象与直线 l 相切于点 P,设 P(a,b),则 b=3a+cosa 且 y′|x=a=3-sina=2,所以 sina π 3π =1,解得 a= +2kπ(k∈Z),所以 b= +6kπ(k∈Z), 2 2 π 3π ? 所以 P? ?2+2kπ, 2 +6kπ?(k∈Z), π 3π? 当 k=0 时,P? ?2, 2 ?,故选 B. 答案:B 探究三 已知切线求参数范围 3.(2015· 河北五校联考)若曲线 C1:y=ax2(a>0)与曲线 C2:y=ex 存在公共切线,则 a 的取值范围为( e2 ? A.? ? 8 ,+∞? e2 ? C.? ? 4 ,+∞? ) e2 0, ? B.? ? 8? e2 0, ? D.? ? 4?

解析: 结合函数 y=ax2(a>0)和 y=ex 的图象可知, 要使曲线 C1: y=ax2(a>0)与曲线 C2: ex ex y=ex 存在公共切线, 只要 ax2=ex 在(0, +∞)上有解, 从而 a= 2.令 h(x)= 2(x>0), 则 h′(x) x x ex· x2-ex· 2x ?x-2?ex e2 e2 = = ,令 h ′ ( x ) = 0 ,得 x = 2 ,易知 h ( x ) = h (2) = ,所以 a ≥ . min x4 x3 4 4 答案:C 探究四 切线的综合应用 4.(2015· 重庆一诊)若点 P 是函数 f(x)=x2-lnx 图象上的任意一点,则点 P 到直线 x-y -2=0 的最小距离为( A. 2 2 ) B. 2

1 C. 2

D.3

1 解析: 由 f′(x)=2x- =1 得 x=1(负值舍去), 所以曲线 y=f(x)=x2-lnx 上的切线斜率 x |1-1-2| 为 1 的点是(1,1),所以点 P 到直线 x-y-2=0 的最小距离为 = 2,故选 B. 2 答案:B

导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下三个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

4.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 15 【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于 4 ( ) 25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64 21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4

[解析] 因为 y=x3,所以 y′=3x2, 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0), 则在该点处的切线斜率为 k=3x2 0,
2 2 3 所以切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0

3 15 25 = ,当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切,可得 a=- , 2 4 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切,可得 a=-1,所以选 A. 2 4 4 4 [答案] A [易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析,误认为是切点而失误. [防范措施] (1)对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式,求导 法则及导数的计算原则要熟练掌握.(2)对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的切点, 进而选择相应的方法求解.

[跟踪练习] (2015· 兰州一模)已知直线 y=2x+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点(1,3), 则实数 b 的值为________. 解析:因为函数 y=x3+ax+b 的导函数为 y′=3x2+a,所以此函数的图象在点(1,3)处
?3+a=2, ?a=-1, ? ? 的切线斜率为 3+a,所以? 解得? ?3=1+a+b, ?b=3. ? ?

答案:3

A 组 考点能力演练 π 1.(2015· 太原一模)曲线 y=x2 上点 P 处的切线的倾斜角为 ,则点 P 的坐标为( 4 A.(0,0) 1 1? C.? ?4,16? B.(2,4) 1 1? D.? ?2,4? )

π 1 1 解析:因为 y=x2,所以 y′=2x,tan =2x,所以 x= ,代入 y=x2,得 y= ,因此点 4 2 4 1 1? P 的坐标为? ?2,4?,故选 D. 答案:D 2 2.(2015· 宝鸡质检)曲线 y=1- 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 解析:∵y=1- B.y=2x-1 D.y=-2x-2 x+2-x 2 x 2 = ,∴y′= = ,y′|x=-1=2,∴曲线在点(-1, x+2 x+2 ?x+2?2 ?x+2?2 )

-1)处的切线的斜率为 2,∴所求切线的方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1,故选 A. 答案:A 3.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 ( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 解析:分别作出曲线 y=f(x)上 A,B 两点的切线,设曲线 y=f(x)上 A,B 两点的切线的 斜率分别为 kA,kB,则由图可知 kB>kA,即 f′(xA)<f′(xB),故选 B. 答案:B 4.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令

g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=(

)

A.-1 C.2

B.0 D.4

1 1 解析: 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- , ∴f′(3)=- .∵g(x)=xf(x), 3 3 ∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+ 1? 3×? ?-3?=0. 答案:B

? π?? 5.已知函数 f(x)=lnx+tanα? ?α∈?0,2??的导函数为 f′(x),若使得 f′(x0)=f(x0)成立的
x0 满足 x0<1,则 α 的取值范围为( π? A.? ?0,4? π π? C.? ?6,4? ) π π? B.? ?4,2? π? D.? ?0,3?

1 1 1 1 解析:∵f′(x)= ,∴f′(x0)= ,由 f′(x0)=f(x0),得 =lnx0+tanα,∴tanα= -lnx0. x x0 x0 x0 π? 1 ?π π? 又 0<x0<1,∴ -lnx0>1,即 tanα>1,又 α∈? ?0,2?,∴α∈?4,2?,故选 B. x0 答案:B lnx 6.(2015· 长春二模)若函数 f(x)= ,则 f′(2)=________. x 1-lnx 1-ln2 解析:由 f′(x)= 2 ,得 f′(2)= . x 4 1-ln2 答案: 4 7.如果 f′(x)是二次函数,且 f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3),那么曲线 y =f(x)上任意一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是________. 解析: 根据已知可得 f′(x)≥ 3, 即曲线 y=f(x)上任意一点的切线的斜率 k=tanα≥ 3, π π? 结合正切函数的图象,可知 α∈? ?3,2?. π π? 答案:? ?3,2? 8.(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x

+1 相切,则 a=________. 1 解析:法一:∵y′=1+ ,∴y′|x=1=2,∴y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 y-1 x =2(x-1),∴y=2x-1.又切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,当 a=0 时,y=2x+1 与 y
?y=ax2+?a+2?x+1, ? =2x-1 平行,故 a≠0,由? 得 ax2+ax+2=0,∵Δ=a2-8a=0,∴ ?y=2x-1, ?

a=8. 1 法二:∵y′=1+ ,∴y′|x=1=2,∴y=x+lnx 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x- x 1),∴y=2x-1,又切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x 1 -1 平行,故 a≠0.∵y′=2ax+(a+2),∴令 2ax+a+2=2,得 x=- ,代入 y=2x-1, 2 1 1 - ,-2? 在 y = ax2 + (a + 2)x + 1 的图象上,故- 2 = a× ?- ? 2 + (a + 得 y =- 2 ,∴点 ? ? 2 ? ? 2? 1 - ?+1,∴a=8. 2)×? ? 2? 答案:8 9.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解:f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
?f?0?=b=0, ? (1)由题意得? ?f ′?0?=-a?a+2?=-3, ?

解得 b=0,a=-3 或 1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即 4a2+4a+1>0, 1 ∴a≠- . 2 1? ? 1 ? ∴a 的取值范围是? ?-∞,-2?∪?-2,+∞?. 1 10.(2016· 临沂一模)已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围. 解:(1)由题意得 f′(x)=x2-4x+3,

则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k, k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 ?-k≥-1, ? 解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0 或 x2-4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞). B 组 高考题型专练 1.(2015· 高考福建卷)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( 1? 1 A.f? ? k ?< k 1 1 C.f?k-1?< ? ? k-1 ) 1? 1 B.f? ?k?>k-1 1 k D.f?k-1?> ? ? k-1

1? ?2? 1 2 1 3 解析: 取满足题意的函数 f(x)=2x-1, 若取 k= , 则 f? 所以排除 A; ?k?=f?3?=3<3=k, 2 11 1 ? ? 1 10 11 k 若取 k= ,则 f?k-1?=f?11 ?=f(10)=19>11= = ,所以排除 D;取满足题意 10 11 ? ? ?10-1? k-1 -1 10 1? ?1? 1 1 的函数 f(x)=10x-1,若取 k=2,则 f? ? k?=f?2?=4>1=2-1=k-1,所以排除 B.故结论一定 错误的是 C. 答案:C 2.(2014· 高考江西卷)若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 1 解析: y′=lnx+x· =1+lnx, 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2.设 P(m, n), 则 1+lnm=2, x 解得 m=e,所以 n=elne=e.即 P(e,e). 答案:(e,e) 3. (2015· 高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7), 则 a=________. 解析:因为 f(x)=ax3+x+1,所以 f′(x)=3ax2+1,所以 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率 为 k=3a+1,又 f(1)=a+2,所以切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线 上,所以 7-(a+2)=3a+1,解得 a=1.

答案:1 4.(2015· 高考天津卷)已知函数 f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 1? 解析:f′(x)=a? x?=a(lnx+1),因为 f′(1)=3,所以 f′(1)=a=3. ?lnx+x· 答案:3 1 5.(2015· 高考陕西卷)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线 x 垂直,则 P 的坐标为________. 1 解析:y′=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y= (x>0)上点 P 处 x 1 的切线与 y=ex 在点(0,1)处的切线垂直, 所以 y= (x>0)在点 P 处的切线的斜率为-1, 设 P(a, x 1 - b),则曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a 2=-1,可得 a=1,又 P(a, x 1 b)在 y= 上,所以 b=1,故 P(1,1). x 答案:(1,1)


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