高二数学PPT之人教版高中数学选修4-5课件:3.3排序不等式


高二数学PPT之人教版高中数学选修4-5课件:3.3排序不等式
排序不等式

【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.

(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_.
(2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_________________.
a1bn+a2bn-1+…+anb1

2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=ab1nb时1+,a反2b2序+…和+等an于bn 顺序和.

【即时小测】

1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系 是( )

A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a

B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a

D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a

【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )

A.ax+cy+bz

B.bx+ay+cz

C.bx+cy+az

D.ax+by+cz

【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z,

由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,

得:顺序和ax+by+cz最大.

3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b+b c+c a 的最大值是_________.

【解析】因为a,b,c≥0,

不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,



a ? b ? c,

a b ? b c ? c a ? a a ? b b ? c c,

当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,

所以a=b=c=1,

于是

的最大值为3.

答案:a3 b+b c+c a

【知识探究】 探究点 排序不等式 1.使用排序不等式的关键是什么? 提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列 数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.

2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,

S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.

【归纳总结】 1.对排序不等式的理解 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的 问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分 为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同

的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单 的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序 了.

2.排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两 乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积 之和最小.

3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即 a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.

4.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量, 它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时, 我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序 排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原

理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.

类型一 利用排序不等式求最值

【典例】设a,b,c为任意正数,求 a ? b ? c

的最小值.

b?c c?a a?b

【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键 是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱 序和≤顺序和求解最小值.

【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, 1 ≥

b?c 1 ≥ 1 ,由排序不等式得,

c ? a + a ? b+



+

+

a

bc

b

c

a

b?c + c?a + a?b ≥ b?c + c?a + a?b

a

b

c

c

a

b

b?c c?a a?b b?c c?a a?b

上述两式相加得:

2 ( a + b + c )≥3,即 a + b + c ≥ 3 .

当且b仅? c当ac=?ba=c时a ?,b

+

b?c
+

c ?取a 最小a ?值b

2
.

a

b

c

3

b?c c?a a?b

2

【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧 求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利 用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一 个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.

【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28

2.设0<a≤b≤c且abc=1.

试求

a3

1
?b?

c?

?

b3

1
?a ?

c?

?

c3

1
?a ?

b?

的最小值.

【解析】令S=

a3

?

1 b?

c

?

?

b3

1
?a ?

c

?

?

c3

1
?a ?

b


?

则S

?

a

?
3

abc?2 ?b?c

?

?

?
b3

abc?2 ?a ?c

?

?

?
c3

abc?2 ?a ?b

?

?

a

bc
?b?

c?

bc

?

ac
b?a ?

c?

ac

?

ab
c?a ?

b?

ab.

由已知可得:

a

?

1 b?

c

?

?

1
b?a ?

c?

?

c

1
?a ?

b?,ab

?

ac

?

bc.

所以S

?

a

bc
?b ? c?

ac ?

ac
b?a ?

c?

ab

?

ab
c?a ?

b?

bc

?

a

?

c b?

c?

?

b

?

a a?

c?

?

b
c?a ?

b?

.

又S

?

bc
a ?b ? c?

ab

?

ac
b?a ?

c?

bc

?

ab
c?a ?

b?

ac

?

a

?

b b?

c?

?

b

?

c a?

c?

?

a
c?a ?


b?

两式相加得: 2S ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 3 1 ? 3. a b c abc

所以S≥ 3,即 2

a

3

?

1 b?

c

?

?

b3

?

1 a?

c

?

?

c3

?

1 a?

b

?

的最小值



3. 2

类型二 利用排序不等式证明不等式
【典例】已知a,b,c都是正数,求证: 1 ? 1 ? 1 ? abc
a8 ? b8 ? c8 a3b3c3 .

【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?

提示:将右端 a8 ? b8 ? c8 变形为 a5 ? b5 ? c5 .

将左端

a构3b3造c3 为

b3c3 a3c3 a3b3 的形式.

1?1?1 abc

a2 a3

?

b2 b3

?

c2 c3

【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,

则 1 ≥ 1 ≥ 1 .因而 又ac5≥bb5≥c5a.

1 b3c3

?

1 c3a3

?

1 a3b3 .

由排序不等式,得

a5 ? b5 ? c5 b3c3 c3a3 a3b3



a5 c3a3

?

b5 a3b3

?

c5 b3c3

=

a2 c3

?

b2 a3

?

c2 b3

.

又由不等式性质,知a2≥b2≥c2,

1 c3

?

1 b3

?

1 a3

.

根据排序不等式,得



=++.

由ac32不? 等ba32 ?式bc23的传aa递23 ?性bb23知? cc23

1 a

11 bc

++≤

=

.

11 1 ab c

a5 b5 c5 b3c3 ? c3a3 ? a3b3

a8 ? b8 ? c8 a3b3c3

【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为 b2c2 ? c2a2 ? a2b2 ? abc, 如何证明呢?
a?b?c

【证明】不妨设a≥b≥c,则 1 ? 1 ? 1 ,bc≤ca≤ab.

abc

由排序原理,得 bc ? ac ? ab ? bc ? ac ? ab ,



a≥ab+b+cc . c a b

b2c2 ? c2a2 ? a2b2

因为a,b,acbc为正数,所以abc>0,a+b+c>0,

所以

≥abc.

b2c2 ? c2a2 ? a2b2 a?b?c

【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给 出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和 及反序和.利用排序不等式证明即可.

(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关 系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么 在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的 对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来 解题.

【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P= x2 ? y2 ? z2 yzx
与1的大小关系为 ( )

A.P=1

B.P<1

C.P≥1

D.P≤1

【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,

不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, 1 ? 1 ? 1 .

由排序不等式

xyz

=x+y+z=1.

x2 ? y2 ? z2 ? x2 ? y2 ? z2 yzxxyz

当且仅当x=y=z= 时等号成立,所以P≥1.
1 3

【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).

自我纠错 判断两数的大小

【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数

Gn=

,算术平均数An=

,利用排序

不等式n a1判a2断...aGnn,An的大小关系.

a1 ? a2 ? ...? an n

【失误案例】

分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际 上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如 下:

【解析】令bi= ai (i=1,2,…,n),则b1b2…bn=1, 故可取x1,x2,…,Gxnn >0,

使得b1= x1 ,b2= x2 ,…,bn-1= xn?1 ,bn= xn .

由排序不x等2 式有:xb3 1+b2+…+bn= xn

x1 ≥

x1·

+x2·

+…+xn·

=n,xx12

?

x2 x3

?

...

?

xn x1

1

1

1

x1

x2

xn

当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以
≥n,即 a1 ? a2 ? ...an ≥Gn.即An≥Gn. n

a1 ? a2 ? ... ? an

Gn Gn

Gn


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