函数奇偶性第一课时_图文


知识与技能:
理解函数奇偶性的概念,初步掌握判断函数奇偶 性的方法。

方法与过程:
通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构奇偶函 数等概念,领会数形结合的数学思想方法,提高发现问 题、分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观:
在学习中,体验数学的美感,培养善于观察、勇 于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

重点:奇偶函数形式化的定义。

难点:奇偶函数形式化定义的认识和理解。
用定义判定函数的奇偶性。

定义法判断函数单调性的步骤:
?

1.任取 x1 , x2 ? D, 且 2.作差 f ( x1 ) ? f ( x2 )

x1 ? x2

3.变形(通分化简,因式分解) 4.判断正负 5.说明单调性

生活中的对称美
轴对称图形

中心对称图形

“对称”是大自然的一种美,这种 “对称美”在数学中也有大量的反映, 下列函数的图像有什么共同特征?
(1) 关于y轴对称
y y

5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

(2)关于原点对称
y

3 2 1

f ( x) ? x

y

3 2 1

f ( x) ?

1 x

-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3

-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3

对于一般的函数,我们能否利用函数 解析式从数的角度来刻画描述函数图象 的这种对称性呢?

y

y

f(x)=x2

5 4 3 2 1

f(x)=|x|

5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

x

-3 -2 -1 0 1 2 3
4 1 0 1 4 9

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 2 9 =x

f(x) 3 2 1 0 1 2 3 =|x|

? ——当自变量x取一对相反数时,相应的两

个函数值相等。即 当x∈R时, f(-x)=f(x),

y

5 4 3 2
1

f(x)=x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 x -2 -3 -4
y=x




-3
-3

-2
-2

-1
-1

0
0

1
1

2
2

3
3




? ——当自变量x取一对相反数时,相应的两

个函数值互为相反数。 ? 即 当x∈R时, f(-x)=-f(x),

函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,

都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.

奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.

题目 新知探究问题2 新知探究问题3 新知探究问题4

展示

点评

5组张嘉栋 孙艺航 2组冯荣铭 王楚仪 3组崔冰倩 刘美微

新知探究问题5
例1(1) 例1 (2) 例1 (3) 例1 (4)

1组蒋佳坤 倪坤耀
9组张萌 李铮铮

6组闫思远 王琳娜 7组李静 张静文

8组杨纯厚 田孟映

例1的变式(画图)例1变式的 规律方法

4组苏天娇 王志坚

题目 新知探究问题2 新知探究问题3 新知探究问题4

展示

点评

5组张佳卓 张玉轩 2组王文丽 齐心雨 3组汲佳营 高婧怡

新知探究问题5
例1(1) 例1 (2) 例1 (3) 例1 (4)

1组赵博昌 程子昭
9组杨明 白云鹏

6组朱学娇 骆小凡 7组王子轩 郝子杰 8组王宇慧 齐佳慧

例1的变式(画图)例1变式的 规律方法

4组郭浩

崔凯旺

注意
函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数的单调性是函数的局部性质。 函数具有奇偶性的前提是:定义域关于原点 对称。即对于定义域内的任意一个x,则-x 也一定在定义域内。
[-b,-a] o [a ,b] x

o [-a,a]

x

想一想

:已知函数f(x)是偶函数,在(-?,0]上
y

的图象如图,你能试作出[0,?)内的图象吗?

0

x

偶函数在其对称区间上的单调性相反

想一想

:已知函数f(x)是奇函数,在(-?,0]上
y

的图象如图,你能试作出 [0,?)内的图象。

奇函数在其对称区间上的单调性相同

0

x

奇偶函数图象的性质可用于:
? 判断函数奇偶性 ? 简化函数图象画法 ? 判断函数单调性

对于f(x)定义域内的任意一个x

f (-x) = -f (x)

f ( - x) = f (x)



奇函数 图象关于坐标原 点中心对称

偶函数 图象关于 y 轴 对称



函数f(x)=0(定义域关于原点对称既是奇函 数又是偶函数

奇函数

根据函数奇偶性, 函数可划分为四类:

偶函数

既奇又偶函数
非奇非偶函数

问题5: 1.已知f(x)为R上的奇函数,求f(0)= 0 2.若f(x)为奇函数,一定有f(0)=0吗?
不一定,f(x)=1/x在x=0处无定义 结论:若f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0

3.若f(0)=0,则函数f(x)一定是奇函数吗?
不一定,f(x)=|x|

一看

二找

三判断

看定义域

找关系

下结论

是否关于原点对称

f(x)与f(-x)

奇或偶

注意:若可以作出函数图象的,直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。

总 结

1.函数奇偶性的概念 ? 2. 判断函数奇偶性的步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 关于原点对称;
?

②若对称,求f(-x),确定f(-x)与f(x)的关系;

③作出结论 :若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数 若 f(-x)=-f(x), 则f(x)是奇函数 ? 3.偶函数图象关于y轴对称,反之成立 奇函数图象关于原点对称反之成立 ? 4.关于原点对称的区间内,奇函数单调性相同, 偶函数单调性相反


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