3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离_图文


3.3.3《点到直线的距离》

3.3.4《两平行线间的距离》

教学目标
? 使学生了解点到直线距离公式的推导,能

记住点到直线距离的公式,并会应用公式 解题。 ? 教学重点:点到直线距离的公式及其应用。 ? 教学难点:点到直线的距离公式的推导。

复习引入
两点间的距离公式是什么? 已知点 P ,P2 ?x2 , y2 ? ,则 1 ?x1 , y1 ?

P 1P 2 ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

y

P2
M2

N2

O

M1
N1 P 1

x

Q

过P点作MN的垂线,设 垂足为Q,则垂线段PQ 问题:在铁路MN附近P地要修建一条公路使之连 的长度就是点P到直线 MN 的距离. 接起来,问:如何设计才能使公路最短 ?

得到简化图形:

Q
M地
N地

P地

点到直线距离公式
y
y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

点到直线距离公式
y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0) x0 x1 x

点到直线的距离
试一试,你能求出 y 吗? P 0Q

l
Q

P0
O x

点到直线的距离
思路一:直接法 y
Q
思路简单 运算繁琐 直线 l 的方程
直线 l 的斜率

O

P0

l
x

l ? P0Q
点P 的坐标 0 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程
交点

直线P 的方程 0Q

点P 的坐标 0 点P 、Q 之间的距离
0

点Q 的坐标

两点间距离公式

P0Q (P 到 l 的距离) 0

知识探究:点到直线的距离

你还有其他方法吗?
问题1:已知一直角三角形的两条直角边长度为3 和4,如何求斜边上的高?

等面积法:

点到直线的距离
思路二:间接法
求出点 R 的坐标 求出点 S 的坐标

求出 | P0 R |

y
求出 | P0 S |

S

Q
利用勾股定理求出 | RS |
R

P0
面积法求出 | P0Q |

l
x

O

点到直线距离公式
y
Ax0 ? C ? ? x0, ? ? S? B ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d y0 O P0 (x0,y0) x0
? By0 ? C ? ? , y R? 0? A ? ?

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线距离公式
y S Q

l : Ax ? By ? C ? 0
R x

P0 O (x0,y0)

d

d ? RS ? PR ? PS
?d ? A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C AB

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? By0 ? C ? . A B

点到直线的距离 点P 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: 0 ?x0 , y0 ?
y

l
Q

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

x 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的,如果A=0或B=0,此 公式恰好也成立; 2.如果A=0或B=0,一般不用此公式; 3.用此公式时直线要先化成一般式。

O

P 0

典型例题
例1 求点 P , 2?到直线 l : 3 x ? 2的距离. 0 ?? 1

解: d ? 3 ? ?? 1? ? 2 ? 5 3 32 ? 0 2
思考:还有其他解法吗?

点到直线的距离:
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

d?

| Ax0 ? By 0 ? C | A ?B
2 2

练习2

1.求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C(1,-2)到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是.

5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值.

例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则 1 S?ABC ? | AB | ?h 2
| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2

的 ?ABC 面 y
A
h O

AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为 y - 3 x ?1 ? 即x ? y ? 4 ? 0 1- 3 3 ?1
? h? | ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

B

x

5 ? 2

因此, S ?ABC

1 5 ? ?2 2 ? ?5 2 2

典型例题
例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形 ABC的面积
y
3 A (1,3)
还有其他方法吗


2
1

h
1 2

B (3,1)

-1 O C (-1,0)

3 x

两条平行直线间的距离:
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 y l1 的公垂线段的长. P 两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与 Q o x

l2

l2:Ax+By+C2=0
的距离是

d?

C1 - C2 A ?B
2 2

练习3

1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______

2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d=

Ax0 + By0 + C A 2 + B2

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2

作业P110 A组 9,10

B组2,4,5


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