2017_2018学年高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3习题精选北师大版必修5


4.3 简单线性规划的应用
课后篇巩固探究 A组

1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m 为常数)在平面区域内取得最大值的

最优解有无数多个,则 m 的值为

()

A.-

B.

C.

D.

解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则-m=kAC= =- ,解得 m= . 答案:B

2.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界),若 C 是该目标函数 z=ax-y 唯 一的最优解,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D.

解析:最优解为点 C,则目标函数表示的直线斜率在直线 BC 与 AC 的斜率之间.

因为 kBC=- ,kAC=- ,所以 a∈

.

答案:B

3.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

则实数 m 的最大值为

.

解析:由约束条件作出其可行域如图.

由图可知,当直线 x=m 过直线 y=2x 与 x+y-3=0 的交点(1,2)时,m 取得最大值,此时 m=1.

答案:1

4.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产

品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200

元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,则所

需租赁费最少为

元.

解析:设甲种设备需要生产 x 天,乙种设备需要生产 y 天,此时该公司所需租赁费为 z 元,

则 z=200x+300y.

又因为

画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.

解 由 z=200x+300y,

即点 A(4,5).

得直线 y=- x+ 过点 A(4,5)时,
z=200x+300y 取得最小值,为 2 300 元. 答案:2 300

5.

导学号 33194075 设不等式组

表示的平面区域为 D.若指数函

数 y=ax 的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是

.

解析:画出可行域如图阴影部分,易知当 a∈(0,1)时不符合题意,故 a>1.



得交点 A(2,9).

由图像可知,当 y=ax 的图像经过该交点 A 时,a 取最大值,此时 a2=9,所以 a=3. 故 a∈(1,3]. 答案:(1,3] 6.某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5 kg,

其中动物饲料不能少于谷物饲料的 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料公

司每周仅保证供应谷物饲料 50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?

解设每周需用谷物饲料 x kg,动物饲料 y kg,每周总的饲料费用为 z 元,则
而 z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线 0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点 A 时,z 最小,又直线 x+y=35 000 和直线 y= x 的交点

A

.

即 x= ,y= 时,饲料费用最低.

答:谷物饲料和动物饲料应按 5∶1 的比例混合,此时成本最低.

B组

1.某学校用 800 元购买 A,B 两种教学用品,A 种用品每件 100 元,B 种用品每件 160 元,两种用

品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B 两种用品应各买的件数为

()

A.1 件,4 件

B.3 件,3 件

C.4 件,2 件

D.不确定

解析:设买 A 种用品 x 件,B 种用品 y 件,剩下的钱为 z 元,



求 z=800-100x-160y 取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3). 答案:B

2.已知 x,y 满足条件

(k 为常数),若目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( )

A.-16

B.-6

C.-

D.6

解析:由 z=x+3y 得 y=- x+ .

先作出

的图像,因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,

所以直线 2x+y+k=0 过直线 x+3y=8 与直线 y=x 的交点 A,由 直线 2x+y+k=0,得 k=-6.故选 B.

解得 A(2,2),代入

答案:B

3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无

数个,则 a 的值为( )

A.-3

B.3

C.-1

D.1

解析:当 a=0 时,z=x.仅当直线 x=z 过点 A(1,1)时,

目标函数 z 有最小值 1,与题意不符.

当 a>0 时,y=- x+ .

斜率 k=- <0,仅当直线 z=x+ay 过点 A(1,1)时,直线在 y 轴的截距最小,此时 z 也最小, 与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾. 当 a<0 时,y=- x+ ,斜率 k=- >0, 为使目标函数 z 取得最小值的最优解有无数个, 当且仅当斜率- =kAC,即- ,故 a=-3. 答案:A

4.

导学号 33194076 已知点 M 在不等式组

所表示的平面区域上,点

N 在曲线 x2+y2+4x+3=0 上,则|MN|的最小值是( )

A.

B.1

C. -1 D.

解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),

由圆心 C(-2,0)向直线 3x+4y-4=0 作垂线,圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y-4=0 的距离为 =2,又圆的半径为 1,所以可求得|MN|的最小值是 1.故选 B.

答案:B

5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一

人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最

少为

元.

船型 每只船限载人数

租金/(元/只)

大船 5

12

小船 3

8

解析:设租大船 x 只,小船 y 只,



租金 z=12x+8y,

作出可行域如图,由图可知,当直线 z=12x+8y 经过点(9.6,0)时,z 取最小值,但 x,y∈N,所 以当 x=9,y=1 时,zmin=116. 答案:116 6.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表:

a

b/万吨

c/百万元

A 50%

1

3

B 70%

0.5

6

某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2 万吨,则购买铁矿石的最少费用



百万元.

解析:设购买铁矿石 A,B 分别为 x 万吨和 y 万吨,

购买铁矿石的费用为 z 百万元,



目标函数 z=3x+6y,作出可行域如图. 由



记 P(1,2),当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值 15.

答案:15

7.

导学号 33194077(2017 天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连

续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、

收视人次如下表所示:

连续剧播放时长

广告播放时长

收视人次

(分钟)

(分钟)

(万)

甲 70

5

60

乙 60

5

25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播放时间不少于 30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x,y 表示每周计划播 出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用 x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?

解(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分: (2)设总收视人次为 z 万,则目标函数为 z=60x+25y. 考虑 z=60x+25y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为- ,随 z 变化的一族平行直线.
为直线在 y 轴上的截距,当 取得最大值时,z 的值最大.

图1

图2
又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=60x+25y 经过可行域上的点 M 时,截 距 最大,即 z 最大.

解方程组

得点 M 的坐标为(6,3).

所以,电视台每周播出甲连续剧 6 次,乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.


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