[K12配套]安徽省合肥市高中数学第一章集合与函数概念1.3.1函数的最大小值教案新人教A版必修1


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函数的最大(小)值

教学目标:

修改与创

1.知识与技能:



理解函数的最大(小)值及其几何意义.

学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.过程与方法:

通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)

点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的

解题意识.

3.情态与价值

利用函数的单调性和图象求函数的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,

激发学生学习的积极性.

教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义。

教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

教学用具:多媒体手段

教学方法:学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的

方法和步骤.

教学过程:

(一)创设情景,揭示课题.

画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么

特征?

① f (x) ? ?x ? 3

② f (x) ? ?x ? 3 x ?[?1, 2]

③ f (x) ? x2 ? 2x ?1

④ f (x) ? x2 ? 2x ?1 x ?[?2, 2]

(二)研探新知 1.函数最大(小)值定义

最大值:一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意的 x ? I ,都有 f (x) ? M ;

(2)存在 x0 ? I ,使得 f (x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f (x) 的最大值.

思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f (x) 的最小值的定义.
注意:
①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f (x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I ,都 有 f (x) ? M ( f (x) ? m) .

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2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 (三)质疑答辩,排难解惑. 例 1.(教材例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解

例 2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每 个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少?
解:设利润为 y 元,每个售价为 x 元,则每个涨( x -50)元,从而销售量减少 10(x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
∴ y=(x-40)(1000-10x)
=-10(x-70)2 ? 9000 (50 ? x <100)
∴ x ? 70时 ymax ? 9000
答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元.
例 3.求函数 y ? 2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1
解:

例 4.求函数 y ? x ? 1? x 的最大值.

解:令 t ? 1? x ? 0 有x ? ?t 2 ?1则

y ? ?t2 ? t ?1 ? ?(t ? 1)2 ? 5 t ? 0 24

??(t ? 1)2 ? 0 2

??(t ? 1)2 ? 5 ? 5 2 44

?原函数的最大值为

5 4

.

(四)巩固深化,反馈矫正.
(1)求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ?1| 的最大值和最小值.

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(2)如图,把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x , 面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得
截面面积最大?
25

(五)归纳小结 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据
变量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值.
(六)设置问题,留下悬念. 1.作业:
2.求函数 y ? x ? 2x ?1 的最小值.

3.求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 .

① ?1? x ? 0

② 0?x?3

③ x ?(??, ??)

教学反思:

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