2015年1月名校高三试题精品解析分类汇编第二期:H单元 解析几何


H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何 ........................................................................................................................... 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ...................................................................................... 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 .................................................................................. 3 H3 圆的方程 .................................................................................................................................. 4 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ............................................................................................ 12 H5 椭圆及其几何性质 ................................................................................................................ 15 H6 双曲线及其几何性质 ............................................................................................................ 43 H7 抛物线及其几何性质 ............................................................................................................ 53 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ..................................................................................... 62 H9 曲线与方程 ............................................................................................................................ 91 H10 单元综合 .............................................................................................................................. 91

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考 (201501) 】 8. 等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? a2 ? 10 ,S 4 ? 36 , 则过点 P (n, an ) 和 Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是( A. ? ? ) D. ? 2, ?

? 1 ? ,?2 ? ? 2 ?

B. ?? 1,?1?

C. ? ?

? 1 ? ,?1? ? 2 ?

? ?

1? 2?

【知识点】直线的斜率.H1 【答案】 【解析】A 解析:等差数列 ?an ?中,设首项为 a1 ,公差为 d , 由 a1 ? a2 ? 10 , S 4 ? 36 ,得 í

ì ? 2a1 + d = 10 ,解得 a1 =3, d =4. ? 4a1 + 6d = 36 ?

∴ an = a1 + n - 1 d = 4n - 1 .则 P n, 4n - 1 , Q n + 2, 4n + 7 . ∴过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是 2,8 = - 4 琪 琪 故选 A.

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)

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骣1

? 1 ? 即为 ? ? ,?2 ? , ,- 2 . ? 2 ? 桫2

【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式,得到 P,Q 的坐标,写出向量 PQ 的坐标, 找到与向量 PQ 共线的坐标即可.

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【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考 (201501) 】 9. 等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? a2 ? 10 ,S 4 ? 36 , 则过点 P (n, an ) 和 Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是 A. ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? 1? ,?2 ? B. ?? 1,?1? C. ? ? ,?1? D. ? 2, ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2?

【知识点】直线的斜率. H1 【答案】 【解析】A 解析:等差数列 ?an ?中,设首项为 a1 ,公差为 d , 由 a1 ? a2 ? 10 , S 4 ? 36 ,得 í

ì ? 2a1 + d = 10 ,解得 a1 =3, d =4. 4 a + 6 d = 36 ? ? 1

∴ an = a1 + n - 1 d = 4n - 1 .则 P n, 4n - 1 , Q n + 2, 4n + 7 . ∴过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是 2,8 = - 4 琪 琪 故选 A. 【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式,得到 P,Q 的坐标,写出向量 PQ 的坐标, 找到与向量 PQ 共线的坐标即可.

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【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考 (201501) 】 9. 等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? a2 ? 10 ,S 4 ? 36 , 则过点 P (n, an ) 和 Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是 A. ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? 1? ,?2 ? B. ?? 1,?1? C. ? ? ,?1? D. ? 2, ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2?

【知识点】直线的斜率. H1 【答案】 【解析】A 解析:等差数列 ?an ?中,设首项为 a1 ,公差为 d , 由 a1 ? a2 ? 10 , S 4 ? 36 ,得 í

ì ? 2a1 + d = 10 ,解得 a1 =3, d =4. ? 4a1 + 6d = 36 ?

∴ an = a1 + n - 1 d = 4n - 1 .则 P n, 4n - 1 , Q n + 2, 4n + 7 .

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∴过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是 2,8 = - 4 琪 琪 故选 A.

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? 1 ? 即为 ? ? ,?2 ? , ,- 2 . ? 2 ? 桫2

【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式,得到 P,Q 的坐标,写出向量 PQ 的坐标, 找到与向量 PQ 共线的坐标即可.

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H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【数学文卷?2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】2. m ? ?1 是直 线 mx ? ?2m ? 1?y ? 1 ? 0 和直线 3x ? m y ? 9 ? 0 垂直的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】两直线的位置关系 H2 【答案】A 【解析】当 m=-1 时,两直线的方程 mx+(2m-1)y+1=0,与 3x+my+9=0,化为-x-3y+1=0 和 3x-y+9=0, 可得出此两直线是垂直的,当两直线垂直时, ①当 m=0 时,符合题意, ②当 m≠0 时,两直线的斜率分别是-

m 3 m 3 与- ,由两直线垂直得-×(- )=-1 2m ? 1 2m ? 1 m m

得 m=-1, 由上知,“m=-1”可得出直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+9=0 垂直; 由直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+9=0 垂直”可得出 m=-1 或 m=0, 所以 m=1 是直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+9=0 垂直的充分不必要条件 【思路点拨】由题设条件,可分两步研究本题,先探究 m=-1 时直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+9=0 互相垂直是否成立, 再探究直线 mx+ (2m-1) y+1=0 和直线 3x+my+9=0 互相垂直时 m 的可能取值,再依据充分条件必要条件做出判断,得出答案.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】14.

已知

,直线

与直线

互相垂直,则

的最

小值为__________.
【知识点】两直线位置关系基本不等式 H2 E6 【答案】 【解析】2

解 析 : 由两 直 线 互相 垂直 可 得 斜 率之 积 为 -1 ,所 以 1,所以 ab =
b 2 +1 b 1 1

b 2 +1 a

× ?

1 b2

= ?1,即 ab2 = b2 +

= b + ,因为 b> 0所以ab=b+ ≥ 2,即ab最小为 2,故答案为 2.
b b

【思路点拨】由直线垂直可转换成代数关系,再运用基本不等式可解出答案.

H3

圆的方程

【数学文卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考( 201412) 】13.已知抛物线

E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过圆 F : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心,则抛物线 E 的准线与圆
F 相交所得的弦长为.
【知识点】圆的标准方程抛物线的几何性质H3 H7
2 【答案】 【解析】 2 5 解析:圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 ,圆心坐标 F ?1, ?2? , 2 2

代入抛物线方程可得 p ? 2 ,所以其准线方程为 x ? ?1 ,圆心到直线 x ? ?1 的距离 d ? 2 , 所以抛物线 E 的准线与圆 F 相交所得的弦长为: 2 32 ? 22 ? 2 5 .故答案为 2 5 . 【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心

F ?1, ?2?

,代入抛物线方程可得 p ? 2 ,

即其准线为 x ? ?1 ,根据圆的弦长公式可求得弦长.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联
2 考(201501) 】20.已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b ,

设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ)

因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,

直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切, 则该圆的标准方程为
2 2 2 2 A. ( x ? 3) ? ( y ? ) ? 1 B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1

7 3

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2 2 D. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 1

3 2

【知识点】圆的标准方程;圆的切线方程.H3 【答案】 【解析】B 解析:∵圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴 都相切,∴半径是 1,圆心的纵坐标也是 1,设圆心坐标(a,1) ,则

| 4a - 3 | = 1 ,又 5

a>0,∴a=2,∴该圆的标准方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ?1) 2 ? 1 ;故选 B。 【思路点拨】 依据条件确定圆心纵坐标为 1, 又已知半径是 1, 通过与直线 4 x ? 3 y ? 0 相切, 圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标,写出圆的标准方程.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

故所求圆的方程为 ( x ?

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切, 则该圆的标准方程为

2 2 A. ( x ? 3) ? ( y ? ) ? 1 B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1) 2 ? 1

7 3

C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

2 2 D. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 1

3 2

【知识点】圆的标准方程;圆的切线方程.H3 【答案】 【解析】B 解析:∵圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴 都相切,∴半径是 1,圆心的纵坐标也是 1,设圆心坐标(a,1) ,则

| 4a - 3 | = 1 ,又 5

a>0,∴a=2,∴该圆的标准方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ?1) 2 ? 1 ;故选 B。 【思路点拨】 依据条件确定圆心纵坐标为 1, 又已知半径是 1, 通过与直线 4 x ? 3 y ? 0 相切, 圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标,写出圆的标准方程.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】14.已知圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ?b ? 0 ? ,圆心在抛物线 y ? 4 x 上,经
2 2

2

过点 A?3,0 ? ,且与抛物线的准线相切,则圆 C 的方程为 【知识点】圆的标准方程;抛物线的几何性质.H3 H7 【答案】 【解析】 x - 2

(

)

2

+ y- 2 2
2

(

)

2

= 9 解析:因为圆心在抛物线 y 2 ? 4 x 上,所以

b2 = 4a ,经过点 A?3,0 ? ,则 ( 3 - a) + b 2 = r 2 ,与抛物线的准线相切,故 | a +1|= r ,联
立解得 a = 2, b = 2 2, r = 3,所以圆 C 的方程为 x - 2

(

)

2

+ y- 2 2

(

)

2

= 9 ,故答案为:

( x - 2)

2

+ y- 2 2

(

)

2

=9

【思路点拨】根据已知条件列出关于 a, b, r 的三个方程,联立即可解得 a, b, r 的值,进而求 出圆的标准方程。

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】12.

已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=相切,则 p 的值为 __________.
【知识点】抛物线圆 H3 H5 【答案】 【解析】2 解析: 该圆的圆心为 3,0 半径为 4,因为抛物线的准线与圆相切即圆心到准线距离为 4,由

此可知切线为 x=-1,即? 2 =-1,所以 p=2,故答案为 2. 【思路点拨】本题运用抛物线准线的性质及直线与圆的位置关系解答即可.

p

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】3.

圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心坐标和半径分别是( A.(1,-2),5 C.(-1,2),5
【知识点】圆的一般方程 H3 【答案】 【解析】D

)

B.(1,-2), D.(-1,2),

解析:该方程由配方可得 x + 1 2 + y ? 2 2 = 5,显然圆心为 ?1,2 半径为 5,故答案为 D. 【思路点拨】本题主要考察配方法,化成圆的标准式便可直接看出圆心与半径,也可运用公 式直接得出圆心和半径.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】7.把圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 的公共点,用线 段连接起来所得到的图形为( ▲ ) 。 A.线段 B.不等边三角形 C.等边三角形 D.四边形 【知识点】圆锥曲线的交点问题 H3 H5 【答案】C【解析】解析:联立圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得

? 3 ? 3 x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? 2 或 2 或 ? x3 ? 0 ,所以交点为 2 y 2 ? 5 y ? 2 ? 0 ,解得 ? ? ? ? y3 ? 2 ?y ? 1 ?y ? 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 1? ? 3 1? A? , , B ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ? , C ? 0, 2 ? ,? AB ? AC ? BC ? 3 .故选择 C. ? ? ? ? 2 【思路点拨】联立圆 x ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得交点坐标,然后代入可求
公共点连接而成的图象形状.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word
2 版】7.如果实数 x, y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 2

y 的最大值是() x

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3

【知识点】圆的方程 H3 【答案】【解析】D

2 解析:因为(x,y)为 ? x ? 2 ? ? y ? 3 圆上的点, 2

y 为圆上的点与原点连线的斜率,显然其 x

最大值为过原点与圆相切的切点在第一象限的切线斜率,设倾斜角为α ,显然

sin ? ?

3 , ? ? 60? ,所以其斜率为 3 ,则选 D. 2

【思路点拨】本题可抓住代数式的几何意义,利用数形结合进行解答.

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系

【数学文卷?2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】19. (本小题满 分 13 分)已知圆 C 的方程为: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

(1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 交于 M、N 两点,且 MN ? 2 3 ,求 m 的值. (3)设直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 m ,使得以 AB 为直径的 圆过原点,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4 【答案】 (1)m<5(2)m=1(3) m ? ?2 2 2 【解析】 (1)由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5. (2) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,即 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? m , 所以圆心 C(1,2) ,半径 r ? 5 ? m ,

? 圆心 C(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离 d ?

3?8?6 32 ? 42

?1

又 MN ? 2 3 ,?r 2 ? 12 ? ( 3)2 ? 4 ,即 5 ? m ? 4 ,? m ? 1 . (3) 假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, 则 OA ? OB , 设 Ax (, y ) ( , y2 ) 1 , 1 Bx
2



? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 2 则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,由 ? 得 2 x ? 8x ? 5 ? m ? 0 , ? x ? y ?1 ? 0
?? ? 64 ? 8(m ? 5) ? 24 ? 8m ? 0 ,即 m ? 3 ,又由(1)知 m ? 5 ,
故m ?3

x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ?

m?5 2 m?5 m ?1 ?3 ? 2 2

? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ?

m ? 5 m ?1 ? ? m?2?0 2 2 ? m ? ?2 ? 3 , 故存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 .
【思路点拨】由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5, 由距离 d ?
2 2

3?8?6 32 ? 42

? 1 求出 m,

m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】15.已知直线 量 满足 与圆 交于 两点, 是坐标原点,向

,则实数 的值是。

【知识点】直线与圆的位置关系,向量的加法与减法 H4 F1 【答案】【解析】±2 解析:因为向量 满足 ,所以 OA⊥OB,又直线 x+y=a 的斜率为

-1,所以直线经过圆与 y 轴的交点,所以 a=±2. 【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到 OA⊥OB,再由所给直线与圆的特殊 性确定实数 a 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】15.已知直线 量 满足 与圆 交于 两点, 是坐标原点,向

,则实数 的值是。

【知识点】直线与圆的位置关系,向量的加法与减法 H4 F1 【答案】【解析】±2 解析:因为向量 满足 ,所以 OA⊥OB,又直线 x+y=a 的斜率为

-1,所以直线经过圆与 y 轴的交点,所以 a=±2. 【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到 OA⊥OB,再由所给直线与圆的特殊 性确定实数 a 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】15.已知直线 与圆 交于 两点, 是坐标原点,向



满足

,则实数 的值是。

【知识点】直线与圆的位置关系,向量的加法与减法 H4 F1 【答案】【解析】±2 解析:因为向量 满足 ,所以 OA⊥OB,又直线 x+y=a 的斜率为

-1,所以直线经过圆与 y 轴的交点,所以 a=±2. 【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到 OA⊥OB,再由所给直线与圆的特殊 性确定实数 a 的值.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷? 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(4)已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? r 与抛物线 D : y ? 16 x 的准线交于 A,
2 2 2 2

B 两点,且 AB ? 8 ,则圆 C 的面积为 ( A)5 ? (B)9 ? (C)16 ? (D)25 ? 【知识点】抛物线的性质;直线与圆的位置关系;勾股定理. H7

H4

2 2 2 【答案】 【解析】D 解析:设抛物线准线交 x 轴于 E,则 CE=3,所以 r ? 3 ? 4 ? 25 ,

所以圆 C 的面积为 25 ? ,故选 D. 【思路点拨】结合图形可知,利用勾股定理求得圆 C 半径得平方.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】13.已 知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 与圆 C 2 : (x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1交于 A , B 两点,则直线 AB 的方程为. 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4 【答案】x-y-1=0 【解析】圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2: (x-1)2+(y+1)2=1 交于 A,B 两点,则直线 AB 的方 程为: x2+y2-1-[(x-1)2+(y+1)2-1]=0 即 x-y-1=0 【思路点拨】将两个方程相减,即可得到公共弦 AB 的方程,然后根据半弦长与弦心距及圆 半径,构成直角三角形,满足勾股定理,易求出公共弦 AB 的长.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word

O B 版】 14. 直线 ax ? 2by ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 A (其中 a, b 是实数) , 且? A ,B 两点
2 2

是直角三角形( O 是坐标原点),则点 P ? a,b ? 与点 Q ? 0, 0? 之间距离的最大值为。 【知识点】直线与圆的位置关系 H4

【答案】【解析】 2 解析:由 ? AOB 是直角三角形可知圆心 O 到直线的距离为

2 1 2 ,所以 , ? 2 2 a 2 ? 4b2



1 2 2 a ? 2b 2 ? 1 ,令 a ? 2 cos ? , b ? sin ? 则 2 2

1 1 3 1 3 a 2 ? b2 ? 2cos2 ? ? sin 2 ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 2. 2 2 2 2 2
【思路点拨】先由已知条件得出 a,b 满足的关系式,再利用三角换元法求最值,也可直接利 用椭圆的几何性质求最值.

H5

椭圆及其几何性质

【数学(理)卷?2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 7. 已知 F 是椭圆 轴.若 PF ?

x2 y2 PF ? x (a ? b ? 0) 的左焦点, ? ?1 A 为右顶点, P 是椭圆上一点, a 2 b2


1 AF ,则该椭圆的离心率是( 4
(B)

(A)

1 4

3 4

(C)

1 2

(D)

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5

b2 【答案】 【解析】 B 解析:Rt ? PFA 中,| PF | ? | FA | ?| PA | ,| FA |? a ? c ,| PF |? , a
2 2 2

又 PF ?

b2 1 1 c 3 AF , ? (a ? c) ,得 4c 2 ? ac ? 3a 2 ? 0 ,? ? ,故选 B. 4 a 4 a 4
b2 1 ,且 PF ? AF , 4 a

【思路点拨】 Rt ? PFA 中, | FA |? a ? c , | PF |?
2 2 得 4c ? ac ? 3a ? 0 ,可求离心率.

【数学理卷?2015 届湖北省部分高中高三元月调考( 201501) 】21.(13 分)如图,已知点

A ? ?2, 0? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 4, AB 是圆 O 的直经,从左到右 M、O 和 N 依次是 AB 的四等分

点,P(异于 A、B)是圆 O 上的动点, PD ? AB, 交 AB 于 D, PE ? ? ED ,直线 PA 与 BE 交 于 C,|CM|+|CN| 为定值. (1)求 ? 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2)一直线 L 过定点 S(4,0)与点 C 的轨迹相交于 Q,R 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1,连接 Q1 与 R 两点连线交 x 轴于 T 点,试问△TRQ 的面积是否存在最大值?若存在,求 出这个最大值;若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ?

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】(1)

x2 y 2 3 3 ? ? 1? x ? 2 ? . (2) 4 3 4
? ? y0 ? ?, 1? ? ?

【解析】(1)易得 B ? 2,0? , M ? ?1,0? , N ?1,0 ? ,设 P ? x0 , y0 ? , C ? x, y ? , 则 E ? x0 , 直线 PA 与 BE 交于 C, 故 x ? ?2 ,

y0 y ? ,① x ? 2 x0 ? 2

y0 y ? 1 ? ? ,② 且 x ? 2 x0 ? 2
2 y0 y ? 12? ? , 又因为点 P(异于 A, ①②相乘得 2 B)是圆 O 上的动点, 故 x ? 4 x0 ? 4 2

y2 1 ?? , 2 x ?4 1? ?
此时



x2 y2 1 4 ? ? 1 , 要 使 C M ? C N为 定 值 , 则 4 ? ? 1, 解 得 ? ? 4 3 1? ? 4 1? ?

x2 y 2 ? ? 1? x ? ?2 ? , 4 3
即? ?

x2 y 2 1 ? ? 1? x ? 2 ? . 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为 3 4 3

? x ? my ? 4 ? (2)联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4
设 Q( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )

24m ? y ? y ? ? , (1) 1 2 ? ? 3m 2 ? 4 由韦达定理有 ? ? y y ? 36 , (2) 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?
直线 RQ 的方程为 y ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ? y1 x2 ? x1

令 y = 0 ,得 x ?

x1 y2 ? x2 y1 (my1 ? 4) y2 ? y1 (my2 ? 4) 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

将(1) , (2)代人上式得 x = 1 , 又 S?TRQ ?

1 3 | ST || y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

=

3 ?24m 2 4 ? 36 ( 2 ) ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 m2 ? 4 3m2 ? 4

= 18 ?

m2 ? 4 =18 3(m2 ? 4) ? 16
=18

1 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

?

3 3 4

当m =
2

28 时取得。 3

y0 y y0 y ? 1 ? ? ,② 【思路点拨】 ? , ①且 x ? 2 x0 ? 2 x ? 2 x0 ? 2

2 y0 y2 ? 12? ? , 又因为点 P(异于 A, ①②相乘得 2 B)是圆 O 上的动点, 故 x ? 4 x0 ?4

y2 1 ?? , 2 x ?4 1? ?

? x ? my ? 4 ? 求得结果,联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4
设 Q( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )

24m ? y1 ? y2 ? ? 2 , (1) ? ? 3m ? 4 由韦达定理有 ? 再由均值不等式求出。 ? y y ? 36 , (2) ? 1 2 3m 2 ? 4 ?

【 数 学 理 卷 ? 2015 届 湖 北 省 部 分 高 中 高 三 元 月 调 考 ( 201501 ) 】 9. 已 知 椭 圆

C1 :

x2 a12

?

y2 b12

? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x2 a2 2

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦点 F1,F2,点
2 2

P 是两曲线的一个公共点,e1,e2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 ? PF2,则 4e1 ? e2 的 最小值为( A. )

5 9 B.4 C. D.9 2 2 【知识点】椭圆及其几何性质双曲线及其几何性质 H5H6 【答案】C 【解析】由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2, 令 P 在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2,① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1,② 又∵PF1⊥PF2,∴|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 =4c2,③ ①2+②2,得|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 =2a 1 2 +2a 2 2 ,④
将④代入③,得 a 1 +a 2 =2c
2 2 2

,∴4e12+e 2 2 =

4c 2 4c 2 4(a12 ? a2 2 ) a12 ? a2 2 + = + a12 a22 2a12 2a2 2

=

2a2 2 a12 9 5 2a2 2 a12 5 ? + ≥ +2 = . ? a12 2a2 2 2 2 a12 2a2 2 2

【思路点拨】由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2,令 P 在双曲线的 右支上,由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出 a 1 2 +a 2 2 =2c 2 ,由此能求出 4e12+e22 的 最小值.

【数学文卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412) 】20. (本小题满分 13 分) 设 F 是椭圆 交于点 P ,线段 MN 为椭圆的长轴,已知 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证: ?AFM ? ?BFN ; (3)求三角形 ABF 面积的最大值. 【知识点】椭圆的方程直线与椭圆H5 H8 【答案】 (1) 的左焦点, 直线 l 为其左准线, 直线 l 与 x 轴

x2 y 2 (2)略; (3) ? ? 1; 16 12

.

【解析】解析: (1)

………………………………(4 分) (2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 当 AB 的斜率不为 0 时,设 , 满足题意

AB 方程为

代入椭圆方程整理得:



综上可知:恒有 (3) (理科)

.………………………………(9 分)

当且仅当 三角形 ABF 面积的最大值是 【思路点拨】 (1)由

(此时适合△>0 的条件)取得等号. ………………………………(13 分) 可得 2e2 ? 3e ? 1 ? 0 ,求得 e 进而得到

c ? 2 由此能求出椭圆的标准方程

(2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 . AB 方程为 代入椭圆方程整理得:

满足题意 ,由

(3)

,由此能求出三角形 ABF 面积 的最大值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

x2 y2 考 (201501) 】 10. 在区间 ? ?1,5? ? 和? ? 2, 4 ? ? 上分别取一个数,记为 a,b , 则方程 a 2 ? b 2 ? 1
表示焦点在 x 轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为() 2
17 32
D.

A.

1 2

B.

15 32

C.

31 32

【知识点】几何概型;椭圆的简单性质.H5 K3 【答案】 【解析】B 解析:∵ ∴ a > b > 0, a < 2b , 它对应的平面区域如图中阴影部分所示:

3 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 , 2 2 2 a b

则方程

3 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 2 2 a b

1 1 1 ? ( 1 3) ? 2 创 1 S阴影 15 2 2 P= =1- 2 = ,故选 B. S矩形 2? 4 32
【思路点拨】表示焦点在 x 轴上且离心率小于

3 的椭圆时, (a,b)点对应的平面图形的 2

面积大小和区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并 将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,

且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 【答案】【解析】(1) 2 4 3

x2 y2 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由题意得 a b

? ?c 1 ?a=2, ? ?a =b +c ,
1
2 2 2 2

9 + 2=1, a 4b 解得 a =4,
2

x2 y2 b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 2

1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 , x x = ,因为 x1 ? x2 ? 1 2 2 3+4k1 3 ? 4k12



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.
2 2

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C. , ,则 D. 是以 为底边的等腰三角形。若 )

的取值范围是(

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B 解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F
2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 25 25 1 1 ,1< 2 ? 4 , 0 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 e1e2 ? ? ,则选 25 2 c c ?1 3 c2

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,

且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 【答案】【解析】(1) 2 4 3

x2 y2 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由题意得 a b

? ?c 1 ?a=2, ? ?a =b +c ,
1
2 2 2 2

9 + 2=1, a 4b 解得 a =4,
2

x2 y2 b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 ,x1x2= ,因为 x1 ? x2 ? 2 3+4k1 3 ? 4k12 2 2 2



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4

16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.

2

2

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C. , ,则 D. 是以 为底边的等腰三角形。若 )

的取值范围是(

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B 解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F
2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 25 25 1 1 ,1< 2 ? 4 , 0 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 e1e2 ? ? ,则选 25 2 c c ?1 3 c2

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,

且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(1)

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 2 4 3
1

=1, ? ? x y 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0), 由题意得?c 1 a b = , a 2 ?a =b +c , ?
2 2 2

a2 4b2



9

2

解得 a =4,

2

2

2

2

b =3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 2 2

2

x2 y2

x1 ? x2 ?

2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 , x ,因为 1x2= 2 3+4k1 3 ? 4k12



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.
2 2

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 , 是以 为底边的等腰三角形。若

,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C.

,则 D.

的取值范围是(

)

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B 解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F
2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 25 25 1 1 ,1< 2 ? 4 , 0 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 e1e2 ? ? ,则选 25 2 c c ?1 3 2 c

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学理卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且经过点 P(1, ) 。 过它的两个焦点 F1 ,F2 2 a b 2 2

分别作直线 l1 与 l2 , l1 交椭圆于 A、 B 两点, l2 交椭圆于 C、D 两点,且 l1 ? l2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围。

C

y
A

B

F1 O

F2
D

x

(第 21 题图) 【知识点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 H5 H8

288 x2 y 2 , 6] . 【答案】 (1) (2) S ? [ ? ? 1; 49 4 3 c 1 【解析】解析: (1)由 ? ? a ? 2c ,所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 , (2 分) a 2 将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c 2 ? 1 , (2 分) 2 2 x y 故所求椭圆方程为 ? ? 1 (1 分) 4 3 (2)当 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,此时四边形
的面积为 S ? 6 , (2 分) 若 l1 与 l2 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k ,则 l2 的斜率为 ?

? 直线 l1 的方程为 y ? k ( x +1 ) ,
? y ? k ( x ? 1) ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? 3 ?4 2 2 2 y 消去 整理得, (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k 2 ?12 ? 0 (1) 8k 2 4k 2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? 2 , x1 ? x2 ? , (1 分) 4k ? 3 4k 2 ? 3 k 2 ?1 , ? | x1 ? x2 |? 12 2 4k ? 3 12(k 2 ? 1) ? | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (2) (1 分) 4k 2 ? 3
注意到方程(1)的结构特征,或图形的对称性,可以用 ? 得 | CD |?

1 . k

1 代替(2)中的 k , k

12(k 2 ? 1) , (2 分) 3k 2 ? 4 1 72(1 ? k 2 )2 ? S ? | AB | ? | CD |? ,令 k 2 ? t ? (0, ??) , 2 2 2 (4k ? 3) ? (3k ? 4)

72(1 ? t )2 6(12t 2 ? 25t ? 12) ? 6t ? , (4t ? 3) ? (3t ? 4) 12t 2 ? 25t ? 12 6 6 288 ? 6? ? 6? ? 12 49 49 12t ? ? 25 t 288 ? S ?[ , 6) , 49 288 , 6] . 综上可知,四边形 ACBD 面积的 S ? [ (3 分) 49 【思路点拨】 根据离心率求得 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 , 设出椭圆的方程将已知点代入即可求得; 当 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在, 则另一条直线的斜率为 0, 求得四边形面积, 若 l1 与 l2 1 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k ,则 l2 的斜率为 ? ,写出直线方程与椭圆方程联立,求得 k

?S ?

弦长 AB , CD ,四边形面积为

1 AB ? CD 然后求其范围即可. 2

【 【名校精品解析系列】数学理卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】16.已知椭圆的中心在坐标原点 O , A , C 分别是椭圆的上下顶点, 直线 AF 与 BC 相交于点 D 。 若椭圆的离心率为 B 是椭圆的左顶点,F 是椭圆的左焦点, 则 ?BDF 的正切值 ▲ 。

1 , 2

【知识点椭圆的几何性质 H5

1 a 3 ,所以可得 c ? , b ? a ,在 ? BDF 中, 2 2 2 b ?BDF ? ? ? ?DBF ? ?DFB,而 ?DBF ? ?CBO, tan ?CBO ? ,而 a b ?DFB ? ?AFO , tan ?AFO ? ,所以 c b b ? b ?a ? c? tan ?BDF ? tan ?? ? ?DBF ? ?DFB ? ? ? tan ? ?DBF ? ?DFB ? ? c a ? , 2 b ac ? b2 1? ac a 3 将 c ? ,b ? a 代入可求得: tan ?BDF ? 3 3 .故答案为 3 3 . 2 2 【思路点拨】根据题意可得 ?BDF ? ? ? ?DBF ? ?DFB ,由图像可得 ?DBF ? ?CBO, ?DFB ? ?AFO ,进而可得
【答案】 3 3 【解析】解析:因为椭圆 e ?

tan ?BDF ? tan ?? ??DBF ??DFB? ? ? tan ? ?DBF ? ?DFB? ,利用椭圆的图像可得
tan ?CBO ? b b , tan ?AFO ? ,代入整理即可. a c

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(I)

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 4 3

?a 2 ? b 2 ? 1 x2 y 2 ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? 2 ? 2 ?1 4b ?a

a2 ? 4, b2 ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ? S?AF2 B ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 ,又圆的半径 r ? ,所以 , y y ? , y ? y ? 1 2 1 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t 2 ?1

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 , 解得 t 2 ? 1 ,所以 r ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t 2 ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】9.点 F 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 ? AOF 为正 a 2 b2

三角形,那么椭圆的离心率为() A.

2 2

B.

3 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】D 解析:由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF 为正三角形,则点 ?

?c 3 ? ? 2 , 2 c? ?在 ? ?

椭圆上,代入得

c 2 3c 2 3e 2 2 ? ? 1 e ? ? 4 ,得 e2 ? 4 ? 2 3 ,解得 e ? 3 ?1 ,所 ,即 4a 2 4b 2 1 ? e2

以选 D. 【思路点拨】抓住等边三角形的特征寻求椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程。得到 a,b,c 的关系,再求离心率即可.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(I)

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 4 3
2 2

?a 2 ? b 2 ? 1 x y ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? 2 ? 2 ?1 4b ?a
x2 y 2 ? 1; a ? 4, b ? 3 ,所以椭圆方程为 ? 4 3
2 2
2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ? S?AF2 B ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 ,又圆的半径 r ? ,所以 , y y ? , y ? y ? 1 2 1 2 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t ?1

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 , 解得 t 2 ? 1 ,所以 r ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? 2 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】9.点 F 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 ? AOF 为正 a 2 b2

三角形,那么椭圆的离心率为()

A.

2 2

B.

3 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】D 解析:由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF 为正三角形,则点 ?

?c 3 ? ? 2 , 2 c? ?在 ? ?

c 2 3c 2 3e 2 2 ? 4 ,得 e2 ? 4 ? 2 3 ,解得 e ? 3 ?1 ,所 椭圆上,代入得 2 ? 2 ? 1 ,即 e ? 2 4a 4b 1? e
以选 D. 【思路点拨】抓住等边三角形的特征寻求椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程。得到 a,b,c 的关系,再求离心率即可.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 【答案】【解析】(I) 4 3

?a 2 ? b 2 ? 1 x2 y 2 ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? 2 ? 2 ?1 4b ?a

a2 ? 4, b2 ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 , y y ? , y ? y ? ,又圆的半径 r ? ,所以 1 2 1 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t 2 ?1

S?AF2 B ?

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 , 解得 t 2 ? 1 ,所以 r ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? 2 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】9.点 F 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 ? AOF 为正 a 2 b2

三角形,那么椭圆的离心率为() A.

2 2

B.

3 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】D 解析:由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF 为正三角形,则点 ? ?

?c

3 ? c? ?在 ?2 2 ? ,

椭圆上,代入得

c 2 3c 2 3e 2 2 ? ? 1 e ? ? 4 ,得 e2 ? 4 ? 2 3 ,解得 e ? 3 ?1 ,所 ,即 2 2 2 4a 4b 1? e

以选 D. 【思路点拨】抓住等边三角形的特征寻求椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程。得到 a,b,c 的关系,再求离心率即可.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,过点 垂直于长轴的直线交 (201501) 】 21.已知椭圆的焦点坐标是 F1 ?- 1,
[]

椭圆与 两点,且 (1)求椭圆的方程. (2)过

. ,则 的内切圆面积是否存在最大值 ?

的直线与椭圆交于不同的两点

若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. H5 H8


【答案】 【解析】 (1)

=1(2)

解析:(1)设椭圆的方程是

, 由交点的坐标得:

, 由

,

可得 ,

又 a ﹣b =1,解得 a=2,b=

2

2

,故椭圆方程为

=1。

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨 y1>0,y2<0,设△F1MN 的内切圆的径 R, 则△F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,
2 2



得(3m +4)y +6my﹣9=0,









=



令 t= 则

,则 t≥1, ,

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤3, 即当 t=1,m=0 时,S△F1MN≤3, S△F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 π.

故直线

,

内切圆的面积最大值是

【思路点拨】 (1) 设椭圆方程, 由焦点坐标可得 c=1, 由|PQ|=3, 可得 由此可求椭圆方程;

=3,又 a ﹣b =1,

2

2

(2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 不妨 y1>0, y2<0, 设△F1MN 的内切圆的径 R, 则△F1MN 的周长=4a=8, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,因此 最大,R 就最大.设

直线 l 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△F1MN 的面积,利用换元法,借助 于导数,即可求得结论.

18. (1) a ? 5, b ? 0.5, c ? 5, d ? 0.1 (2)记男生为 A1 , A2 ,女生为 B1 , B2 , B3 ,所有情况如下:

( A1 , A2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( B1 , B2 ) ( B1 , B3 ) ( B2 , B3 )
一共 10 种情况。 P(全是女生)=

3 10
2

585 21 ? ? 19.解析: (1)设 ? m ? k ? x ? ? , x ? 10 时, m ? 28 ,解得: k ? 2 8 4? ?

21 ? 585 ? ? m ? ?2? x ? ? ? ? ?2 x 2 ? 21x ? 18 . 4? 8 ?

2

y ? m? x ? 6 ? ? ? 2 x 2 ? 21x ? 18 ? x ? 6 ? ? ?2 x 3 ? 33 x 2 ? 108 x ? 108 ?6 ? x ? 11?
(2) y ? ?6 x ? 66 x ? 108 ? ?6? x ? 2 ?? x ? 9 ? ,
' 2

?

?

y ' ? 0 , 6 ? x ? 9 ; y ' ? 0 , 9 ? x ? 11 ; x ? 9 元时,年利润最大,最大为 135 万元.
20.解析:证明: (1)∵ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形 ∴ ∵ ∴ . 平面 平面 , . 平面 ,
B



. , , 是平行四边形,
E
G C
F



的中点,

A

D

(2)连结 ∵ ∴ ∵ ∴四边形 又 ∴ 平面

,四边形
, ⊥底面 , , 为菱形,∴ 平面 .

是矩形, , 平面 ,∴

平面

, , 平面 ,

(3) VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF ,作 BH ? EF 于 H ,? 平面 AEFD ? 平面 BEFC ,

? BH ? 平面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 1 4 3 1 1 4 3 BH ? 3 , VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? , VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 3 2 3 8 ?VABCDEF ? 3 3
21. 【解析】(1)设椭圆的方程是 ,

由交点的坐标得:

, 由

,可得

故直线

,

内切圆的面积最大值是

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】21

(12 分).设椭圆 A,在 轴负半轴上有一点 B,满足

的左、右焦点分别为 ,且 .

,上顶点为

(Ⅰ)求椭圆 的离心率; (Ⅱ)若过 三点的圆与直线 相切,求椭圆 作斜率为 的直线 与椭圆 ,求实数 的方程; 交于 两

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 点,线段 的中垂线与 轴相交于

的取值范围.

【知识点】椭圆的综合应用直线与圆锥曲线位置关系 H5 H8
1 2

【答案】 【解析】 (Ⅰ) ; (Ⅱ) 解析: (1)连接

; (Ⅲ) , ,得到

,由

, 即

, 确 定 得 到 椭 圆 的 离 心 率 为



(2) 由

, 得





的外接圆圆心为



半径 因为过

, 三点的圆与直线 相切,

, 解 得

, 所 以 所 求 椭 圆 方 程 为

. (3)由(2)知 ,设直线 的方程为:

由 因为直线 过

得: 点,所以 恒成立.





,由韦达定理得:

















. 当 时, 为长轴,中点为原点,则 ;



时,

中垂线方程为





, 得

. 因为

所以



综上可得实数

的取值范围是



【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题,通常联立方程,结合韦达定理转化为 系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】12.

已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=相切,则 p 的值为 __________.
【知识点】抛物线圆 H3 H5 【答案】 【解析】2 解析: 该圆的圆心为 3,0 半径为 4,因为抛物线的准线与圆相切即圆心到准线距离为 4,由 此可知切线为 x=-1,即? =-1,所以 p=2,故答案为 2.
2 p

【思路点拨】本题运用抛物线准线的性质及直线与圆的位置关系解答即可.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】10.

已知椭圆 点 P, 使得过点 P 所作的圆 范围是( A. ) B.

与圆

, 若在椭圆



的两条切线互相垂直, 则椭圆

的离心率的取值

C.

D.

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【解析】A 解析:显然点 P 在长轴端点时两条切线所夹的角最小,设圆的一个切点为 A,椭圆的左顶点 为 B 若椭圆上不存在一点 P 使过 P 点所做圆的切线互相垂直,则∠>45°,所以 ∠= >


,e= <

,故答案为 A.

【思路点拨】题中所给的条件一般可以转换为与 a,b 有关的计算,再根据 a,b,c 的关系可求 得离心率.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】8.椭

圆以 x 轴和 y 轴为对称轴,经过点 ? 2, 0 ? ,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的方程为()

A.

x2 ? y2 ? 1 4 x2 y 2 x2 ? y 2 ? 1或 ? ? 1 4 16 4

B.

y 2 x2 ? ?1 16 4
D.

C.

x2 y2 ? y 2 ? 1或 ? x 2 ? 1 4 4

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】C 【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍,即有 a=2b, 由于椭圆经过点(2,0),则若焦点在 x 轴上,则 a=2,b=1,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1; 4

若焦点 y 轴上,则 b=2,a=4,椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1. 16 4

【思路点拨】运用椭圆的性质,得 a=2b,再讨论焦点的位置,即可得到 a,b 的值,进而 得到椭圆方程.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】22. (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过定点 M(0,2) ,且在 x 轴上截得弦长为 4 .设该动圆圆心的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 方程; (2)点 A 为直线 : 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P 、

Q , ?APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标.
【知识点】椭圆方程直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 (1) ; (2)其最小值为 ,此时点 【解析】解析: (1)设动圆圆心坐标为 , (2 分) 化简得 . 的方程为 得 , (2 分) (2)解法一:设直线 由 消去 的坐标为 .

,根据题意得

设 以点 即

,则 为切点的切线的斜率为

,且 ,其切线方程为

(2 分)

同理过点

的切线的方程为 在直线 上,

设两条切线的交点为

,解得

,即

则: 代入

,即

(2 分)

到直线

的距离为

(2 分)



时,

最小,其最小值为 ,此时点 在直线 上,点

的坐标为

.

(4 分) 在抛物线

解法二:设 上,则以点 即 同理以点

为切点的切线的斜率为

,其切线方程为

为切点的方程为

(2 分)

设两条切线的均过点

,则





的坐标均满足方程 ,即直线 的方程为: 可得: (2 分)

代入抛物线方程

消去

到直线

的距离为

(2 分)

所以当

时,

最小,其最小值为 ,此时点

的坐标为

.

(4 分) 化即可得 由此利

【思路点拨】 设动圆圆心坐标为 C ? x, y ? ,根据题意得 曲线 C 方程; 直线 的方程为 , 与抛物线联立可得

用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出 ? APQ 面积的最小值及 此时 A 点的坐标.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】7.把圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 的公共点,用线 段连接起来所得到的图形为( ▲ ) 。 A.线段 B.不等边三角形 C.等边三角形 D.四边形 【知识点】圆锥曲线的交点问题 H3 H5 【答案】C【解析】解析:联立圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得

? 3 ? 3 x1 ? x2 ? ? ? ? ? 2 或? 2 或 ? x3 ? 0 ,所以交点为 2 y 2 ? 5 y ? 2 ? 0 ,解得 ? ? ? ? y3 ? 2 ?y ? 1 ?y ? 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 1? ? 3 1? A? , , B ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ? , C ? 0, 2 ? ,? AB ? AC ? BC ? 3 .故选择 C. ? ? ? ? 2 【思路点拨】联立圆 x ? ( y ? 1) 2 ? 1 与椭圆 9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 可得交点坐标,然后代入可求
公共点连接而成的图象形状.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】9.点 F1,F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,若椭圆上存在点 A 使 ? AF1F2 a 2 b2

为正三角形,那么椭圆的离心率为() A.

2 2

B.

1 2

C.

1 4

D. 3 ? 1

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】【解析】B 解析:由椭圆的对称性可知,若若椭圆上存在点 A 使 ? AF 1F 2 为正三角形,则点 A 必在短轴 端点,此时

c 1 ? sin 30? ? ,所以选 B. a 2

【思路点拨】抓住椭圆的对称性,可得到点 A 的位置,再利用短轴端点到焦点的距离等于 a

直接求离心率即可.

H6

双曲线及其几何性质

【数学理卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】10.如图, B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的没岸 PQ (曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座 码头,向 B 、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B 、 M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元 /km、 2 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是() A.(2 C.(2 -2)a 万 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 +3) a 万元

【知识点】双曲线的几何性质H6 【答案】 【解析】B解析:依题意知 PMQ 曲线是以 A 、 B 为焦点、实轴长为 2 的双曲线的 一支(以 B 为焦点) ,此双曲线的离心率为 2,以 AB 直线为轴、 AB 的中点为原点建立平

y2 ? 1,点 C 的坐标为 3, 3 ,则修建这条公路 3 的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 设点 M 、C 在右准线上射影分别为点 1 M1 , C1 ,根据双曲线的定义有 | MM 1 |? MB ,所以 2 1? ? ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a ,当且仅当点 M 在线段上 CC1 时取等 2? ? 号,故的最小 ? 值是 5a .故选择B. y2 【思路点拨】依题意知 PMQ 曲线是双曲线的方程为 x 2 ? ? 1的一支,点 C 的坐标为 3 3, 3 ,则修建这条公路的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 根据双曲线
面直角坐标系,则该双曲线的方程为 x 2 ?

?

?

?

?

的定义有 | MM 1 |?

1? 1 ? MB ,所以 ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a . 2? 2 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

【数学理卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】10.如图,

B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的没岸 PQ (曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座 码头,向 B 、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B 、 M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元
/km、 2 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是() A.(2 C.(2 -2)a 万 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 +3) a 万元

【知识点】双曲线的几何性质H6 【答案】 【解析】B解析:依题意知 PMQ 曲线是以 A 、 B 为焦点、实轴长为 2 的双曲线的 一支(以 B 为焦点) ,此双曲线的离心率为 2,以 AB 直线为轴、 AB 的中点为原点建立平

y2 ? 1,点 C 的坐标为 3, 3 ,则修建这条公路 3 的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 设点 M 、C 在右准线上射影分别为点 1 M1 , C1 ,根据双曲线的定义有 | MM 1 |? MB ,所以 2 1? ? ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a ,当且仅当点 M 在线段上 CC1 时取等 2? ? ? 号,故的最小 值是 5a .故选择B. y2 2 PMQ 【思路点拨】依题意知 曲线是双曲线的方程为 x ? ? 1的一支,点 C 的坐标为 3 3, 3 ,则修建这条公路的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 根据双曲线
面直角坐标系,则该双曲线的方程为 x 2 ?

?

?

?

?

的定义有 | MM 1 |?

1? 1 ? MB ,所以 ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a . 2? 2 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

【数学文卷? 2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考 (201412) 】 10.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处, C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的没岸 PQ (曲线) 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向

B、 C 两地转运货物.经测算, 从 M 到 B 、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/km、2 a 万 元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是()
A.(2 C.(2 -2)a 万 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 +3) a 万元

【知识点】双曲线的几何性质H6 【答案】 【解析】B解析:依题意知 PMQ 曲线是以 A 、 B 为焦点、实轴长为 2 的双曲线的 一支(以 B 为焦点) ,此双曲线的离心率为 2,以 AB 直线为轴、 AB 的中点为原点建立平

y2 ? 1,点 C 的坐标为 3, 3 ,则修建这条公路 3 的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 设点 M 、C 在右准线上射影分别为点 1 M1 , C1 ,根据双曲线的定义有 | MM 1 |? MB ,所以 2 1? ? ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a ,当且仅当点 M 在线段上 CC1 时取等 2? ? 号,故的最小 ? 值是 5a .故选择B. y2 【思路点拨】依题意知 PMQ 曲线是双曲线的方程为 x 2 ? ? 1的一支,点 C 的坐标为 3 3, 3 ,则修建这条公路的总费用 ? ? a ? ? MB ? 2 | MC |? ? ? 2a[ MB ? MC ], 根据双曲线
面直角坐标系,则该双曲线的方程为 x 2 ?

?

?

?

?

的定义有 | MM 1 |?

1? 1 ? MB ,所以 ? 2a[| MM ? MC |] ? 2a CC1 ? 2a ? ? 3 ? ? ? 5a . 2? 2 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】14.若双曲线 焦距的

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 a 2 b2


1 ,则该双曲线的离心率为 4

【知识点】双曲线的简单性质.H6

x2 y 2 2 3 【答案】 【解析】 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点坐标为(c,0) , a b 3
(﹣c,0) ,渐近线方程为 y ? ?

b x, a

根据双曲线的对称性,任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 求(c,0)到 y ?

b | bc | bc x 的距离, d ? ? ? b, a a 2 ? b2 c2

又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ∴b=

1 , 4

1 2 2 2 2 2 ×2c,两边平方,得 4b =c ,即 4(c ﹣a )=c , 4
2 2

∴3c =4a ,

c2 4 4 2 3 ? ,即 e 2 ? , e ? 。 2 3 a 3 3

【思路点拨】因为双曲线即关于两条坐标轴对称,又关于原点对称,所以任意一个焦点到两

b x 的距离, a c 1 再令该距离等于焦距的 ,就可得到含 b,c 的齐次式,再把 b 用 a,c 表示,利用 e ? 即 a 4
条渐近线的距离都相等,所以不妨利用点到直线的距离公式求( c,0)到 y ? 可求出离心率.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C. , ,则 D. 是以 为底边的等腰三角形。若 )

的取值范围是(

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B 解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F
2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 25 25 1 1 ,1< 2 ? 4 , 0 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 e1e2 ? ? ,则选 25 2 c c ?1 3 2 c

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C. , ,则 D. 是以 为底边的等腰三角形。若 )

的取值范围是(

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B 解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F
2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 25 25 1 1 ,1< 2 ? 4 , 0 ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 e1e2 ? ? ,则选 25 2 c c ?1 3 c2

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 ,这两条曲线在第一象限的交点为 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 A. B. C. , ,则 D. 是以 为底边的等腰三角形。若 )

的取值范围是(

【知识点】椭圆 双曲线 H5 H6 【答案】【解析】B

解析: 设椭圆的长轴长为 2a, 双曲线的实轴长为 2m, 则 2c ?P F

2

?a 2 ?1 0 , 2 m1 0 ? 2? c



a ? c ? 5, m ? 5 ? c 所以 e1e2 ?

c c c2 1 ? ? ? ,又由三角形性质知 2c+2c 2 25 c ? 5 5 ? c 25 ? c ?1 c2

>10,由已知 2c<10,c<5,所以 5> c ?

5 ,1< 2

x



y

,所以 e1e2 ?

1 1 ? ,则选 25 ?1 3 2 c

B. 【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

x2 y 2 考(201501) 】14.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 a b
焦距的

1 ,则该双曲线的离心率为. 4

【知识点】双曲线的简单性质.H6

【答案】 【解析】

x2 y 2 2 3 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点坐标为(c,0) , a b 3
b x, a

(﹣c,0) ,渐近线方程为 y ? ?

根据双曲线的对称性,任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 求(c,0)到 y ?

b | bc | bc x 的距离, d ? ? ? b, 2 2 a a ?b c2

又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ∴b=

1 , 4

1 2 2 2 2 2 ×2c,两边平方,得 4b =c ,即 4(c ﹣a )=c , 4
2 2

∴3c =4a ,

c2 4 4 2 3 ? ,即 e 2 ? , e ? 。 2 3 a 3 3

【思路点拨】因为双曲线即关于两条坐标轴对称,又关于原点对称,所以任意一个焦点到两

b x 的距离, a c 1 再令该距离等于焦距的 ,就可得到含 b,c 的齐次式,再把 b 用 a,c 表示,利用 e ? 即 a 4
条渐近线的距离都相等,所以不妨利用点到直线的距离公式求( c,0)到 y ? 可求出离心率.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

x2 y 2 考(201501) 】14.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 a b
焦距的

1 ,则该双曲线的离心率为. 4

【知识点】双曲线的简单性质.H6

【答案】 【解析】

x2 y 2 2 3 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点坐标为(c,0) , a b 3
b x, a

(﹣c,0) ,渐近线方程为 y ? ?

根据双曲线的对称性,任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 求(c,0)到 y ?

b | bc | bc x 的距离, d ? ? ? b, a a 2 ? b2 c2

又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ∴b=

1 , 4

1 2 2 2 2 2 ×2c,两边平方,得 4b =c ,即 4(c ﹣a )=c , 4
2 2

∴3c =4a ,

c2 4 4 2 3 ? ,即 e 2 ? , e ? 。 2 3 a 3 3

【思路点拨】因为双曲线即关于两条坐标轴对称,又关于原点对称,所以任意一个焦点到两

b x 的距离, a c 1 再令该距离等于焦距的 ,就可得到含 b,c 的齐次式,再把 b 用 a,c 表示,利用 e ? 即 a 4
条渐近线的距离都相等,所以不妨利用点到直线的距离公式求( c,0)到 y ? 可求出离心率.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 b (201501) 】8. 过双曲线 a 的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l , ??? ? ??? ? 垂足为 A , l 与另一条渐近线交于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则双曲线的离心率为()

A.2

B. 2

C. 3

D. 5

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】A 解析:如图因为 FB ? 2 FA ,所以 A 为线段 FB 的中点,

??? ?

??? ?

∴∠2=∠4,又∠1=∠3,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3. 故∠2+∠3=90°=3∠2?∠2=30°?∠1=60°?

b = 3. a

骣 b ∴ e = 1 +琪 琪 a 桫
2

2

= 4 ? e = 2 .故选:A.
??? ? ??? ?

【思路点拨】先由 FB ? 2 FA ,得出 A 为线段 FB 的中点,再借助于图象分析出其中一条渐 近线对应的倾斜角的度数,找到 a,b 之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率.

【 【名校精品解析系列】数学理卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试 (201501) word 版】 8. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 ,F2 , a 2 b2

P 为双曲线右支上的任意一点,若
( ▲ ) 。

| PF1 |2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是 | PF2 |
C. 1, 3 ?

+? ? A. ?1,

B. ?1, 2 ?

?

?

D. ?1,3?

【知识点】双曲线的性质基本不等式 H6 E6 【答案】D【解析】解析:因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ,所

4a 2 4a 2 | PF1 |2 ? PF ? ? 4 a ? 2 PF . ? 4a ? 8a ,当且仅当 以 2 2 PF2 PF2 | PF2 |

PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,可得 2a ? 4a ? 2c 解得 e ? 3 ,又因为双曲线离心率大于 1,故选择
D.

【思路点拨】因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ,所以

| PF1 |2 | PF2 |

? PF2 ?

4a 2 4a 2 ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a ,解得 PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,再利用 PF2 PF2

PF1 、 F1F2 、 PF2 之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷? 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412) word 版】 (11)双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 a 2 b2

垂直, F1 , F2 为 C 的焦点,A 为双曲线上一点,若又 F1 A ? 2 F2 A ,则 cos ?AF2 F1 ?

(A)

3 5 (B) 2 4

( C)

5 1 (D) 5 4
H6

【知识点】双曲线及其性质.

【答案】 【解析】C 解析:因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 垂直,所以 b=2a, 又 F1 A ? 2 F2 A ,且 F 1A ? F 2 A ? 2a ,所以 F 2 A ? 2a, F 1 A ? 4a ,而

c2 ? 5a2 ? 2c ? 2 5a ,所以
F F ? AF2 ? AF1 20a 2 ? 4a 2 ? 16a 2 5 ? ? ,故选 C. cos ?AF2 F1 ? 1 2 2 F1 F2 AF2 5 2 ? 2 5a ? 2 a
【思路点拨】根据题意得 a,b,c 关系,以及 F 1A , F 2A , F 1F 2 关于 a,b,c 的表达式,然后用 余弦定理求得结论.
2 2 2

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

(201501) 】8.双曲线

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为 2 ,抛物线 y2=2px(p a2 b2

>0)的准线与双曲线 C 的渐近线交于 A, B 两点, ?OAB (O 为坐标原点)的面积为 4 , 则抛物线的方程为() A. y ? 8 x
2

B. y ? 4 x
2

C. y ? 2 x
2

D. y 2 ? 4 3 x

【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.H6

【答案】 【解析】A 解析:由题意:∵双曲线 ∴双曲线的渐近线方程是 y = ?

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , a2 b2

b x, a p , 2

又抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程是 x = 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y= ±

p , 2 c 又由双曲线的离心率为 2 ,所以 = 2 ,则 a=b, a
又△AOB 的面积为 4,x 轴是角 AOB 的角平分线, ∴ 创

1 2

p 2

p = 4 ,得 p = 4 .则抛物线的方程为 y 2 ? 8 x ,故选 A.

【思路点拨】 求出双曲线的渐近线方程与抛物线 y2=2px (p>0)的准线方程,进而求出 A, B 两点的坐标,再由双曲线的离心率,△AOB 的面积为 1 列出方程,由此方程求出 p 的值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】15.若 2 2 双曲线 C: mx ? y ? 1 ( m 为常数)的一条渐近线与直线 l : y ? ?3x ? 1 垂直,则双曲线 C 的 焦距为. 【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案】2 10 【解析】由于双曲线的一条渐近线与直线 l:y=-3x-1 垂直,则该条渐近线的斜率为 双曲线 C:mx2-y2=1 的渐近线方程为 y=± m x,则有 m =

1 , 3

1 1 ,即有 m= . 3 9

即双曲线方程为

x2 2 -y =1.则 c= 10 ,即有焦距为 2 10 . 9

【思路点拨】运用两直线垂直的条件,即斜率之积为-1,求得渐近线的斜率,求出双曲线的 渐近线方程,得到 m 的方程,解得 m,再求 c,即可得到焦距.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】17.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , a 2 b2

| PF1 |2 F2 , P 为双曲线右支上的任意一点,若 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范 | PF2 |
围是 ▲ 。 【知识点】双曲线的性质基本不等式 H6 E6

【答案】?1,3?【解析】解析:因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 , 所以

4a 2 4a 2 | PF1 |2 ? PF2 ? ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a ,当且仅当 PF2 PF2 | PF2 |

为 ?1,3? .

PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,可得 2a ? 4a ? 2c 解得 e ? 3 ,又因为双曲线离心率大于 1,故答案
| PF1 |2 | PF2 |

【思路点拨】因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ,所以

? PF2 ?

4a 2 4a 2 ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a ,解得 PF2 ? 2a, PF1 ? 4a ,再利用 PF2 PF2

PF1 、 F1F2 、 PF2 之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.

H7

抛物线及其几何性质

【数学文卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考( 201412) 】13.已知抛物线

E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过圆 F : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心,则抛物线 E 的准线与圆
F 相交所得的弦长为.
【知识点】圆的标准方程抛物线的几何性质H3 H7
2 【答案】 【解析】 2 5 解析:圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 ,圆心坐标 F ?1, ?2? , 2 2

代入抛物线方程可得 p ? 2 ,所以其准线方程为 x ? ?1 ,圆心到直线 x ? ?1 的距离 d ? 2 , 所以抛物线 E 的准线与圆 F 相交所得的弦长为: 2 32 ? 22 ? 2 5 .故答案为 2 5 . 【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心

F ?1, ?2?

,代入抛物线方程可得 p ? 2 ,

即其准线为 x ? ?1 ,根据圆的弦长公式可求得弦长.

【数学文卷?2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412) 】11.抛物线 y ? 4 x 的准线方程是. 【知识点】抛物线的几何性质H7 【答案】 【解析】y ? ? 故答案为: y ? ?

2

1 1 1 2 解析: 抛物线的标准方程为:x ? y , 所以准线方程为:y ? ? 4 16 16

1 . 16

【思路点拨】先将方程化为标准方程,即可得到.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联
2 考(201501) 】20.已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x
依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 ,

又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】18.(13 分)如图所示,已知点 M (a,3) 是抛物线 y ? 4 x 上一定点,直线 AM、
2

BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于 A、B 两个不同的点。 (1)求点 M 到其准线的距离; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值。

【知识点】抛物线的性质;直线与圆锥曲线的综合.H7 H8 【答案】【解析】(1)

13 ;(2)见解析 4
2

解析:(1)∵ M (a,3) 是抛物线 y ? 4 x 上一定点

∴ 3 ? 4a ,
2

a?

9 4

∵抛物线 y ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1
2

9 13 ? ( ?1) ? 4 ∴点 M 到其准线的距离为 4 9 y ? 3 ? k(x ? ) 4 (2)由题知直线 MA、MB 的斜率存在且不为 0 ,设直线 MA 的方程为:

9 ? ? y ? 3 ? k(x ? ) ? 4 y 2 ? 4 y ? 12 ? 9 ? 0 y ? 3 ? 4 y ? 4 ? 3 2 A A ? y ? 4x k k ∴ k k ∴? ∵
∵直线 AM、BM 的斜率互为相反数

9 4 y ? 3 ? ?k ( x ? ) yB ? ?3 4 同理可得: ?k ∴直线 MA 的方程为:

k AB ?


yB ? y A y ? yA 4 4 2 ? B ? ? ?? 2 2 4 4 xB ? x A yB ? y A 3 yB y ?3? ?3 ? A ?k k 4 4
?

2 ∴直线 AB 的斜率为定值 3
【思路点拨】(1)由抛物线的性质及定义可得点 M 到其准线的距离;(2)先由已知求出 直线 MA 的方程,然后用 k 表示出直线 AB 的斜率即可。

【 【名校精品解析系列】 数学理卷? 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三)

(201412)word 版】(4)已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? r 与抛物线 D : y ? 16 x 的准线交于 A,
2 2 2 2

B 两点,且 AB ? 8 ,则圆 C 的面积为 ( A)5 ? (B)9 ? (C)16 ? (D)25 ? 【知识点】抛物线的性质;直线与圆的位置关系;勾股定理. H7

H4

【答案】 【解析】D 解析:设抛物线准线交 x 轴于 E,则 CE=3,所以 r 2 ? 32 ? 42 ? 25 , 所以圆 C 的面积为 25 ? ,故选 D. 【思路点拨】结合图形可知,利用勾股定理求得圆 C 半径得平方.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】14.已知圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ?b ? 0 ? ,圆心在抛物线 y ? 4 x 上,经
2 2

2

过点 A?3,0 ? ,且与抛物线的准线相切,则圆 C 的方程为 【知识点】圆的标准方程;抛物线的几何性质.H3 H7 【答案】 【解析】 x - 2

(

)

2

+ y- 2 2
2

(

)

2

= 9 解析:因为圆心在抛物线 y 2 ? 4 x 上,所以

b2 = 4a ,经过点 A?3,0 ? ,则 ( 3 - a) + b 2 = r 2 ,与抛物线的准线相切,故 | a +1|= r ,联
立解得 a = 2, b = 2 2, r = 3,所以圆 C 的方程为 x - 2

(

)

2

+ y- 2 2

(

)

2

= 9 ,故答案为:

( x - 2)

2

+ y- 2 2

(

)

2

=9

【思路点拨】根据已知条件列出关于 a, b, r 的三个方程,联立即可解得 a, b, r 的值,进而求 出圆的标准方程。

【【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501)】21. (14 分)已知点 F 是抛物线

y2 ? 2 px 的焦点,其中 p 是正常数, AB, CD 都是抛物线经

过点 F 的弦,且 AB ? CD , AB 的斜率为 k ,且 k ? 0 , C , A 两点在 x 轴上方. (1) 求

1 1 ; ? AB CD

(2)①当 AF ? BF ?

4 2 p 时,求 k ; 3 ②设△AFC 与△BFD 的面积之和为 S ,求当 k 变化时 S 的最小值.

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】 (1)

1 (2)1,2 p 2 2p

p 【解析】 (1)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? k ( x ? ) 2
? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? p (k ? 2) x ? k p ? 0 y ? k(x ? ) 4 ? ? 2
x1 ? x2 ? k2 ? 2 p2 p , x ? x ? 1 2 k2 4

由抛物线定义得 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? 同理用 ?

k 2 ?1 2p k2

1 换k,得 CD ? (k 2 ? 1)2 p k

1 1 1 ? ? AB CD 2 p
p p p p2 (2)① AF ? BF ? (x1 ? )(x 2 ? ) ? x1x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 4 p2 k 2 ? 2 p2 k 2 ? 1 2 ? ? ? ?p 2 k2 2 k2 4 2 k2 ?1 4 当 AF ? BF ? p 时 2 ? p 2 ? p 2 , k 3 3 ?
又 k ? 0 ,解得 k ? 3

k 2 ?1 2 ?p ②由①同理知 CF ? DF ? (k ? 1) p , AF ? BF ? k2
2 2

由变形得 BF ?

k 2 ? 1 p2 (k 2 ? 1) ? p 2 , CF ? , k 2 AF DF

又 AB ? CD ? S ?

1 1 AF ? CF ? BF ? DF 2 2

DF k 2 ? 1? 2 1 ? AF 2 ? ? (k ? 1) ? ?p 2? |AF| k 2 ? ? DF ?
? (k 2 ? 1)(1 ? 1 2 2 ) p ? 2k p 2 ? 2 p 2 2 k k

AF 2 DF 1 1 “?” ? k ? 1, ? 1, (k ? 1) ? (1 ? 2 ) ? k ? 1 k DF AF k
即当 k ? 1 时 S 有最小值 2 p2 【 思 路 点 拨 】 根 据 抛 物 线 的 定 义 和 直 线 和 抛 物 线 联 立 求 出 , CF ? DF ? (k 2 ? 1) p2

k 2 ?1 2 k 2 ? 1 p2 (k 2 ? 1) ? p 2 AF ? BF ? 2 ? p 由 变 形 得 BF ? 2 , CF ? , 又 AB ? CD k AF DF k
?S ? 1 1 AF ? CF ? BF ? DF 2 2

DF k 2 ? 1? 2 1 2 2 2 1 ? AF 2 2 2 ? ? (k ? 1) ? p ? (k ? 1)(1 ? 2 ) p ? 2k p ? 2 p 得到。 2 ? k k 2? DF |AF| k ? ? ?

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)

【数学(理)卷?2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 (2 2 , 0) , 且椭圆 ? 上一点 M 到 a 2 b2 其两焦点 F1 , F2 的距离之和为 4 3 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 ? 交于不同两点 A , B ,且 AB ? 3 2 .若 ??? ? ??? ? 点 P ( x0 , 2) 满足 PA ? PB ,求 x0 的值.
已知椭圆 ? : 【知识点】直线与椭圆 H8 【答案】【解析】(Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) x 0 的值为 ?3 或 ?1 12 4

(Ⅰ)由已知 2a ? 4 3 得 a ? 2 3 ,又 c ? 2 2 . ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 . ∴椭圆 ? 的方程为 分

x2 y 2 ? ? 1 .…………………………………………………4 12 4

?y ? x ? m , ? 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0 ?1, ? ? ?12 4

① ………………………1 分

∵直线 l 与椭圆 ? 交于不同两点 A 、 B ,∴△ ? 36m ? 16(3m ? 12) ? 0 ,
2 2
2 得 m ? 16 .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程①的两根, 则 x1 ? x2 ? ?

3m 3m2 ? 12 , x1 ? x2 ? . 2 4

∴ AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 又由 AB ? 3 2 ,得 ?

2?

9 2 3 m ? (3m2 ? 12) ? 2 ? ? m2 ? 12 . 4 4

3 2 m ? 12 ? 9 ,解之 m ? ?2 .……………………………3 分 4

据题意知,点 P 为线段 AB 的中垂线与直线 y ? 2 的交点. 设 AB 的中点为 E ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? ?当 m ? 2 时, E ( ?

x1 ? x2 3m m ?? , y0 ? x0 ? m ? , 2 4 4

3 1 , ) 2 2 1 3 ? ?( x ? ) ,即 y ? ? x ? 1 . 2 2

∴此时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

令 y ? 2 ,得 x0 ? ?3 .…………………………………………………………………2 分 ?当 m ? ?2 时, E ( , ? ) ∴此时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

3 2

1 2

1 3 ? ?( x ? ) ,即 y ? ? x ? 1 . 2 2

令 y ? 2 ,得 x0 ? ?1 .………………………………………………………………2 分 综上所述, x 0 的值为 ?3 或 ?1.

【思路点拨】联立直线与椭圆,可得 m ? ?2 ,因为 PA ? PB ,所以点 P 为线段 AB 的中 垂线与直线 y ? 2 的交点,分情况讨论即可求 x 0 . 2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考 20. 学文卷? (201412) 】 (本小题满分 13 分) 设 F 是椭圆 的左焦点,直线 l 为其左准线, 直线 l 与 x 轴交于点

??? ?

??? ?

P ,线段 MN 为椭圆的长轴,已知
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证: ?AFM ? ?BFN ; (3)求三角形 ABF 面积的最大值. 【知识点】椭圆的方程直线与椭圆H5 H8 【答案】 (1)

x2 y 2 (2)略; (3) ? ? 1; 16 12

.

【解析】解析: (1)

………………………………(4 分) (2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 当 AB 的斜率不为 0 时,设 , 满足题意

AB 方程为

代入椭圆方程整理得:



综上可知:恒有 (3) (理科)

.………………………………(9 分)

当且仅当 三角形 ABF 面积的最大值是

(此时适合△>0 的条件)取得等号. ………………………………(13 分)

【思路点拨】 (1)由

可得

c ? 2 由此能求出椭圆的标准方程 (2)当 AB 的斜率为 0 时,显然
. AB 方程为 代入椭圆方程整理得:

C
满足题意

,求得 e 进而得到

,由

(3)

,由此能求出三角形 ABF 面积 的最大值.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联
2 考(201501) 】20.已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试

(201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为



且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(1)

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 2 4 3
1 9
2 2

+ =1, a 4b ? ? x y 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0), 由题意得?c 1 a b = , a 2 ?a =b +c , ?
2 2 2 2 2 2 2

解得 a =4,

2

x2 y2 b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 2 2

x1 ? x2 ?

2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 , x ,因为 1x2= 2 3+4k1 3 ? 4k12



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.
2 2

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,

且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(1)

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 2 4 3
1 9
2 2

+ =1, a 4b ? ? x y 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0), 由题意得?c 1 a b = , a 2 ?a =b +c , ?
2 2 2 2 2 2 2

解得 a =4,

2

x2 y2 b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 2 2

x1 ? x2 ?

2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 , x ,因为 1x2= 2 3+4k1 3 ? 4k12



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4 16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2
2 2

【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷?2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】 20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,

且经过点

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 的直线 与椭圆 C 相交于不同的两点 , 满足 ?

若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(2)存在, l1 方程为 y ? x 【答案】【解析】(1) 2 4 3
+ =1, a 4b ? ? x y 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0), 由题意得?c 1 a b = , a 2 ? ?a =b +c , 1 9
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得 a =4,

2

x2 y2 b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 1 2 2 2 所以 Δ =[-8k1(2k1-1)] -4(3+4k1)?(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以 k1>- .又 2
2 8k1 ? 2k1 ? 1? 16k1-16k1-8 ,x1x2= ,因为 x1 ? x2 ? 2 3+4k1 3 ? 4k12 2 2 2



5 5 2 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)= . 4 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k1)= . 4

16k1-16k1-8 8k12?k1-?1 4+4k1 5 1 2 所以[ -2? +4]?(1+k1)= 2 2 2= ,解得 k1=± .因为 k1> 3+4k1 3+4k1 3+4k1 4 2 1 1 1 - ,所以 k1= .于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2 2 2 【思路点拨】 求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答, 遇到直线 与椭圆位置关系问题,通常联立方程结合韦达定理进行解答.

2

2

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8
(x ? 24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x
依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,

直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷?2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】20.(本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合;圆的标准方程;抛物线的标准方程.H3 H7 H8

(x ?

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

24 2 32 3 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 5 ; (Ⅱ) 9

1 ? ?y ? ? x ? b 2 2 解析: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4)2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 .令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 , 2

4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3

4 32 4 32 3 ?AOB 的面积取得最大值 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? . 所以当 b ? ? 时, . 3 27 3 9

【思路点拨】 (Ⅰ)抛物线 y =2px(p>0)的准线为

2

,由抛物线定义和已知条件可知

,由此能求出抛物线方程,联立

,消 x 并化简整理

得 y +8y﹣8b=0.依题意应有△=64+32b>0,解得 b>﹣2.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b,设圆心 Q(x0,y0) ,则应有 .因

2

为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程. (Ⅱ) 因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0,又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b>﹣2, 所以﹣2<b<0,直线 l: ,所以 AOB 的面积的最大值. 整 理 得 x+2y ﹣ 2b=0 , 点 O 到 直 线 l 的 距 离 .由此能够求出

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F ,F b (201501) 】20. (12 分)已知 1 2 是椭圆 a 的两个焦点, O 为坐标

P(?1,
原点,点

2 ) FF 2 在椭圆上,且 PF 1?F 1F 2 ? 0 ,⊙ O 是以 1 2 为直径的圆,直线 l :

y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并且与椭圆交于不同的两点 A, B.
(1)求椭圆的标准方程;

2 3 ??? 4 时,求弦长 | AB | 的取值范围。 (2)当 OA ? OB ? ? ,且满足 3
【知识点】直线与圆锥曲线的关系.H8

6 4 x2 ? |AB |? ? y 2 ? 1. 3 【答案】【解析】(1) 2 (2) 2
解析:(1)依题意,可知

PF1 ? F1 F2 ,

c ? 1,


1 1 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 2 2 2 a 2b ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1

x2 ? y 2 ? 1. 2 ∴椭圆的方程为

m
:x2 ? y 2 ? 1 相切,则 k 2 ? 1 (2)直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O
? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? ,得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,

?1

,即 m ? k ? 1 ,
2 2

?

?

∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B. 设 A ∴ ? ? 0,? k
2

?x1 , y1 ?,B?x2 , y2 ?.

? 0 ? k ? 0,

4km 2m 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
m 2 ? 2k 2 1 ? k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 +km( x1 ? x2 ) ? m ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,
2 2



OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

1? k 2 ?? 1 ? 2k 2

2 1? k 2 3 1 ? k2 ?1 ? ? 2 2 4∴ ∴ 3 1 ? 2k ,
?2 2?k 4 ? k 2 ?



AB ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

4 ?k 4 ? k 2 ? ?1

2u 1 1 ?3 ? 1 3 =2 , u ?? ,2? u ? k 4 ? k 2 ( ? k 2 ? 1) ? u ? 2 |AB |? 2 4u ? 1 2 2(4u ?1) ?4 ? 2 设 ,则 4 ,



|AB | ?u ?

?3 ? 6 4 , 2? ? |AB |? ? 4 ? 上单调递增∴ 2 3. 在?
PF1 ? F1 F2 ,进而可得 c=1,根据椭圆的方程与性质可得

【思路点拨】 (1)依题意,易得

c ? 1,

1 1 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 2 2 2 a 2b ,联立解可得 a 、b 、c 的值,即可得答案;
2 2

( 2 )根据题意,直线 l 与⊙ x +y =1 相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径 1 ,即

m k 2 ?1

?1

2 2 , 变形为 m =k +1, 联立椭圆与直线的方程得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,
2 2 2

?

?

设由直线 l 与椭圆交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则△>0,解可得 k≠0,结合

根与系数的关系以及向量的数量积公式可得 长公式利用函数的单调性易得答案.

OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

1? k 2 ?? 1 ? 2k 2 , 结合弦

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】18.(13 分)如图所示,已知点 M (a,3) 是抛物线 y ? 4 x 上一定点,直线 AM、
2

BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于 A、B 两个不同的点。 (1)求点 M 到其准线的距离; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值。

【知识点】抛物线的性质;直线与圆锥曲线的综合.H7 H8 【答案】【解析】(1)

13 ;(2)见解析 4
2

解析:(1)∵ M (a,3) 是抛物线 y ? 4 x 上一定点

∴ 3 ? 4a ,
2

a?

9 4

∵抛物线 y ? 4 x 的准线方程为 x ? ?1
2

9 13 ? ( ?1) ? 4 ∴点 M 到其准线的距离为 4 9 y ? 3 ? k(x ? ) 4 (2)由题知直线 MA、MB 的斜率存在且不为 0 ,设直线 MA 的方程为:

9 ? ? y ? 3 ? k(x ? ) ? 4 y 2 ? 4 y ? 12 ? 9 ? 0 y ? 3 ? 4 y ? 4 ? 3 2 A A ? y ? 4x k k ∴ k k ∴? ∵
∵直线 AM、BM 的斜率互为相反数

9 4 y ? 3 ? ?k ( x ? ) yB ? ?3 4 同理可得: ?k ∴直线 MA 的方程为:

k AB ?


yB ? y A y ? yA 4 4 2 ? B ? ? ?? 2 2 4 4 xB ? x A yB ? y A 3 yB y ?3? ?3 ? A ?k k 4 4
?

2 ∴直线 AB 的斜率为定值 3
【思路点拨】(1)由抛物线的性质及定义可得点 M 到其准线的距离;(2)先由已知求出 直线 MA 的方程,然后用 k 表示出直线 AB 的斜率即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】21. (本小题满分 15 分)

x2 y 2 1 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且经过点 P(1, ) 。 过它的两个焦点 F1 ,F2 a b 2 2
分别作直线 l1 与 l2 , l1 交椭圆于 A、 B 两点, l2 交椭圆于 C、D 两点,且 l1 ? l2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围。

C

y
A

B

F1 O

F2
D

x

(第 21 题图) 【知识点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 H5 H8

288 x2 y 2 , 6] . (2) S ? [ ? ? 1; 49 4 3 c 1 【解析】解析: (1)由 ? ? a ? 2c ,所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 , (2 分) a 2 将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c 2 ? 1 , (2 分) 2 2 x y 故所求椭圆方程为 ? ? 1 (1 分) 4 3 (2)当 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,此时四边形
【答案】 (1) 的面积为 S ? 6 , (2 分) 若 l1 与 l2 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k ,则 l2 的斜率为 ?

? 直线 l1 的方程为 y ? k ( x +1 ) ,

1 . k

? y ? k ( x ? 1) ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? 3 ?4 2 2 2 y 消去 整理得, (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k 2 ?12 ? 0 (1) 8k 2 4k 2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? 2 , x1 ? x2 ? , (1 分) 4k ? 3 4k 2 ? 3 k 2 ?1 , ? | x1 ? x2 |? 12 2 4k ? 3 2 ? | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 12(k2 ? 1) (2) (1 分) 4k ? 3
注意到方程(1)的结构特征,或图形的对称性,可以用 ? 得 | CD |?

1 代替(2)中的 k , k

12(k 2 ? 1) , (2 分) 3k 2 ? 4 1 72(1 ? k 2 )2 ? S ? | AB | ? | CD |? ,令 k 2 ? t ? (0, ??) , 2 2 2 (4k ? 3) ? (3k ? 4)

72(1 ? t )2 6(12t 2 ? 25t ? 12) ? 6t ? , (4t ? 3) ? (3t ? 4) 12t 2 ? 25t ? 12 6 6 288 ? 6? ? 6? ? 12 49 49 12t ? ? 25 t 288 ? S ?[ , 6) , 49 288 , 6] . 综上可知,四边形 ACBD 面积的 S ? [ (3 分) 49 【思路点拨】 根据离心率求得 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 , 设出椭圆的方程将已知点代入即可求得; 当 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在, 则另一条直线的斜率为 0, 求得四边形面积, 若 l1 与 l2 1 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k ,则 l2 的斜率为 ? ,写出直线方程与椭圆方程联立,求得 k 1 弦长 AB , CD ,四边形面积为 AB ? CD 然后求其范围即可. 2

?S ?

【 【名校精品解析系列】 数学理卷? 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(21)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) )过点 Q(1, ? ,直线 l 与 E 相交 ) ,且离心率 e ? 2 a b 2 2

于 M,N 两点, l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C,D 两点,0 为坐标原点 (I)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)判断是否存在直线 l ,满足 2OC ? OM ? OD, 2OD ? ON ? OC ?若存在,求出直

????

???? ?

???? ????

????

????

线 l 的方程;若不存在,说明理由 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题. H8 (II) y= ?

【答案】 【解析】(I)

2 5 或 y= x? 2 5



解析: (1)由已知得:

,解得:a =2,b =1.

2

2

∴椭圆 E 的方程为



(2)如图, 假设存在直线 l:y=kx+m(k≠0)交椭圆于 M(x1,y1) ,N(x2,y2)两点,交 x 轴于 C(c, 0) ,交 y 轴于 D(0,d) , 由2 = + ,2 , 即 C、D 为线段 MN 的三等分点. 由 y=kx+m,取 y=0,得 c=﹣ ,即 C(﹣ 取 x=0,得 d=m,即 D(0,m) . ) , = + ,得

联立

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0 ①.

2

2

2





若 C、D 为线段 MN 的三等分点,则

,解得:

,k=



当 k=

时,方程①化为



解得:





,解得:m=



同理求得当 k=

时,m=



∴满足条件的直线 l 存在,方程为:y= ?

2 5 或 y= x? 2 5



【思路点拨】 (1) 把点的坐标代入椭圆方程, 结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得 a, b 的值,则椭圆方程可求; (2) 把给出的向量等式变形, 得到 C、 D 为 M、 N 的三等分点, 设出直线 l 的方程 y=kx+m (k≠0) , 和椭圆方程联立,利用四个点坐标间的关系求得 k,代入关于 x 的方程后求得 M 的坐标,再 由中点坐标公式列式求得 m 的值,则直线方程可求.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 【答案】【解析】(I) 4 3

?a 2 ? b 2 ? 1 x2 y 2 ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? 2 ? 2 ?1 4b ?a

a2 ? 4, b2 ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ? S?AF2 B ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 ,又圆的半径 r ? ,所以 , y y ? , y ? y ? 1 2 1 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t 2 ?1

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 , 解得 t 2 ? 1 ,所以 r ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t 2 ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(I)

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 4 3

?a 2 ? b 2 ? 1 x2 y 2 ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? ? 1 ? 2 4b 2 ?a

a2 ? 4, b2 ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 , y y ? , y ? y ? ,又圆的半径 r ? ,所以 1 2 1 2 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t ?1

S?AF2 B ?

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 , 解得 t 2 ? 1 ,所以 r ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? 2 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷? 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟( 201412)word 版】20.已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2 ,且

? 3? F1F2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上。 ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? AF2 B 的内切圆半径为 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。 【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】【解析】(I)

3 2 ,求以 F2 7

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(II) ? x ? 1? ? y 2 ? 2 4 3

?a 2 ? b 2 ? 1 x2 y 2 ? 解析: (I )由题意,可设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 ? 1 , 解得 9 a b ? 2 ? 2 ?1 4b ?a
x2 y 2 ? 1; a ? 4, b ? 3 ,所以椭圆方程为 ? 4 3
2 2
2 2 (II)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得 4 ? 3t y ? 6ty ? 9 ? 0 ,显然判别式大

?

?

于 0 恒成立,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有

y1 ? y2 ?

6t 9 12 t 2 ? 1 2 , y y ? , y ? y ? ,又圆的半径 r ? ,所以 1 2 1 2 2 2 2 4 ? 3t 4 ? 3t 4 ? 3t t 2 ?1

S?AF2 B

1 12 t 2 ? 1 1 3 2 12 2 2 2 ? F1F2 y1 ? y2 ? ? ? 8? ? , 解得 t ? 1 ,所以 r ? 2 2 2 4 ? 3t 2 7 7 t ?1
2

2 = 2 ,所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 .

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关

系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷? 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】 21.已知椭圆的焦点坐标是 F1 ?- 1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,过点 垂直于长轴的直线交
[]

椭圆与 两点,且 (1)求椭圆的方程. (2)过

. ,则 的内切圆面积是否存在最大值 ?

的直线与椭圆交于不同的两点

若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. H5 H8


【答案】 【解析】 (1)

=1(2)

解析:(1)设椭圆的方程是

, 由交点的坐标得:

, 由

,

可得 ,

又 a ﹣b =1,解得 a=2,b=

2

2

,故椭圆方程为

=1。

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨 y1>0,y2<0,设△F1MN 的内切圆的径 R, 则△F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,
2 2



得(3m +4)y +6my﹣9=0,









=



令 t= 则

,则 t≥1, ,

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤3, 即当 t=1,m=0 时,S△F1MN≤3, S△F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 π.

故直线

,

内切圆的面积最大值是

【思路点拨】 (1) 设椭圆方程, 由焦点坐标可得 c=1, 由|PQ|=3, 可得 由此可求椭圆方程;

=3,又 a ﹣b =1,

2

2

(2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 不妨 y1>0, y2<0, 设△F1MN 的内切圆的径 R, 则△F1MN 的周长=4a=8, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,因此 最大,R 就最大.设

直线 l 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△F1MN 的面积,利用换元法,借助 于导数,即可求得结论.

18. (1) a ? 5, b ? 0.5, c ? 5, d ? 0.1 (2)记男生为 A1 , A2 ,女生为 B1 , B2 , B3 ,所有情况如下:

( A1 , A2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 ) ( A2 , B2 )

D

E

( B1 , B2 ) G ( B2 , B3 )
3 10
2

一共 10 种情况。 P(全是女生)=

585 21 ? ? 19.解析: (1)设 ? m ? k ? x ? ? , x ? 10 时, m ? 28 ,解得: k ? 2 8 4? ?

21 ? 585 ? ? m ? ?2? x ? ? ? ? ?2 x 2 ? 21x ? 18 . 4? 8 ?

2

y ? m? x ? 6 ? ? ? 2 x 2 ? 21x ? 18 ? x ? 6 ? ? ?2 x 3 ? 33 x 2 ? 108 x ? 108 ?6 ? x ? 11?
(3) y ? ?6 x ? 66 x ? 108 ? ?6? x ? 2 ?? x ? 9 ? ,
' 2

?

?

y ' ? 0 , 6 ? x ? 9 ; y ' ? 0 , 9 ? x ? 11 ; x ? 9 元时,年利润最大,最大为 135 万元.
20.解析:证明: (1)∵ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形 ∴ ∵ ∴ . 平面 平面 , . 平面 ,
B



. , , 是平行四边形,
E
G C
F



的中点,

A

D

(2)连结 ∵ ∴ ∵ ∴四边形 又 ∴ 平面

,四边形
, ⊥底面 , , 为菱形,∴ 平面 .

是矩形, , 平面 ,∴

平面

, , 平面 ,

(4) VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF ,作 BH ? EF 于 H ,? 平面 AEFD ? 平面 BEFC ,

? BH ? 平面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 1 4 3 1 1 4 3 BH ? 3 , VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? , VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 3 2 3 8 ?VABCDEF ? 3 3
21. 【解析】(1)设椭圆的方程是 ,

由交点的坐标得:

, 由

,可得

故直线

,

内切圆的面积最大值是

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】21

(12 分).设椭圆 A,在 轴负半轴上有一点 B,满足

的左、右焦点分别为 ,且 .

,上顶点为

(Ⅰ)求椭圆 的离心率; (Ⅱ)若过 三点的圆与直线 相切,求椭圆 作斜率为 的直线 与椭圆 ,求实数 的方程; 交于 两

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 点,线段 的中垂线与 轴相交于

的取值范围.

【知识点】椭圆的综合应用直线与圆锥曲线位置关系 H5 H8
1 2

【答案】 【解析】 (Ⅰ) ; (Ⅱ) 解析: (1)连接

; (Ⅲ) , ,得到

,由

, 即

, 确 定 得 到 椭 圆 的 离 心 率 为



(2) 由

, 得





的外接圆圆心为



半径 因为过

, 三点的圆与直线 相切,

, 解 得

, 所 以 所 求 椭 圆 方 程 为

. (3)由(2)知 ,设直线 的方程为:

由 因为直线 过

得: 点,所以 恒成立.





,由韦达定理得:

















. 当 时, 为长轴,中点为原点,则 ;



时,

中垂线方程为





, 得

. 因为

所以



综上可得实数

的取值范围是



【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题,通常联立方程,结合韦达定理转化为 系数关系进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学文卷?2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】22. (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过定点 M(0,2) ,且在 x 轴上截得弦长为 4 .设该动圆圆心的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 方程; (2)点 A 为直线 : 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P 、

Q , ?APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. 【知识点】椭圆方程直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 (1) ; (2)其最小值为 ,此时点
【解析】解析: (1)设动圆圆心坐标为 , (2 分) 化简得 . 的方程为 得 ,

的坐标为

.

,根据题意得

(2 分)

(2)解法一:设直线 由 消去

设 以点 即 同理过点

,则 为切点的切线的斜率为

,且 ,其切线方程为

(2 分)

的切线的方程为 在直线 上,

设两条切线的交点为

,解得

,即

则: 代入

,即

(2 分)

到直线

的距离为

(2 分)



时,

最小,其最小值为 ,此时点 在直线 上,点

的坐标为

.

(4 分) 在抛物线

解法二:设 上,则以点 即 同理以点

为切点的切线的斜率为

,其切线方程为

为切点的方程为

(2 分)

设两条切线的均过点

,则





的坐标均满足方程 ,即直线 的方程为: 可得: (2 分)

代入抛物线方程

消去

到直线

的距离为

(2 分)

所以当

时,

最小,其最小值为 ,此时点

的坐标为

.

(4 分) 化即可得 由此利

【思路点拨】 设动圆圆心坐标为 C ? x, y ? ,根据题意得 曲线 C 方程; 直线 的方程为 , 与抛物线联立可得

用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出 ? APQ 面积的最小值及 此时 A 点的坐标.

H9

曲线与方程

H10

单元综合


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