2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4.doc


2019-2020 学年高中数学第一章三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质 学案北师大版必修 4
知识梳理 1.任意角的余弦函数 (1)定义 如图 1-5-1 所示,单位圆与角 α 的终边交于 P 点.设 P(a,b),则 P 点横坐标 a 是角 α 的 函数,称为余弦函数,记为 a=cosα (α ∈R).通常用 x、y 表示自变量和因变量,将余弦函 数表示为 y=cosx(x∈R).

图 1-5-1 (2)余弦线 如图 1-5-1 所示,过点 P 作 x 轴的垂线 PM,垂足为 M.单位圆中的有向线段 OM 叫做角 α 的 余弦线(是三角函数线之一).当角 α 的终边在 y 轴上时,M 与 O 重合,此时余弦线变成一 个点. (3)余弦线所表示的余弦值可如下确定: 余弦线的方向是表示余弦值的符号,同 x 轴一致,向上为正,向下为负;正弦线的长度是正 弦值的绝对值. (4)任意角的余弦函数定义的推广
2 2 如图 1-5-2 所示, 设 P(x,y)是 α 的终边上任意一点, 它到原点的距离|OP|=r, 有 r= x ? y ,

则 cosα =

x . r

图 1-5-2 对于每一个确定的角 α ,总有唯一确定的余弦值与之对应,所以这个对应法则是以角 α 为自变量的函数,叫做余弦函数.余弦函数值与点 P 在角 α 终边上的位置无关,只依赖 于角 α 的大小.

2.余弦函数值的符号 (1)图形表示:余弦值在各象限的符号如图 1-5-3 所示.

图 1-5-3 (2)用表格表示 α 的终边 x 非负半轴 第一象限 y 非负半轴 第二象限 x 非正半轴 第三象限 y 非正半轴 第四象限 3.余弦函数的图像和性质 (1)图像:如图 1-5-4 所示. cosα + + 0 0 +

图 1-5-4 (2)性质 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 增区间 减区间 对称中心 对称轴 4.正、余弦函数的诱导公式 X -α π -α π +α sinx -sinα sinα -sinα cosx cosα -cosα -cosα [-1,1] y=cosx R 当 x=2kπ (k∈Z)时,y 取最大值 1 当 x=(2k+1)π (k∈Z)时,y 取最小值-1 2π 偶函数 [-π +2kπ ,2kπ ](k∈Z) [2kπ ,π +2kπ ](k∈Z) (kπ +

对称性

? ,0)(k∈Z) 2

x=kπ (k∈Z)

2π -α 2kπ +α (k∈Z)

-sinα sinα cosα Cosα

cosα cosα sinα -sinα

? -α 2 ? +α 2

知识导学 1.复习初中学过的锐角的余弦函数,本节是锐角的余弦函数的补充和延伸. 2.任意角的余弦值的符号记忆口诀:“左负右正”.其含义是终边在 y 轴左侧的任意角余弦 值为负,在 y 轴右侧的任意角余弦值为正.


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