2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示1课件新人教A版必修4_图文


2.3.1 平面向量基本定理 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否 平面向量基本定理 是基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底 定理 表示平面向量.培养数学抽象、数学运算素 基底 养. 向量夹角 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的 向量垂直 定义.培养数学运算、数学抽象素养. 一 二 思维辨析 一、平面向量基本定理 问题思考 1.对于平面内的任意向量a,是否可以用平面内的一个非零向量e1 线性表示?是否可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示?当向 量a可以用两个非零向量e1,e2线性表示时,表示方法是唯一的吗? 提示当e1与a共线时,a可用e1线性表示,否则不可以;当非零向量 e1,e2共线时,向量a不一定能用e1,e2线性表示,若非零向量e1,e2不共线, 则任意向量a一定可以用e1,e2线性表示,且表示方法是唯一的. 一 二 思维辨析 2.填空:平面向量基本定理 条件 定理 基底 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量 对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实 结论 数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底 一 二 思维辨析 3.做一做:下列说法正确的是( ) A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线 性表示 B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线 性表示 C.零向量可以作为基底中的向量 D.平面内的基底是不唯一的 解析根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可 以作为基底,因此基底是不唯一的. 答案D 一 二 思维辨析 二、两个向量的夹角与垂直 问题思考 1.不共线向量有不同的方向,怎样来表示它们的位置关系呢? 提示运用向量的夹角来表示它们之间的位置关系. 2.填空: 两向量的夹角与垂直 定义 已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,则∠AOB 叫做向 量 a 与 b 的夹角 图示 θ=0° 特殊情 θ=180° 况 θ=90° a 与 b 同向 a 与 b 反向 a 与 b 垂直,记作 a⊥b 一 二 思维辨析 3.做一做:在等边三角形 ABC 中,向量与的夹角为( ) A.60° B.120° C.90° D.30° 解析因为三角形 ABC 是等边三角形,所以∠BAC=60°,即向量 与的夹角为 60°. 答案A 一 二 思维辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1,e2线性表示. ( ) (2)同一向量用两组不同的基底表示时,表示方法是相同的. ( ) (3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则必有a=c,b=d. ( ) (4)若两个向量的夹角为θ,则当|cos θ|=1时,两个向量共线. ( ) (5)若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是60°. ( ) (6)等腰直角三角形ABC中,AB⊥AC,则 与 的夹角是45°. ( ) (7)e1,e2是非零的不共线向量,a=ke1+e2,b=e1+k2e2,且a,b共线,则 k=1. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)√ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对平面向量基本定理的理解 【例1】 给出下列命题: ①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为 a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R); ②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示; ③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为 a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ④若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底. 其中正确命题的序号是 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示, 但空间中的向量则不一定. ②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示. ③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为 λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以. ④正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底. 答案④ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面向量基本定理的四个要点 ①不共线的向量e1,e2; ②平面内的任意向量a; ③存在唯一一对实数λ1,λ2; ④a=λ1e1+λ2e2. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 1 如图,设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,有下列向量组: ①与;②与 ;③与;④与.其中可作为该平面内 的其他向量的基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 解析∵与不共线,与不共线,∴①③可以作为基底, 其他两组分别共线,故不可以,选 B. 答案B 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面向量基本定理的应用 【例2】在△ABC中. (1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示; (2)若 E 是 BC 边上一点,且 = 1 ,试用, 表示. 4 分析根据平面向量基本定理,结合向量的三种线性运算进行求解. 解(1)(方法 1)如图,因为 = + , = + , 所以 2 = + + + . 因为 D 是 BC 边的中点,所以 + =0, 因此 2 = + ,故 = 1 ( + ). 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (方法 2)因为 = + , 而 = 2 = 2 ( ? ), 1 1 1 所以 = + 2 ( ? )=2 + 2 . (2)如图,因为 = + ,

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