09渐进法与近似法_图文


《结构力学教程》(I)

第九章

渐近法和近似法

主要内容
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 力矩分配法的基本概念 单结点的力矩分配法 多结点的力矩分配法 无剪力分配法 近似法 超静定力的影响线 连续梁的内力包络图

§9-1

力矩分配法的基本概念

1、名词介绍 1)转动刚度S ——表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于 使杆端产生单位转角时,在杆端所施加的力矩。 两端固定梁: ?A ? 1
A B

4i

2i

S AB ? 4 i ——两端固定梁的转动刚度

说明: 1.SAB 中,A端是施力端,也称近端,B端为远端。



2.SAB 的数值与杆的线刚度i和远端支撑情况有关.

§9-1

力矩分配法的基本概念

1、名词介绍 1)转动刚度S ——表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于 使杆端产生单位转角时,在杆端所施加的力矩。 两端固定梁: ?A ? 1
A B

4i

2i

S AB ? 4 i ——两端固定梁的转动刚度

一端固定一端铰结梁 : ?A ? 1
3i A B

S AB ? 3 i ——一端固定一端铰结梁
的转动刚度

§9-1
?A ? 1

力矩分配法的基本概念
S AB ? i ——一端固定一端滑动梁

一端固定一端滑动梁 :

i

B A 的转动刚度 2)传递系数 C ——远端弯矩与近端弯矩的比值。
两端固定梁: ?A ? 1
A B

-i

其中: 4i——近端弯矩
2i

4i

2i——远端弯矩

传递系数:C AB

远端弯矩 2i 1 ? ? ? 近端弯矩 4i 2

§9-1
?A ? 1
3i A

力矩分配法的基本概念
其中:

一端固定一端铰结梁 :

3i——近端弯矩
B

0 ——远端弯矩

远端弯矩 0 ? ?0 2。传递系数:CAB ? 近端弯矩 3 i 一端固定一端滑动梁 : 其中: ?A ? 1 i——近端弯矩 i -i B A -i——远端弯矩 远端弯矩 ?i ? ? ?1 传递系数:C AB ? 近端弯矩 i

§9-1

力矩分配法的基本概念
M 1 EI EI 3

用位移法求解该结构。
2 EI 4
L

未知量: ?1 杆端弯矩:

L

L

M M12 M14 M13

M 12 ? i?1 ? s12?1 M 13 ? 4i?1 ? s13?1 + M 14 ? 3i?1 ? s14?1
M ?

?S ?
ij

1

建立方程:

?M1 ? 0 M12 ? M13 ? M14 ? M

(3i ? i ? 4i)?1 ? M ……①

§9-1

力矩分配法的基本概念
2 EI M 1 EI EI 3 4
L

解方程,得:
M M ? 1? ? 3i ? i ? 4i 8 i
每个单元 的转动刚度

回代,得

L

L

+

s12 M 12 ? i?1 ? s12?1 ? M ? ?12 M s ? s13 M 123 ? 4i?1 ? s12?1 ? M ? ?13 M s ? s14 M 14 ? 3i?1 ? s12?1 ? M ? ?14 M ?s

M ?

?S ?
ij

1

?M

§9-1

力矩分配法的基本概念

3)分配系数 ? ——结点处,某杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件 转动刚度之和的比值。 计算公式:

?ij ?

?S
i

Sij

ij

● 求各杆的分配系数

现再来做前面的例题。
2 EI M 1 EI EI 3 4
L

显然 ? ?ij ? 1
i

L

L

i 1 ?12 ? ? 3i ? i ? 4i 8 4i 4 ?13 ? ? 3i ? i ? 4i 8 3i 3 ?14 ? ? 3i ? i ? 4i 8

§9-1

力矩分配法的基本概念
2 EI M 1 EI EI 3 4
L

回代,得:
2i 1 M 31 ? 2 i ? 1 ? M ? M 13 8i 2 i M 21 ? ?i ? 1 ? ? M ? ? M 12 8i M 41 ? 0

L

L

杆件两端的弯矩之间有 一定的关系

§9-1

力矩分配法的基本概念
1 M 21 ? ? M 8 2 M 31 ? M 8 M 41 ? 0

● 求近端弯矩

M=分配系数×结点力矩 1 M12 ? M 8 4 M13 ? M 8 从计算比原来简单了,但书 3 M14 ? M 写的篇幅不比原来的少,因此 8 有必要对其写形式进行改造。 ● 求远端弯矩 M=传递系数×近端弯矩

§9-1

力矩分配法的基本概念
M

力矩分配法的书写形式:

A

EI L
4 7

B
3 7
3 M 7

EI L

C
分配系数
0

2 M 7

4 M 7

杆端弯矩

以上计算是在这样的前提下实现的: ▲ 结点只有一个,而且是转角,没有侧移。 ▲ 荷载是结点力矩。 关于多结点的问题、节间荷载的问题需要继续讨论。

§9-2
FP A

单结点的力矩分配法
q
FP A

在前面的基础上,主要解决节间荷载的问题。
q
在A点加了一 刚臂,阻止它 的转动,相当 于加了一个结 点力矩。

=
原结构
-M

A状态

+
B状态
在结点上加一个 反向的力矩。

A状态的内力——固端弯矩 查表计算

B状态的内力——分配弯矩 用力矩分配法计算

§9-2

单结点的力矩分配法

例1:用力矩分配法计算图示连续梁。 FP=2kN q=1kN/m q FP L=4m EI EI A C L/2 L/2 B L 4/7 3/7 分配系数
固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩

-1 2/7 -5/7

1 4/7 11/7

-2 3/7 -11/7

0 0 0

11/7 5/7 2 2

§9-2

单结点的力矩分配法
FP M

例2:用力矩分配法计算图示连续梁。

q

EI A B L/2 L/2

EI L

C

FP=2kN q=1kN/m M=1kN· m L=4m

分配系数 固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩

-1 -4/7 -11/7

4/7 3/7 1 -2 -8/7 -6/7 -1/7 -20/7

0 0 0

错在哪里?

§9-3
1、原理与方法

多结点力矩分配法

多结点力矩分配法的思路是,首先把所有结点锁住, 然后依次逐个放松结点,使结构处于“单结点”状态, 再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩,如此反 复进行,使结点不平衡力矩逐渐减小,直至可以忽略, 因此,它是一种渐近法。

§9-3
2、计算步骤

多结点力矩分配法

(1)计算各结点的分配系数;
(2)将所有中间结点固定,计算各杆固端弯矩; (3)将各结点轮流放松,分配与传递各结点的不平衡力 矩,直到传递弯矩小到可忽略为止; (4)把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的

固端弯矩相加,即为各杆端的最后弯矩。

§9-3

多结点力矩分配法
FP

下面做一个薄钢片的试验:

原结构在荷载作用下, 发生如图所示的变形。
2
把两个铰支座固定,使其 变成3个独立的单跨梁。
把1号支座放松,相当于 释放了支座处的不平衡 力矩。 把1号支座所住,放松2 号支座。如此反复进行, 结构的变形越来越接近 原结构。

FP 1

FP 1
FP 1 2

2

§9-3
1

多结点力矩分配法
FP 2

把刚才的实验过程体现在解题上: 原结构

=
FP

1

+
-MB

2

把结点固定起来,求 固端弯矩。
用单结点的力矩分配 法,对1结点的不平衡 力矩进行分配。

1

2

+
-MC 1

+


2

锁住1结点,用单结点 的力矩分配法,对2结 点的不平衡力矩进行分 配。

§9-3
i
4m

多结点力矩分配法
2kN

例1:用力矩分配法计算图示连续梁。
i
4m

i
4m

0.5 0.5 -1 0.25

0.5 0.5 1

分配系数 固端弯矩

0.5 0.5

0.25

0.08
0.33

-0.31 -0.625 -0.625 -0.31 分配与传递 0.08 0.155 0.155 -0.04 -0.04 0.655 -0.655 -0.655 -0.655 -0.31 最终弯矩

§9-3
i 4m

多结点力矩分配法
6 kN/m 2 kN/m i 2m 2m i 4m 2 kN

例2:用力矩分配法计算图示连续梁。

2m

0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.57 -1.65 -3.29 -3.28 0.47 -0.12 -0.23 -0.24

0.57 0.43 0.0 -2.0 4.0 -4.0 1.14 0.86 -1.64 0.94 0.70 -0.12 0.07 0.05 -1.77 -3.52 -2.48 0.39 -0.39 4.0 -4.0

分配系数 固端弯矩

分配与传递

最终弯矩

§9-3
q

多结点力矩分配法
q

例3:用力矩分配法计算图示对称刚架。
q
A
L

B C

L
qL 24
2

q
qL 24
2

取半刚架 C CA A AC 0.5

取1/4刚架

原结构
qL2 12

qL2 12
qL2 24

qL2 24

0.0 0.0 -qL2/24 qL2/24 -qL2/24 qL2/24

AB 0.5 -qL2/12 -qL2/24 固端 qL2/24 -qL2/24 分配 -qL2/24 -qL2/12 弯矩

B BA

结点 杆端 系数

§9-3
小结:

多结点力矩分配法

1)结点受集中力偶M作用时,“不反号”分配,要注 意与不平衡力矩相区别。 2)支座沉降而非载荷因素问题时,将其视为“广义载 荷”求固端弯矩(可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得)。 3)对于对称结构,取半结构计算。
4)对于多结点问题,为了使计算收敛速度加快,通常 宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算(放松)。

§9-4

无剪力分配法

1、概述 1)两类刚架的区别 在位移法中,刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类,它们的区别在位移法的基本未知量。 无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移;
有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移,也 含结点线位移。 2)两类解法的用途 力矩分配法——求解无侧移刚架的逝近法; 无剪力分配法——求解符合某些特定条件的有侧 移刚架的渐近法。

§9-4 无剪力分配法
2、无剪力分配法的应用条件

1)两种杆件的概念 无侧移杆件 —— 杆件两端没有相对线位移(即没 有垂直杆轴的相对位移)的杆件;
剪力静定杆件—— 杆件两端虽有侧移, 但剪力是静定的, 即可根据静力平衡 条件直接求出剪 力的杆件。
FP D FP C FP B FP C 2FP B A 3FP D

(a)

(b)

A

§9-4
2)应用条件

无剪力分配法

——此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆 件(无侧移杆)外,其余杆件都是剪力静定杆件的有 侧移刚架。 可以解只有一根竖柱的刚架,且横梁端部的链杆应 与柱平行的问题。但也可以推广到单跨多层对称刚架 等问题。

§9-4
例:
2FP A 2FP B A’ B’ FP FP

无剪力分配法
FP FP

FP
FP

FP
FP

FP FP

=
(b)正对称

+
(c)反对称 可取半刚 架计算。


(d)半刚架

C

C’

(a)原结构

分解为正、 反对称问题

弯矩等于零, 不必计算

有侧移的柱剪力是 静定的,可用无剪 力分配法计算。

§9-4

无剪力分配法

对图示有侧移刚架,则不能直接应用无剪力分配法。 因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件,也不是剪力静 定杆件,不符合无剪力分配法的应用条件。
FP B D E

A

C

§9-4
4kN i 4kN i C B i A i D E

无剪力分配法
图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的, 因此可以采用无剪力分配法计算,即把AB BC杆件看作:一端固定一端滑动单元。
A
AB BA

例1:用力矩分配法计算图示刚架。

其中: AD i ? AB ? ? 0.25 0.75 3i ? i i ? BC ? ? 0.2 3i ? i ? i
F
g BC

B
BE BC

C CB

2 FP L ?? ? 16kN 2

9.6

0.25 -8.0 -4.8 3.2

0.2 -8.0 4.8 -3.2

0.6 14.4

0.2 -16.0 -16.0 4.8 -4.8



§9-5

近似法

● 分层法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩 ● 反弯点法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩 ● D值法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩

1、分层法 刚架在竖向荷载作用下,计算结果有以下两个特点:

1)结点的位移主要是转角,侧移很小; 2)作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响, 对其它层杆件的影响很小。
为了简化计算,由此作如下假设: 1)在竖向荷载作用下,忽略刚架的侧移; 2)作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。

§9-5

近似法

根据以上假设,计算可作如下简化: 1)计算方法:由于刚架的侧移被忽略,因此可以用力矩 分配法计算。 2)计算简图:由于荷载只对本层梁及上下柱有影响,因此 计算简图只需取相关部分即可。
A B C

例:A

B

C

q

q
D E F



D G

E H K

F I

G

H

I
J L

§9-5
例:
1 5 9 13 17 2 6

近似法
q q q q
3 7 11 15 19 4 8 12 16 20

q


5

1 6
1 5 9

2

3

4 8

+
2 6

7
3 7

10 14 18

q

4 8 12
12

5

6 10 14

+

q

7 11 15

8 12 16

9

10

10

+
11

11

q

9 13

+

13

14

15

16

17

18

19

20

§9-5

近似法

计算时要注意以下问题: 1)按上述4个计算简图,分别用力矩分配法进行计算 2)计算分配系数时,一层以上柱子的线刚度要乘折减系 数0.9,分配系数取1/3。一层柱子的线刚度不需折减,分配
系数任取1/2。

3)对4个计算结果进行叠加,主要是一层以上柱其内力应 是两部分之和。 4)柱子弯矩由于叠加后,在结点处就不平衡了,这就需 要在结点出再进行一次分配,但不需再传递。

§9-5
10 1 5

近似法
3 12 6 5 6
5

以“1”结点为例:

1
13

10 1 11

5

3

计算简图1,力矩分 配法的计算结果。
1 0.4
0.6

计算简图2,力矩分 配法的计算结果。

两者叠加后“1” 结点的结果。

10 3 -1.2 11.8

-10 -1.8 11.8

“1”结点的一次 分配结果。

§9-5

近似法

2、反弯点法 刚架在竖向荷载作用下弯矩计算的近似方法。 刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点:
FP

1)弯矩图全是直线组成; 2)柱子的剪力沿杆长是常数;FP 3)柱子的弯矩图全有反弯点;FP

4)结点位移主要是侧移,转 角很小。

FP

§9-5

近似法

为了简化计算,作如下假设: 1)刚架在水平荷载作用下,结点只有侧移,转角为零; 2)柱子反弯点的高度在柱高的1/2处,底层柱在柱高的 2/3处。 一层以上柱,由于假 解释一下,第2个假设。 设转角为零,因此全 两端固定单元 一端固定一端铰结 是两端固定单元,因



此反弯点在柱中。
一层柱由于底部是真 正的固定端,而部上 刚结点与固定端有一 定的误差,因此反弯 点上移取2/3柱高。

反弯点在中间

反弯点在柱顶

§9-5

近似法

对每根柱子若已知了反弯点的高度,又知道了剪力的 话,其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了,梁的弯矩就可 FP 利用结点平衡求出。 1)求柱的剪力 例如求第三层柱的剪力 取n—n截面:
FP n FP FP 4 3 2 1 n

FP FP

FQ31

FQ32

FQ33

FQ34

?X ?0

?F
i ?1

4

Q 3i

? 2 FP ? ? Fp
3

1

2

3

4

§9-5

近似法
FP FP FQ31 FQ32 FQ33 FQ34

1)求柱的剪力 例如求第三层柱的剪力 取n—n截面:

?X ?0
FQ3i

?F
i ?1

4

Q 3i

? 2 FP ? ? Fp
3

… …①

其中任意根柱的剪力:

把②代入①式,得:

12i3i ? 2 ? ?3 … …② h3

把△3代入②式,得:

?3 ?

?F
3

P

FQ 3i

i3i ? ? i3i
3

?F
3

12 i 2 ? 3i h3 3

P

其中“3”表示第3层。

§9-5

近似法
FQ ri ir i ? ? iri
r

由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式:

?F
r

P

ir i 其中: ? iri
r

第r层第i根柱子的侧移分配系数。分子 为第r层第i根柱子的线刚度,分母为第 r层所有柱子线刚度之和。 第r层以上所有外荷载之和。

?F
r

P

§9-5

近似法

2)梁的弯矩 在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。
ML1 MZ ML2

iLi M Li ? MZ ? iLi
I

其中:

iLi

为I结点处第i根梁的线刚度。
Li

?i
I

为I结点处所有梁的线刚度之和。

§9-5

近似法
10 1 4 10 7 10 8 11 9 12
3.0 3.0 3.0

例:用反弯点法计算图示刚架的弯矩, 所有杆件的i均相同。 10
解:1)求柱的剪力 10 FQ14 ? FQ 25 ? FQ 36 ? 3 20 FQ 47 ? FQ 58 ? FQ 69 ? 3 10 ? 3 FQ 710 ? FQ 811 ? FQ 912 ? 3 2)求柱的弯矩 M 14 ? M 41 ? M 25 ? M 52
? M 36 ? M 63 10 3 ? ? ?5 3 2

2 5

3 6

M 47 ? M 74 ? M 58 ? M 85 ? M 69 20 3 ? M 96 ? ? ? 10 3 2 M 710 ? M 810 ? M 107 ? M 108 ? M 912 30 3 ? M 129 ? ? ? 15 3 2

§9-5

近似法
2 5

3)求梁的弯矩 5 M 12 ? 5 1

5
4

5 15 10

5 M 21 ? M 23 ? ? 2.5 2 M 32 ? 5 M 45 ? 15

5 5

10 15 M 54 ? ? 7.5 M 56 ? 7.5 M 65 ? 15 2 25 M 87 ? M 89 ? ? 12.5 M 78 ? 25 2 M 98 ? 25

§9-5 近似法
5 5 5 15 10 25 15 15 10 12.5 15 15 10 2.5 2.5 7.5 10 12.5 15 10 5 5 5 15 10 25 15

5 7.5

5

M图

§9-5

近似法

3、D值法——修正反弯点法 针对前面介绍的反弯点法主要作两方面的修正: 1)柱子剪力的计算 反弯点的假设是:所有结点的转角为零。 现在的假设是:▲ 所有结点的转角相同为 ? ;
i1 i3 i5 iC iC i2 i4 i6
▲ 柱子的线刚度相同均为 iC ; ▲ 一层以上柱的旋转角为

? ;

▲ 一层柱的旋转角为 ? 。

§9-5

近似法
12ic i k'? ? 2 2? i h i1 ? i2 ? i3 ? i4 i ? 2ic

i1 i3 i5 iC iC

i2 i4 i6

由以上的假设可得到柱的侧移刚度为: 一层以上:

中柱

i2 ? i4 i ? 边柱 2ic 12ic 已知: ?k 两端固定单元的侧移刚度 2 h
修正后的 侧移刚度:

其中:

i D? ?k 2? i

修正系数

§9-5
底层柱:

近似法
0.5 ? i 12iC 0.5 ? i D? ? 2 ? ?k 2? i h 2? i

其中:

i5 ? i6 i ? ic i6 i ? ic
FQri Dri ? ? Dri
r

中柱

i1 i3 i5 iC iC

i2 i4 i6

边柱

第r层任意根柱子的计算公式为:

?F
r

P

§9-5

近似法

2)反弯点的高度 反弯点的高度与下面的一些因素有关: 建筑的总层数、柱子所在层、上下梁的线刚度比、 上下层的层高变化等。 考虑上述因数后,反弯点的高度可表示成:

yh ? ( y0 ? y1 ? y2 ? y3 )h
(1)标准反弯点高度比—— y0 用总层数:m 所在层:n 梁柱线刚度比:i 查表

§9-5

近似法
i1 i2 iC i4

(2)上下梁的线刚度变化时的修正系数—— y1

用 i 及 ?1 查表

i1 ? i2 ?1 ? i3 ? i4

上部梁线刚度与 下部梁线刚度之比

i3

若:?1 ? 1 即: i1 ? i2
若:?1 ? 1 即: i1 ? i2

? i3 ? i4 查得的y1取正值 ? i3 ? i4 查得的y1取负值

(3)上下层高变化时的修正系数—— y2 y3

y2 ——修正上层柱高不同的情况 用 i 及 ? 2 查表

§9-5
h上 ?2 ? h

近似法
说明上柱长,下柱 短反弯点上移。

?2 ? 1

?2 ? 1 y3 ——修正下层柱高不同的情况
用 i 及 ?3 查表

y2 取正值 y2 取负值

反弯点应往刚度 弱的方向移动。

?3 ? 1 ?3 ? 1

h下 ?3 ? h

y3 取负值 y3 取正值

§9-5

近似法
中柱 一层以 i1 ? i2 ? i3 ? i4 上柱 2ic 一层柱 边柱

D值法的计算步骤: 1)求柱的剪力 ● 求每根柱的

i

i2 ? i4 2ic

● 求每根柱的 D

一层以 上柱
D FQri ? ri ?FP ?Dri r
r

12ic i ? 2 2? i h

i5 ? i6 ic

i6 ic

一层柱
D FQri ? ri ?FP ?Dri r
r

0.5 ? i 12iC ? 2 2? i h

● 求每根柱的剪力: FQri

Dri ? ? Dri
r

?F
r

P

§9-5

近似法

D值法的计算步骤:
2)求柱的反弯点高度 ● 由 m n i 查表
● 由 ● 由

y0
y1

i ?1

查表

i ?2 查表 y2

● 由

i a3 查表 y3

● 由 yh ? ( y0 ? y1 ? y2 ? y3 )h 计算反弯点的高度

3)求柱的弯矩 4)求梁的弯矩

5)画弯矩图

§9-6

超静定力的影响线

首先复习一下静定结构影响线的制作。图示一简支梁, 要作k点的弯矩影响线,其步骤是: x FP=1 1)让单位力在k点的左侧移动,写 k a b 出k点弯矩的影响线方程: L Mk=xb/L x FP=1 2)让单位力在k点的右侧移动,写 出k点弯矩的影响线方程: k
Mk=xa/L a ab/L k

3)由影响线方程,用描点法画出 影响线。

L

b

§9-6

超静定力的影响线

对于超静定结构的影响线从理论上讲,可以完全按静定 结构的方法及步骤进行。例如图示 x 一超静定梁作k点的弯矩影响线, FP=1 其步骤是: k a b 1)让单位力在k点的左侧移动, L 写出k点弯矩的影响线方程; 2)让单位力在k点的右侧移动, x FP=1 写出k点弯矩的影响线方程; k 3)由影响线方程,用描点法画出 a b 影响线。 L 但是上述写影响线方程的过程,均需用力法求解超静 定,因此工作量特别大。

§9-6

超静定力的影响线
x FP=10 B EI 4m EI 4m

下面介绍用力法来制作超静定结构影响线,为此先要建 立一个概念:力法的基本

体系可以取超静定的。
图示一两次超静定梁,可 以去掉一个约束,取图示的 基本体系,它是一次超静定 的,力法方程为:

原结构
x
FP=10

?11 X1 ? ?1P ? 0

EI 但是求系数和自由项时, B X1 EI 要在基本体系上画弯矩图, 基本体系 因此需要解两遍“一次超静定结构”。

§9-6

超静定力的影响线
P

以图示超静定连续梁MK的影响线为例,说明用力法求 作超静定影响线的方法。 F =1 1)取基本体系(超静 定、几何不变体系) ——去掉与MK相应 的约束,代之以(暴露 出来的)约束反力XK
k

原结构
FP=1 Mk=Xk

基本体系

§9-6
2)力法方程

超静定力的影响线
FP=1 k

? kk X k ? ?kP ? 0
由于荷载是单位力, 因此: ? kP ? ? kP 又由位移互等定理:

? Pk

原结构
FP=1

? kk
Mk=Xk=1

? Pk 基本体系 力法方程可写成: X k ? ? ? kk ? kk ——在Xk=1作用下,k点处的相对转角,是常数。 ? Pk ——在Xk=1作用下,P点处的竖向位移,由于单位力可
以在梁上任意移动,因此它是整个梁的绕度,是变量。

? kP ? ? Pk

§9-6

超静定力的影响线
FP=1 k

由上式可见:X k 与 ? Pk ? Pk 成正比,Xk(x)即为影响 线方程。因此 X k ? 1 作 用下,基本体系产生的 绕曲线即为 X k 影响线 的轮廓线。

? Pk ( x) X k ( x) ? ? ? kk

力法方程可写成:

原结构
FP=1

? kk
Mk=Xk=1

基本体系

下面分两部分介绍: 1)绘制超静定结构影响线的大致图形; 2)绘制超静定结构影响线的精确图形。

§9-6

超静定力的影响线

1)绘制超静定结构影响线的大致图形
FP=1 A B C

FYC=1

D

E

FYC影响线
FP=1
A B C F D E

FQF=1
FQF影响线

§9-6

超静定力的影响线
MD=1 C D E

1)绘制超静定结构影响线的大致图形
FP=1 A B

MD影响线
FP=1
A B C D E

F左QC=1 F左QC影响线

§9-6

超静定力的影响线
FYCMAX布置

利用影响线的大致图形可以进行均布移动荷载的最不利布置。

A

B

C

FYC=1

D

E

FYC影响线
F A B
C

FYCMIN布置 FQFMAX布置
E

D

FQF影响线

FQF=1

FQFMIN布置

§9-6
A

超静定力的影响线
MD=1 M DMAX布置

B

C

D

E

MD影响线

MDMIN布置

D A

F左QCMAX布置
E

B

C

F左QC=1 F左QC影响线

F左QCMIN布置

§9-6

超静定力的影响线

移动均布荷载的最不利荷载分布
(1)支座最大反力对应的荷载分布 支座左右两邻跨布满活载,然后隔跨布满活载。 支座最大反力对应的荷载分布 支座左右两邻跨不布置活载,然后隔跨布满活载。
(2)跨中截面最大正弯矩对应的荷载分布 本跨布满活载,然后隔跨布满活载。 跨中截面最大负弯矩对应的荷载分布 本跨不布置活载,然后隔跨布满活载。

(3)支座剪力的布置方法同支座反力

§9-6

超静定力的影响线

2)、绘制超静定结构影响线的精确图形 步骤如下: (1)撤去所求量值的相应约束,代之以多余力XK,得到一个 n-1次超静定的基本体系; (2)建立力法方程,由于只有一个多余力,力法方程为:

? Pk 即为影响线方程; Xk ? ? ? kk (3)求系数和自由项 ? Pk ? kk (超静定结构的位移),为此

要画出 M 1 M P(n-1次超静定结构的弯矩图),然后 由图乘法求出系数和自由项;
(4)由影响线方程画出影响线图形。

§9-6

超静定力的影响线

2)、绘制超静定结构影响线的精确图形 下面以一例题来具体说明制作方法和步骤。 求MB的影响线。 (1)去掉B点的抗弯联 系,得到基本体系 如图所示。
A FP=1

EI L

B

EI L

C

原结构
FP=1 A EI L MB=1 BB EI L C

(2)建立力法方程:

? Pk Xk ? ? ? kk

基本体系

§9-6
(3)求 ? kk ? Pk

超静定力的影响线
1/2 MB=1

作出MB 图、M1图、 M P图
在图乘之前,先 介绍一下图乘公式。
x

1

MB图
1 1

M1图
FP=1
x-x2/L x FP=1 x-x2/L

M P图

§9-6
图乘公式:

超静定力的影响线
A EI L B

一根梁的两端受有MA、 MA MB时,在A点产生的转 角为(图1与图2相乘):
L ?A ? (2 M A ? M B ) 6 EI
1
A

MB

图1
EI L B

在B点产生的转角为 (图1与图3相乘): L ?B ? (2 M B ? M A ) 6 EI

图2
A EI L B 1

图3

§9-6
图乘公式:

超静定力的影响线
A MA EI L B

MB

一根梁的两端受有MA、 MB时,在任意点x产生 的竖向位移为(图1与 图4相乘):

图1
x A

FP=1
x-x2/L L

B

x( L ? x) y ( x) ? ? M A (2 L ? x) ? M B ( L ? x)? 6 EIL

图4

§9-6
(3)求 ? kk ? Pk

超静定力的影响线
1/2 MB=1

利用图乘公式求 ? kk 。
L ?A ? (2 M A ? M B ) 6 EI

1

MB图
1 1

?B ?

L (2 M B ? M A ) 6 EI

L L 1 7L ? kk ? (2 ?1 ? 0) ? (2 ?1 ? ) ? 6 EI 6 EI 2 12 EI
正负号的确定:杆端弯矩使梁下侧受拉为正。

M1图

§9-6
(3)求 ? kk ? Pk

超静定力的影响线
1/2 A x MB=1 B C

利用图乘公式求 ? Pk。
x( L ? x) y ( x) ? ? 6 EIL ? ? M A (2 L ? x) ? M B ( L ? x)?

1

MB图
FP=1 x-x2/L

x

FP=1 x-x2/L

?

' Pk

x( L ? x ) ? 1 ? ? y AB ( x) ? ? (2 L ? x ) ? ( L ? x ) ? 6 EIL ? ? 2 ?

MP图

?

'' Pk

x( L ? x) ? yBC ( x) ? (2 L ? x) 6 EIL

§9-6

超静定力的影响线

(4)影响线方程

? Pk Xk ? ? ? kk
2 x ( x ? L) ? 1 ? X ? ? (2 L ? x ) ? ( L ? x ) ? 7 L2 ? ? 2 ?
' k

2 x( x ? L) X ? (2 L ? x) 2 7L
'' k

由影响线方程既可画出影响线。

§9-6
x A a x A L

超静定力的影响线
B b

用力法求超静定结构的FRB影响线
FP=1

解:1)取基本体系 2)做基本结构MP M图

FP=1 Z1

B

3)利用图乘法求系数和自由项

x A

FP=1 Z1

B 用力法求超静定结构的影响线

解:1)取基本体系 2)做基本结构MP M图 3)利用图乘法求系数和自由项
1 1 2 l2 ?11 ? l ?l ? l ? EI 2 3 3EI

1 ? P1 ? ? EI

3 1 1 1 2 l ? ? ?1 2 1 3? ? l ? ?1 ? ? ? l ? ? l ? ? l ? l ? ? l ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ? EI ? 2 6 ? ?2

4)求出Z1

? P1 ? x ? 2 2 1 3 1 Z1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? ? 3 ? ?11 3 2 3

用力法求超静定结构的影响线
x A a FP=1 b B

解:1)取基本体系 2)做基本结构MP M图 3)利用图乘法求系数和自由项 4)求出Z1

L

? P1 ? x ? 2 2 1 3 1 Z1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? ? 3 ? ?11 3 2 3

5)做影响线。将 ? ? 0, 1 , 1 , 3 ,1
4 2 4

等值代入,得Z1的纵标值,连成曲线,即得Z1影响线

结论 ? 超静定梁影响线与静定梁影响线的主要区别是: 静定梁是几何不变、无多余约束的体系,撤去 约束后体系的位移图是几何可变的刚体位移图, 是直线组成的图形,而超静定结构几何不变、 有多余约束的体系,由于有多于约束的存在, 撤去一个约束后基本结构仍是几何不变的,其 位移图是曲线图形
?

§9-7 连续梁的内力包络图
内力包络图——表示连续梁在恒载与移动活载共同作用 下,各截面最大和最小内力值的图形,称为内力包络图。 下面介绍弯矩包络图的作法: (1)作出恒载作用下的弯矩图; (2)作出各跨分别承受活载时的弯矩图; (3)将梁的各跨分为若干等分,将每个等分点截面上的 恒载弯矩值与所有活载正弯矩相加,或所有活载负弯矩 相加,即得各截面的最大(小)弯矩值;
? ?M k ? max ? ? ? ? ? M 活 ? ? M 恒 ? ? ?M k ? min ? ? ? ? ?M 活 ? ? M 恒

§9-7 连续梁的内力包络图
(4)将各截面的最大弯矩值和最小弯矩值在同一图 中,按同一比例用竖标表示。并分别以曲线相连, 即得弯矩包络图。 以图示结构为例,说明弯矩包络图的制作方法。
30kN/m 16kN/m

移动活载

恒载
4m 4m
4m

§9-7 连续梁的内力包络图
25.6 25.6 16kN/m

M1=17.6 M2=19.2 M3=4.8

1

2 3 4m

4m

4m

恒载弯矩图
30kN/m
3 4m 31.36 8.0

M1=36.5 M2=44.0 M3=21.0

1

2 4m

4m

活载1弯矩图

§9-7 连续梁的内力包络图
24.02 M1=-6.00 M2=-12.01 M3=-18.01 1 30kN/m 24.02

2
4m

3
4m 4m

活载2弯矩图
31.96 1 2 4m 3 30kN/m

M1=2.00 M2=4.00 M3=6.00

8.0

4m

4m

活载3弯矩图

§9-7 连续梁的内力包络图
81.60 1 2 3 4m 4m 17.6 17.6 81.60

4m

弯矩包络图
M1MIN=17.6-6.0=11.60
M2MIN=19.2-12.01=7.19 M3MIN=4.8-18.01=-13.19 MBMAX=-25.6+8.0=-17.6 M1MAX=17.6+36.5+2.0=56.1 M2MAX=19.2+44.0+4.0=67.2 M3MAX=4.8+21.0+6.0=31.8

MBMIN=-25.6-31.96-24.02=-81.6


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