宁夏石嘴山市第三中学2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理


2016 届高三年级第一次模拟考试 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ 卷第 22—24 题为选考题,其它 题为 必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己 的姓名、准考证号码填写清楚。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的中性笔书写,字体工整、笔迹清 楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 4.作图可先使用 2B 铅 笔填涂;非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

C (M ? N ) ? 1.设集合 M ? {x | x ? 3} , N ? {x | x ? ?1} ,全集 U ? R ,则 U
A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | x ? ?1或x ? 3}

2.已知 3 ? i ? 1 ? i ,则复数 z 在复平面上对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z

3 .给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“?p”为假的必要不充分条件; ②“ ? x ? R,使 sinx>0”的否定是“ ? x ? R,使 sinx ? 0”. 其中说法正确的是( A.①真②假
1 2

) C.①和②都为真

B.①假②真

4.下列函数中,既是偶函数,又在 A. y ? x B. y ? ?2 ) B. 24cm D. 28cm
3 3

? 0, ?? ? 上是单调减函数的是(
C. y ? ln x ? 1

D.①和②都为假 ) D. y ? cos x

x

5.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形,其尺寸如图,则该多 面体的体积为( A. 48cm C. 32cm
3

3

1

6. 已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的距 5 ?2 ?

离等于 A. ?

? ,则 2

??? f ? ? 的值为 ?4?
B.

3 5

?

4 5

C.

3 5

D.

4 5

7. 阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? A. 9 B. 10 C. 11
开始

9 k 19 ,则输出的 值是

D. 12

输入a k ? 1, S ? 0

S ?S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)
k ? k ?1
S ? a?





输出k
结束

8.过双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1( b ? 1 )的左顶点 ? 作斜率为1的直线 l ,若直线 l 与双曲线的两条渐近线分别 b2

相交于点 Q , R ,且 ?? ? ?R ? 2?Q ,则双曲线的离心率为( A. 5 B. 10

??? ? ??? ?

??? ?



C.

5 2

D.

10 3

9.若 x,y 满足

且 z=2x+y 的最大值为 4,则 k 的值为( )

A.

B.

C.

D.

10.球 O 半径为 R ? 13 ,球面上有三点 A 、 B 、 C , AB ? 12 3 , AC ? BC ? 12 ,则四面体 OABC 的 体积是
2

A. 60 3

B. 50 3

C. 60 6

D. 50 6

11.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条 平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步 行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径的长度为( )

A.

B.
3

C.

D.

12.已知函数 f ( x) ? x ? x, x ? R ,若当 0 ? ? ? 取值范围是( A. (0,1) ) B. (??,0) C. ? ? ? , ?

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的

? ?

1? 2?

D. (??,1) 第Ⅱ卷

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是 14.将序号为 1,2,3,4 的四张电影票全部分给 3 人,每人至少一张.要求分给同一人的两张电影票连 号,那么不同的分法种数为 . (用数字作答) 15.设 a ?
2 2

?

?

0

a? 3 2 ? cos x ? sin x ? dx ,则二项式 ? ? x ? ? 展开式中的 x 项的系数为 x ? ?

6



16.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?

2Sn 2 (n ? 2) ,其中 S n 为 {an } 的前 n 项和,则 S 2016 ? _______. 2Sn ? 1

三、解答题(本大题共计 70 分,解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤) 。 17.(本题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式;

b1 b2 bn 1 * (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N ,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2
18. (本小题满分 12 分) 某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服务 才合格.教育部门在全市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据,按时间段 ? 75,80 ? , ?80,85 ? , ?85,90 ? , ?90,95 ? , ?95,100? (单位: 小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示. (1)求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从全市高中学生 中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 位学生,记 ? 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数.试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? 和方差 D? .
频率 组距

3

0.07 5 0.06 0

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AE⊥PD; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 求二面角 E-AF-C 的余弦值.

为蓌形,PA⊥平面

6 , 4

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0 )的焦点为 F ? 0,1? ,过点 F 作直线 l 交抛物线 C
2

于 ? , ? 两点.椭圆 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且其离心率 e ? (Ⅰ)分别求抛物线 C 和椭圆 ? 的方程;

3 . 2

(Ⅱ)经过 ? , ? 两点分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 ,切线 l1 与 l2 相交于点 ? .证明: ?? ? ? F . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x , a ? R ,
2

(1)若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围;
2

(2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e ? ( e 是自然常数)时,函数 g ? x ? 的最小值 是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ? ? 0, e ? 时,证明: e x ?
2 2

5 x ? ? x ? 1? ln x 2

选考题(本题满分 10 分) . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E , EF ∥ CB ,

EF 交 AD 的延长线于 点 F , FG 切圆 O 于点 G .
(1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

23. (本题满分 10 分)
4

选修 4—4;坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线

? 2 x ? ?1 ? t ? 2 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(?1,2) 的直线 l 的参数方程为 ? ? ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ( t 是参数) ? , 直线 l 与
曲线 C 分别交于 M , N 两点。 (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值。

24(本题满分 10 分) . 选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,其中 a ? 1 . ⑴当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 4? | x ? 4 | 的解集; ⑵若函数 h( x) ? f (2 x ? a) ? 2 f ( x) 的图象与 x 、 y 轴围成的三角形面积大于 a ? 4 ,求 a 的取值范围.

5

2016 届高三年级第一次模拟考试 数学(理)试题参考答案 选择 答案 填空 答案 1 D 2 D 13 -4 3 C 4 B 5 A 14 18 6 D 7 C 8 B 15 -160 9 A 10 A 11 B 16 12 D

1 4031

17.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得
?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1, ?

解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,n∈N .
*

b1 b2 bn 1 * (2)由已知 + +?+ =1- n,n∈N , a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2
1 ? 1 bn 1 ? 当 n≥2 时, =1- n-?1- n-1?= n, an 2 ? 2 ? 2

bn 1 * 所以 = n,n∈N . an 2
由(1)知 an=2n-1,n∈N , 2n-1 * 所以 bn= n ,n∈N . 2 1 3 5 2n-1 又 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 1 1 3 2n-3 2n-1 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 两式相减得 2 ? 2n-1 1 1 ?2 2 Tn= +? 2+ 3+?+ n?- n+1 2? 2 2 2 ?2 2 3 1 2n-1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2 18.解析: (1)根据题意,参加社区服务时间在时间段 ?90,95 ? 小时的学生人数为
*

200 ? 0.060 ? 5 ? 60
6

(人) ,参加社区服务时间在时间段 ?95,100? 小时的学生人数为 200 ? 0.020 ? 5 ? 20 (人) .所以抽取的 200 位学生中, 参加社区服务时间不少于 90 小时的学生 人数为 80 人. 所以从全市高中学生中任意选取

一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率估计为 P ? 60 ? 20 ? 80 ? 2 .

200

200

5

(2)由(1)可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其参加社区服务时间不少于 90 小 时的概率为 . 由已知得,随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2,3 .
0 所以 P (? ? 0) ? C3 ( ) 0 ? ( )3 ?

2 5

2 5

3 5

27 3 54 1 2 1 ; P (? ? 1) ? C3 ; ( ) ? ( )2 ? 125 5 5 125

2 3 36 3 8 3 2 3 ; P (? ? 3) ? C3 . P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ( ) ? ( )0 ? 5 5 125 5 5 125
随机变量 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

27 125

54 125

36 125

8 125

因为 ? ~ B (3, ) ,所以 E? ? np ? 3 ?

2 5

2 6 ? 5 5

? 19(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,可得 ? ABC 为正三 角形.

因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA ⊥平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD 平面 PAD.所以 AE⊥PD.??6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? XYZ , 设 AB=2,AP=a,则 A( 0, 0, 0 ) ,B ( 3, ?1,0) ,C ( 3,1,0) ,D( 0, 2, 0 ) ,P( 0, 0, a ) ,E(

0, 0 ) ,F

( 所以 =

) ,

( 3, ?1, ?a) ,且

= ( 3, 0, 0) 为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与 平面 PAD 所成的角为θ ,

7

由 sin ? =| cos < 解得 a ? 2 所以



>|=

=

=

= ( 3, 0, 0) ,

=(

3 1 , ,1) 2 2

设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1) ,则

,因此

取 z1 ? ?1 ,则 m= 为平面 AFC 的一法向量.又

(0,2,-1),因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC= A,所以 BD⊥平面 AFC, 故 = (? 3,3,0) ,

所以 cos ? m, BD ? =

?? ??? ?



因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为
2 20.(Ⅰ)由已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F (0,1) 可得抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c .由已知可得: a 2 b2

? b ?1 ? 3 ? c ,解得 ? ? a 2 ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ?

a ? 2, b ? 1 .所以椭圆 E 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率存在,否则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,不合题意, 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,
2

由?

? y ? kx ? 1 , 2 ? x ? 4y

消去 y 并整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0, ∴ x1 x2 ? ?4 .

∵抛物线 C 的方程为 y ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x , 4 2
8

∴过抛物线 C 上 A、B 两点的切线方程分别是 y ? y1 ? 即y?

1 1 x1 ( x ? x1 ) , y ? y2 ? x2 ( x ? x2 ) , 2 2

1 1 1 1 x1 x ? x12 , y ? x2 x ? x2 2 , 2 4 2 4 x ? x2 x1 x2 x ? x2 , ) ,即 M ( 1 , ?1) , 解得两条切线 l1 , l2 的交点 M 的坐标为 ( 1 2 4 2 ???? ? ??? ? x ? x2 1 1 1 FM ? AB ? ( 1 , ?2) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x2 2 ? x12 ) ? 2( x2 2 ? x12 ) ? 0 , 2 2 4 4 ∴ AB ? MF .

9

22. 解: (1)

(2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE 2 ? FD ? FA 又因为 FG 为切线,则 FG 2 ? FD ? FA 所以, EF ? FG ? 1 . 23:(1) l : x ? y ? 1 ? 0

C : y 2 ? 2ax(a ? 0)

┈┈┈4 分

(2) a ?

1 2

┈┈6 分

??2 x ? 7, x ? 3, ? 24.解:⑴当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?1,3<x<4, ?2 x ? 7, x ? 4. ?
当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, ?2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? 当 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 ,无解; 当 x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, 2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? ∴ f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 x x ?

3 ; 2

11 . 2
????5 分

?

3 11 ? 或x ? ?. 2 2?

??2a, x ? 0, ? ⑵记 h( x) ? f (2 x ? a ) ? 2 f ( x) ,则 h( x) ? ?4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
所以 S ?

1 a ? 2a ? ? a ? 4 ,解得 a ? 4 . 2 2

????10 分

10


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