2018届高三数学(理)一轮复习课后作业:第八章 平面解析几何 第9节 第2课时 圆锥曲线的综合应用


课时作业 A组 基础对点练 1.(2017· 唐山统考)已知抛物线 E:x2=2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A,B →· → =2,其中 O 为原点. 两点,且OA OB (1)求抛物线 E 的方程; 2 (2)若点 C 的坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1 +k2 2- 2k2 为定值. 解析:(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0,其中 Δ>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p. 2 x2 1 x2 → → 而OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+2p· 2p=-4p+4, 1 由已知,-4p+4=2,即 p=2, 所以抛物线 E 的方程为 x2=y. (2)证明:由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2. 2 y1+2 x2 1+2 x1-x1x2 k1= x = x = x =x1-x2,同理 k2=x2-x1, 1 1 1 2 2 2 2 所以 k1 +k2 2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2) =-8x1x2=16. 2 2 即 k1 +k2 2-2k 为定值. x2 y2 2.(2017· 德州模拟)已知 A,F 分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点(O →· → =0.设椭圆的离心率为 e,直线 为坐标原点),P 为椭圆上异于点 A 的点,且PA PF PA 的斜率 k>0. 1 (1)求证:2<e<1; (2)若 e=2k2,求直线 OP 的方程. →· → =(-a-x,-y)· 解析:(1)证明:设点 P(x,y),则PA PF (c-x,-y)=0,即(x+a)(x -c)+y2=0. x2 y2 又a2+b2=1, a2-x2 x+a 所以(x+a)(x-c)+ a2 b2= a2 (a2-b2)x-a(ac-b2)]=0. 又 x+a≠0,所以 x= a?ac-b2? . a2-b2 又 x>-a,所以 2c2+ac-a2>0, 即 2e2+e-1>0, 1 又 0<e<1,故2<e<1. 1 ?1 ? (2)将直线 PA:x= k y-a 代入椭圆的方程得,b2? ky-a?2+a2y2=a2b2, ? ? 2ab ?b ? 即?k2 +a2?y2- k y=0, ? ? 2kab2 因为 y≠0,所以 y= 2 2 2, a k +b a?b2-a2k2? 1 从而 x=k y-a= 2 2 2 , a k +b c 又 e=2k2,即 k2=2a, a?2b2-ac? 故 x= . 2b2+ac a?ac-b2? a?ac-b2? a?2b2-ac? 由(1)知 x= 2 ,整理得,ac+c2=2b2=2(a2-c2) 2 ,所以 2 2 = 2 a -b a -b 2b +ac =2(a+c)(a-c). 2 所以 c=2a-2c,故 3c=2a,即 e=3. a2k2+b2 y 2kab2 2kb2 而 kOP=x= 2 2 2· 2 = = a k +b a?b -a2k2? b2-a2k2 2 将 e=3,k= e 3 5 3 = 代入得, k OP= 2 3 3 , 2k 2k a2 2= k2 , 1- 2 2k 1- a -c 1-e2 2 2 5 3 故直线 OP 的方程为 y= 3 x. B组 能力提速练 x2 y2 1 1.(2017· 石家庄模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,点 A 为椭圆 上一点,∠F1AF2=60° ,且 S△F1AF2= 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于 点 Q,问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M?若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 1 解析:(1)由 e=2可得 a2=4c2,① 1 S△F1AF2=2|AF1||AF2|sin 60° = 3, 可得|AF1||AF2|=4, 在△F1AF2 中,由余弦定理可得 |F1A|2+|F2A|2-2|F1A|· |F2A|cos 60° =4c2, 又|AF1|+|AF2|=2a,可得 a2-c2=3,② 联立①②得 a2=4,c2=1,∴b2=3, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. y=kx+m, ? ? (2)设点 P(x0,y0),由?x2 y2 + =1 ? ?4 3 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0, 由题意知 Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2-m2+3=0, ∴x0=- 4km 4k 3 ? 4k 3 ? =- m ,y0=m,∴P?- m ,m?. 2 ? ? 4k +3 ?y=kx+m, 由? 得 Q(4,4k+m), ?x=4 假设存在点 M,坐标为(x1,0), 4k 3? → → =? ?- m -x1,m?,MQ 则MP =(4-x1,4k+m). ? ? →· → =0, ∵以 PQ 为直径的圆恒过 M 点,∴MP MQ 16k 4kx1 12k 即- m + m -4x1+x2 1+ m +3=0, k ∴(4x1-4)m+x2 1-4x1+3=0 对任意 k,m 都成立. ?4x1-4=0, 则? 2 解得 x1=1, ?x1-4x1+3=0, 故存在定点 M(1,0)符合题意. x2 2 2.(2017· 烟台模拟)已知椭圆 C: 4 +y =1,点 M(x0,y0)是椭圆 C 上一点,圆 M: (x-x0)2+(y-y0)2=r2. (1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; 4 (2)从原点 O 向圆 M: (x-x0)2+(y-y0)2=5作两条切线分别与椭圆

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