推荐2019年人教版高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理Word版


数列题型归纳(附参考答案) 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想: 常设首项、 (公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1)若数列 a≠1) ; 2) 若数列 是 3)若 是等比数列, 且 的公比。 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列。 , 则数列 是等差数列, 公差为 , 其中 是常数且 , 是等差数列,则数列 是等比数列,公比为 ,其中 是常数, 是 的公差。 (a>0 且 3.等差与等比数列的比较 等差数列 定义 等比数列 通 项 公式 求 和 公式 = +(n-1)d= +(n-k)d=dn+ -d 中 项 公式 A= 推广:2 = 推广: 。 性 质 1 2 若 m+n=p+q 则 若 成 A.P (其中 ) 则 也 若 m+n=p+q,则 若 则 成等比数列(其中 成等比数列。 。 ) , 为 A.P。 3 4 . 成等差数列。 成等比数列。 , 4、典型例题分析 【题型 1】等差数列与等比数列的联系 例 1 (2010 陕西文 16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列.(Ⅰ)求数列{an} 的通项;(Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 解: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , an 解得 d=1,d=0(舍去) ,故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 3 n =2 ,由等比数列前 n 项和公式得 n+1 n Sm=2+2 +2 +…+2 = =2 -2. 小结与拓展:数列 (a>0 且 a≠1). 是等差数列,则数列 是等比数列,公比为 ,其中 是常数, 是 的公差。 【题型 2】与“前 n 项和 Sn 与通项 an” 、常用求通项公式的结合 例 2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且 a1+2a2+2 a3+…+2 立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求数列{an}与{bn}的通项公式。 解:a1+2a2+2 a3+…+2 2 2 n-1 2 n-1 an=8n 对任意的 n∈N 都成 * an=8n(n∈N )① n-2 * 当 n≥2 时,a1+2a2+2 a3+…+2 ①-②得 2 n-1 an-1=8(n-1)(n∈N )② * an=8,求得 an=2 4-n , 在①中令 n=1,可得 a1=8=2 ∴an=2 4-n * 4-1 , (n∈N ).由题意知 b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6, 法一(迭代法) bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8) =n -7n+14(n∈N ). 法二(累加法) 即 bn-bn-1=2n-8, 2 * bn-1-bn-2=2n-10, … b3-b2=-2, b2-b1=-4, b1=8, 相加得 bn=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8) (n-1)(-4+2n-8) 2 * =8+ =n -7n+14(n∈N ). 2 小结与拓展:1)在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为: .是重要考点;2)韦达定理应引起重视;3)迭代法、累加法及累乘法是求数 列通项公式的常用方法。 【题型 3】中项公式与最值(数列具有函数的性质) 例3 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n N ) ,公比 q (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25, * a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当 最大时,求 n 的值。 解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, 又 an>o,…a3+a5=5 + 2a3a5 + =25 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 ,a1=16,所以, 而 q (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, (2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。所以, 所以,当 n≤8 时, 当 n=8 或 9 时, >0,当 n=9 时, =0,n>9 时, 最大。 <0, 小结与拓展:1)利用配方法、单调性法求数列的最值;2)等差中项与等比中项。 二、数列的前 n 项和 1.前 n 项和公式 Sn 的定义: Sn=a1+a2+…an。 2.数列求和的方法(1) (1)公式法:1)等差数列求和公式;2)等比数列求和公式;3)可转化为等差、等比数列的数列;4)常用公 式: ; ; ; 。 (2)分组求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后 由等差、等比数列求和公式求解。 (3)倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数 列的前 n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。 (4)裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。 适用于 其中{ }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。如: 1) 和 ( 其 中 等 差 ) 可 裂 项 为 : ; 2 ) 。 (根式在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消求和) 常见裂项公式: (1) (2) (3) (4) (5)常见放缩公式: .

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