2018年人教版高三数学一轮复习讲义:必修三第05讲 古典概型与几何概型


古典概型与几何概型 【知识概述】 1.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一 个基本事件的概率都是 1 ; n m . n 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= 3.古典概型的概率公式 P(A)= 4.几何概型 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率 模型为几何概率模型,简称为几何概型. 构成事件A的区域长度?面积或体积? 5.几何概型中, 事件 A 的概率公式 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生 具有等可能性. 7.几何概型的试验中,事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正 比,而与 A 的位置和形状无关. 8.求试验中几何概型的概率, 关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量, 然后代入 公式即可求解. 9.从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合 I,基 本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数,事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个元素的子集. card?A? m 故 P(A)= = . card?I? n [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 【学前诊断】 1.[难度] 易 1 1 1 1 ? ? ??? 1 ? 2 2________ ? 3 3 ?. 4 2011 ? 2012 一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为 在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 2.[难度] 中 3.[难度] 中 如图所示,在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形,向大正方形 内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是________. 【经典例题】 例 1.1 盒中有 3 只灯泡,其中 2 只是正品,1 只是次品. (1)从中取出 1 只,然后放回,再取 1 只,求连续 2 次取出的都是正品的概率; (2)从中一次任取出 2 只,求 2 只都是正品的概率. 例 2.现有 8 名世博会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通晓俄语, C1、C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 例 3.抛掷两枚骰子,求下列事件的概率: (1 )点数之和是 4 的倍数; (2)点数之和大于 5 小于 10. 例 4.有一段长为 10 米的木棍,现要截成两段,每段不小于 3 米的概率有多大? 例 5.某公共汽车站每隔 10 分 钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求乘客 候车时间不超过 6 分钟的概率. [来源:学。科。网] 例 6.在可行域内任取一点,规则如流程图所示,求能输出数对(x,y)的概率. [来源:学科网 ZXXK] [来源:Z*xx*k.Com] 例 7.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去.求两人能会面的概率. 例 8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与 正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10, 则就有可能撞到玻璃上而不 安全;若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假 设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率 是____ ______. 【本课总结】 1. 一个试 验是否为古典概型, 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等 可能性, 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型. 正确的判断试验的类型是解决 概率问题的关键. 2. 用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来, 然后再求出事件 A 中的基本事件, 利 m 用公式 P(A)= 求出事件 A 的概率.这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照 n 某一顺序做到不重复、不遗漏. 3. 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1) 无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2) 等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4. 几何概型的试验中,事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积) 成正比,而与 A 的位置和形状无关. 5. 古典概型与几何概型的异同点: 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件是等可能 的,不同点是基本事件数一个是有限的,一个是无限的,基本事件可以抽象为点.对于 几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域是有限的,根据等可能性,这 个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关. 【活学活用】 [来源:Z,xx,k.Com] 1.[难度] 中 一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”,“World”,“One”, “Dream”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左 到右的顺序排成“One World One Dream”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为 1 5 7 A. B. C. 12 12 12 ( D. 5 6 ) 2. [难度] 中 某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针 (不包括三角形边界及圆的 边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为__

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