北京市2016届高三数学一轮复习专题突破训练统计与概率理


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率

一、选择、填空题
1、(东城区 2015 届高三二模)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1, x2 分别表

示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的平均数, s1, s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学
测验成绩的标准差,则有

(A) x1 ? x2 , s1 ? s2

(B) x1 ? x2 , s1 ? s2

(C) x1 ? x2 , s1 ? s2

(D) x1 ? x2 , s1 ? s2

2、(房山区 2015 届高三一模)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个
边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角? ? ? ,现在向该正方形区域内随机地投 6
掷一支飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ____ .

3、(丰台区2015届高三上学期期末)高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外 阅读状况,分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查,假设这两组同学抽取的样本容 量相同且抽样方法合理,则下列结论正确的是
(A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B)两组同学的样本平均数一定相等 (C)两组同学的样本标准差一定相等 (D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同
4、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知圆 M : x2 ? y2 ? 4 ,在圆周上随机取一点 P,则 P

到直线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2 的概率为

?x ? 2 y ? 4 ? 0,

5、(朝阳区

2015

届高三上学期期中)设不等式组

? ?

x

?

0,

表示平面区域为 D ,在区

?? y ? 0

域 D 内随机取一点 P ,则点 P 落在圆 x2 ? y2 ? 1内的概率为

6、某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用 分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 ______.

7、下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,

其 中 平 均 气 温 的 范 围 是 ?20.5,26.5? , 样 本 数 据 的 分 组 为 ?20.5,21.5? ,

?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? . 由 图 中 数 据 可 知

a?

;样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为

.

频率/组距 0.2
60.2 2a

0.1 20.1 0

O

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 平均气温/℃

555 5555

?x ? 2 y ? 2 ? 0,

8、设不等式组

? ?

x ≤ 4,

表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直

? ?

y ? ?2

线 y+2=0 的距离大于 2 的概率是

A. 4 13

B. 5 13

C. 8 25

D. 9 25

9、将正整数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等
的概率是( )

(A) 2 (B) 4 (C) 1 (D) 2

21

63

21

63

10、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是

(A) 1 3

(B) 1 2

(C) 2 3

(D) 5 6

二、解答题 1、(2015 年北京高考) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位: 天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A ,B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为甲,B 组 选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 2、(2014 年北京高考)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ,一
场不超过 0.6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)
3、(2013 年北京高考)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小 于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

4、(朝阳区2015届高三一模)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图 都受到不同程度的污损,其中,频 率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),据 此解 答如下问题.
(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在 [90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.
5、(东城区 2015 届高三二模)某校高一年级开设 A , B , C , D , E 五门选修课,每位同 学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任
选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.
(Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (Ⅱ)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

6、(房山区 2015 届高三一模) 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了
频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 组的频率之比为1: 2 : 3 , 其中第 2 组的 频数为12 .
(Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数; (Ⅱ) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人
数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

7、(丰台区 2015 届高三一模)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一

辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可

分为三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250,

C:R≥250.甲从 A,B,C 三类

车型中挑选,乙从 B,C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:

概率 人

车型
A



1

5



B

C

p

q

1

3

4

4

若甲、乙都选 C 类车型的概率为 3 . 10
(Ⅰ)求 p , q 的值;
(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率;
(Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:

车型

A

B

C

补贴金额(万元/辆)

3

4

5

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和.为 X,求 X 的分布列.

8、(海淀区 2015 届高三二模)某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随 机抽取男、女生各 20 名进行测试,记录的数据如下:

男生投掷距离(单位:米) 977 876 66
85530 7311 220

5. 4 6. 4 7. 0 8. 1 9. 10.

女生投掷距离(单位:米) 6 556669 024455558

已知该项目评分标准为:

男生 … 投掷 距离 (米) 女生 … 投掷 距离 (米) 个人 … 得分 (分)

[5.4, 6.0) [5.1, 5.4)
4

[6.0, 6.6) [5.4, 5.6)
5

[6.6, 7.4) [5.6, 6.4)
6

[7.4, 7.8) [6.4, 6.8)
7

[7.8, 8.6) [6.8, 7.2)
8

[8.6,10.0) [7.2, 7.6)
9

[10.0, ??)
[7.6, ??)
~ 10

注:满分 10 分,且得 9 分以上(含 9 分)定为“优秀”. (Ⅰ)求上述 20 名女生得.分.的中位数和众数;
(Ⅱ)从上述 20 名男生中,随机抽取 2 名,求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列;
(Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.(写 出两个结论即可)

9、(石景山区 2015 届高三一模) 国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表:

AQI 值范围 [0,50 [50,100) [100,150 [150,200 [200,300 300 及以上

)

)

)

)

下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据:

西部城市 AQI 数值 东部城市 AQI 数值

西安

108

北京

104

西宁

92

金门

42

克拉玛依

37

上海

x

鄂尔多斯

56

苏州

114

巴彦淖尔

61

天津

105

库尔勒

456

石家庄

93

AQI 平均值:135

AQI 平均值:90

(Ⅰ) 求 x 的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小关系(只

需写出结果);

(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行调

研,记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为? ,求? 的分布列和数学期望.

10、(西城区2015届高三一模)2014 年12 月28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程 分段计价.具体如下表.(不 考虑公交卡折扣情况)
已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元,现从那些只乘坐四号线 地铁,且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.
(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此 人乘坐地铁的票价小于5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人,记X 为这2 人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车

所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里, 试写出s 的取值范围.(只需写出结论)

11、(丰台区2015届高三上学期期末)某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范 围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图 如图所示,其中样本数据分组区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (I)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学,求 这名同学考试成绩在80分以上的概率; (Ⅲ)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这 3名同学中考试成绩在80分以上的人数记为X,求X的分布列 及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

12、(海淀区 2015 届高三上学期期末)某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》,共 有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估, 学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙
两位同学间隔的人数为 X , X 的分布列为

X

3

2

1

0

P

a

b

3

2

10

5

求数学期望 EX ;

(Ⅲ)考核的第二轮是笔试:5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结合 第一轮的答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119. 这 5 位同学笔试成
绩与考核成绩的方差分别记为 s12 , s22 ,试比较 s12 与 s22 的大小. (只需写出结论)

13、(西城区 2015 届高三上学期期末)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:

(1)投资股市:

投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%

概率

1

1

3

2

8

8

(2)购买基金:

投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10%

概率

p

1

q

3

(Ⅰ)当 p = 1 时,求 q 的值; 4

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后

他们中至少有一人获利的概率大于 4 ,求 p 的取值范围; 5
(Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这

两种方案中选择一种,已知 p = 1 , q = 1 ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投

2

6

资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.

14、(朝阳区 2015 届高三第二次综合练习)某学科测试中要求考生从 A,B,C 三道题中任 选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有 600 名学生参加测试,选择 A,B,C 三题答 卷数如下表:

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽 出若干份答卷,其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份,则应分别从选择 B,C 题作答的答卷中各抽出多少份?
(Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中,A,B,C 三题答卷得优的份数都是 2,从被抽出 的 A,B,C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷中恰有 1 份得优的概率;
(Ⅲ)测试后的统计数据显示,B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ) 问中被抽出的选择 B 题作答的答卷中,记其中得优的份数为 X,求 X 的分布列及其 数学期望 EX.

15、(通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一))随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不 断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,
某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了 50 人进行调查,将调查情况进行整理后制成下
表:

年龄 ?20, 25? ?25,30? ?30,35? ?35, 40? ?40, 45?

人数

4

5

8

5

3

年龄 ?45,50? ?50,55? ?55,60? ?60,65? ?65,70?

人数

6

7

3

5

4

年龄在?25,30? ,?55, 60? 的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人,现从这两组
的被调查者中各随机选取 2 人,进行跟踪调查.
(Ⅰ)求年龄在?25,30? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率;
(Ⅱ)求选中的 4 人中,至少有 3 人赞成的概率; (Ⅲ)若选中的 4 人中,不赞成的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望

参考答案 一、选择、填空题
1、B 2、1? 3 2

3、D 4、 1 4

5、 π 16

6、【答案】20
【解析】高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为 45 ? 400 ? 20 人。 900
7、【答案】0.18,33

8、【答案】D

【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y+2=0 的距离

等于 2,所以要使点 D 到直线的距离大于 2,则点 D 应在三角形 BCF 中。各点的坐标为

B(?2,0),C(4,0),D(?6,? 2),E(4,? 2),F(4,3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5,BC ? 6,

CF ? 3

,根据几何概型可知所求概率为

P ? S?BCF S?DEF

?

1 ?6?3 2 1 ?10? 5

?

9 25

,选

D.

2

9、【答案】B

【解析】将正整数1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数则有

C71 ? C72 ? C73 ? C74 ? C75 ? C76 ? 27 ? 2 ? 126 种,因为1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 28 ,所以要使 两组中各数之和相,则有各组数字之和为 14.则有 7 ? 6 ?1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ; 7 ? 5? 2 ? 6 ? 4 ? 3?1;7 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5? 2 ?1;7 ? 4 ? 2 ?1? 6 ? 5? 3; 5? 4 ? 3? 2 ? 7 ? 6 ?1;6 ? 4 ? 3?1? 7 ? 5? 2;6 ? 5? 2 ?1? 7 ? 4 ? 3; 6 ? 5 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ?1共 8 种,所以两组中各数之和相等的概率是 8 ? 4 ,选 B.
126 63

10、【答案】C

【解析】从袋中任取

2

个球,恰有一个红球的概率 P

?

C21C21 C42

?

4 6

?

2 3

,选

C.

二、解答题

1、解析:设事件 Ai 为“甲是 A 的第 i 个人”, 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人” i ? 1,2,3.?7

由题意可知 P?Ai ? ?

P?Bi ? ?

1 7

i

? 1,2,3.?7

(Ⅰ) 由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人或者第 6 人,

或者第 7 人”甲的康复时间不少于 14 天的概率是

P?A5

?

A6

?

A7

?

?

P?A5

?

?

P?A6

?

?

P?A7

?

?

3 7

(Ⅱ)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”有题意知

C ? A4B1 ? A5B1 ? A6B1 ? A7B1 ? A5B2 ?
A6B2 ? A7B2 ? A7B3 ? A6B6 ? A7B6
P?C? ? P?A4B1? ? P?A5B1? ? P?A6B1? ? P?A7B1? ? P?A5B2 ? ? P?A6B2 ? ? P?A7B2 ? ? P?A7B3 ? ? P?A6B6 ? ? P?A7B6 ?

?

10

P?

A4

?P?B1

?

?

10 49

(Ⅲ) a ? 11或a ? 18

2、⑴ 李明在该场比赛中命中率超过 0.6 的概率有:

主场 2

主场 3

主场 5

客场 2

客场 4

所以李明在该场比赛中投篮命中超过 0.6 的概率

P? 5 ?1 10 2



李明主场命中率超过

0.6

概率

P1

?

3 5

,命中率不超过

0.6

的概率为1 ?

P1

?

2 5

客场中命中率超过 0.6

概率 P2

?

2 5

,命中率不超过 0.6

的概率为1 ?

P2

?

3 5



P ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 13 5 5 5 5 25

⑶ E?X?? x.

3、解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,13).
根据题意,P(Ai)= 1 ,且 Ai∩Aj= ? (i≠j). 13
(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8.
所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= 2 . 13
(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 4 , 13
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= 4 , 13
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 5 . 13

所以 X 的分布列为:

X0

1

2

P5

4

4

13 13 13

故 X 的期望 EX=0× 5 +1× 4 +2× 4 = 12 . 13 13 13 13
(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

4、

5、解:(Ⅰ)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程”,事件 B 为“乙同学选中 C 课程”.

则 P( A)

?

C12 C32

?

2 3

, P(B)

?

C24 C35

?

3. 5

因为事件 A 与 B 相互独立,

所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

P( AB) ? P( A)P(B) ? P( A)[1? P(B)] ? 2 ? 2 ? 4 . …………………4 分 3 5 15

(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程”.

则 P(C) ? C24 ? 3 . C35 5

X 的可能取值为: 0,1, 2,3.

P( X ? 0) ? P( ABC) ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 . 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)

? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 20 . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)

? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 33 . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75
P( X ? 3) ? P( ABC) ? 2 ? 3 ? 3 ? 18 . 3 5 5 75
X 为分布列为:

X

0

1

2

3

4

20

33

18

P

75

75

75

75

E( X ) ? 0? 4 ?1? 20 ? 2? 33 ? 3? 18 ? 140 ? 28 .………13 分 75 75 75 75 75 15
6、解:(I)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1, p2 , p3 ,则由条件可得:

? p2 ? 2 p1

? ?

p3

?

3

p1

?? p1 ? p2 ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1

解得, p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375.

又因为

p2

?

0.25

?

12 n

,故n

?

48

(II)由(I)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为

………………5 分

p

?

p3

? (0.037 ? 0.013) ? 5

?

5, 8

故X服从二项分布 , P?X

?

k??

C3k

?? ?

5 8

?? ?

k

?? ?

3 8

?? ?

3?k

∴随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

27

135

225

125

p

512

512

512

512

则 EX ? 0 ? 27 ? 1? 135 ? 2 ? 225 ? 3? 125 ? 15 ,或 EX ? np ? 3? 5 ? 15 .

512 512 512 512 8

88

……………

…13 分

7、解:(Ⅰ)因为

?
?? ?
? ??

3 4
p

q ?

? q

3 10 ?1
5

?

1

所以 p ? 2 ,q ? 2 . 55
4分

……………………

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A,

则 P( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 . 55454 5
答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 . 5
7分

……………………

(Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.

P(X ? 7) ? 1 ? 1 ? 1 , 5 4 20
P( X ? 9) ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ; 5454 5
所以 X 的分布列为:

P( X ? 8) ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 , 54 54 4
P( X ? 10) ? 2 ? 3 ? 3 . 5 4 10

X

7

8

9

10

P

1

1

20

4

2

3

5

10

…………………

…13 分

8、解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下:

5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10.

所以中位数为 8,众数为 9.

………………3 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2.

………………4 分

P?X

? 0?

?

C122 C220

?

33 95

;P?X

? 1?

?

C112C81 C220

?

48 95

;P?X

?

2?

?

C82 C220

?

14 ; 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

X

0

1

2

33

48

14

P

95

95

95

………………10 分

(Ⅲ)略.

………………13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情

况进行合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况

对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

9、(Ⅰ)x ? 82

………………2 分

D 东部<D 西部

………………4 分

(Ⅱ)“优”类城市有 2 个,“轻度污染”类城市有 4 个.

根据题意? 的所有可能取值为:1, 2, 3 .

………………5 分

P(?

? 1)

?

C41C22 C63

?

1 5

, P(?

?

2)

?

C42C21 C63

?

3 , P(? 5

? 3) ?

C43C20 C63

?

1. 5

…11 分

?? 的分布列为:

?

1

2

3

1

3

1

P

5

5

5

所以 E? ? 1? 1 ? 2? 3 ? 3? 1 ? 2 . 555
10、

………………13 分

11、解:(I)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:
0.1? 55 ? 0.2? 65 ? 0.3? 75 ? 0.25?85 ? 0.15? 95 ? 76.5
(II)设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A.

………2 分

P( A) ? 0.025?10 ? 0.015?10 ? 0.4

答:被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4. ……………6 分
(III)由(II)知,从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率
为2, 5 X 可能的取值是 0,1,2,3.

P( X

?

0)

?

C30

(

2 5

)0

(

3 5

)3

?

27 ; 125

P( X

? 1)

?

C31

(

2 5

)1

(

3 5

)

2

?

54 ; 125

P( X

?

2)

?

C32

(

2 5

)

2

(

3 5

)1

?

36 ; 125

P( X

?

3)

?

C33

(

2 5

)3

(

3 5

)0

?

8. 125

X 的分布列为:

X0

1

2

3

P 27

54

36

8

125 125 125 125

……………12 分

所以 E( X ) ? 0? 27 ?1? 54 ? 2? 36 ? 3? 8 ? 6 . 125 125 125 125 5
……………13 分

(或 X B(3, 2) ,所以 E( X ) ? np ? 3? 2 ? 6 .)

5

55

12、解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为 5 ? 30 ? 3,女同学的人数为 5 ? 20 ? 2 .

50

50

………………4 分

(Ⅱ)由题意可得:P( X

? 3)

?

A22 A33 A55

? 1. 10

因为 a ? b ? 3 ? 2 ? 1, 10 5
所以 b ? 1 . 5

所以 EX ? 3? 1 ? 2? 1 ?1? 3 ? 0? 2 ? 1. 10 5 10 5

………………6 分
………………8 分 ………………10 分

(Ⅲ) s12 ? s22 .

………………13 分

13、(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三

种,且三种投资结果相互独立,

所以 p + 1 + q =1. 3

……………… 2 分

又因为 p = 1 , 4

所以 q = 5 . 12

……………… 3 分

(Ⅱ)解:记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事

件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,

……………… 4 分

则 C = AB U AB U AB ,且 A,B 独立. 由上表可知, P( A) = 1 , P(B) = p .
2 所以 P(C) = P( AB) + P( AB) + P( AB)

……………… 5 分

= 1 ? (1 p) + 1 ? p 1 ? p

2

2

2

= 1+ 1 p. 22

……………… 6 分

因为 P(C) = 1 + 1 p > 4 , 22 5

所以 p > 3 . 5
又因为 p + 1 + q = 1, q≥0 , 3

……………… 7 分

所以 p≤ 2 . 3

所以 3 < p≤ 2 .

5

3

……………… 8 分

(Ⅲ)解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单位:

万元),

所以随机变量 X 的分布列为:

X

4

0

?2

1

1

3

P

2

8

8

…………… 9 分

则 EX ? 4? 1 ? 0? 1 ? (?2) ? 3 ? 5 .

28

84

……………10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万

元),

所以随机变量Y 的分布列为:

Y

2

0

?1

1

1

1

P

2

3

6

…………… 11 分

则 EY ? 2? 1 ? 0? 1 ? (?1) ? 1 ? 5 .

23

66

因为 EX ? EY ,

…………… 12 分

所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.……… 13 分

14、解:(Ⅰ)由题意可得:



A

B

C

答卷数

180

300

230

抽出的答卷数

3

5

2

应分别从

题的答卷中抽出 份, 份.

(Ⅱ)记事件 :被抽出的

三种答卷中分别再任取出 份,这 份答卷中恰有 份

得优,可知只能 题答案为优,依题意



(Ⅲ)由题意可知, 题答案得优的概率为 ,显然被抽出的 题的答案中得优的份数

的可能取值为

,且















随机变量 的分布列为:

所以



15、解: (Ⅰ) 设“年龄在?25,30? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成”为事件 A ,

所以 P ? A?

?

C32 C52

? 3. 10

(Ⅱ) 设“选中的 4 人中,至少有 3 人赞成”为事件 B ,

? ? 所以 P

B

?

C32C21C11 C52C32

?

C31C21C22 C52C32

?

C32C22 C52C32

?

1. 2

(Ⅲ) X 的可能取值为 0 ,1, 2 , 3.

…………………… 3 分 …………………… 7 分

所以 P( X

? 0) ?

C32C22 C52C32

? 1 , P(X 10

? 1) ?

C31C21C22 ? C32C21C11 C52C32

?

2 5



P( X

? 2) ?

C22C22

? C31C21C21C11 C52C32

?

13 , P( X 30

? 3) ?

C22C21C11 C52C32

? 1. 15

…………………… 11 分

所以 X 的分布列是

X

0

1

1

2

P

10

5

所以 EX ? 0? 1 ?1? 2 ?2? 13 ?3? 1 ? 22 . 10 5 30 15 15

2

3

13

1

30 15

…………………… 12 分

…………………… 13 分


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