北师大版选修2-2第二章第2节《导数的概念及其几何意义》课件(共41张PPT)_图文


旧知回顾 平均变化率的定义 我们把式子 f ? x2 ? - f ? x1 ? x2 - x1 称为函数 f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . ( average rate of change) 平均速度不能反映物体在某段 时间里的运动状态,那么用什么来 衡量物体的状态呢? 新课导入 如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢? 汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢? 3.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中,运动员在不同 时刻的速度是不同的.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度(instaneous velociy). 平均速度反映了物体运动时的快慢 程度,但要精确地描述非匀速直线运 动,就要知道物体在每一时刻运动的 快慢程度,也即需要通过瞬时速度来 反映. 例题1 已知物体作变速直线运动,其 运动方程为s=s(t)(s表示位 移,t表示时间),求物体在t0 时刻 的速度. 例题1 已知物体作变速直线运动,其 运动方程为s=s(t)(s表示位 移,t表示时间),求物体在t0 时刻 的速度. 物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻 t 的瞬时速度v,就是物体在t到 t+Δt这段时间内,当 Δt?0 时的平均速度: 物体的运动规律是 s=s(t),那 么物体在时刻 t 的瞬时速度v,就 是物体在t到 t+Δt这段时间内,当 Δt?0 时的平均速度: ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) v ? lim ? lim . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 例题2 物体作自由落体运动,运动方程 1 2 为: s = gt 其中位移单位是m,时 2 间单位是s,g=10m/s2.求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的 平均速度; (2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. O s(2) __ 解: Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2 s(2+?t) ?s (1)将 Δ t=0.1 代入上式,得 : __ v = 2.05g = 20.5m / s. s (2)当Δt ? 0, 2 + Δt ? 2 从而平均速度 v 的极限为 ?s v ? limv ? lim ? 2 g ? 20m / s . ?t ? 0 ?t ? 0 ? t __ 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s). 例题3 还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗?运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时 间t(单位:秒)存在函数关系: h(t) = -4.9t +6.5t +10 2 知道了瞬时速度的概念, 那么在高台跳水运动中,如 何求(比如,t=2)运动员的 瞬时速度? 通过列表看出平均速度的变化趋势 : △t<0时,在[2+ △t,2]这段时间内 h ? 2 ? ? h ? 2 ? ?t ? 4.9Δt 2 +13.1Δt v? = -4.9Δt - 13.1 = 2 ? ? 2 ? ?t ? -Δt 当△t=-0.01时, v =-13.051; 当△t=-0.001时,v =-13.0951; 当△t=-0.0001时, v =-13.09951; 当△t=-0.00001时, v =-13.099951; 当△t=-0.000001时, v =-13.0999951; …... △t>0时,在[2,2+ △t]这段时间内 h ? 2 ? - h ? 2 + Δt ? 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 - ? 2 + Δt ? -Δt 当△t=0.01时, v =-13.149; 当△t=0.001时, v=-13.1049; 当△t=0.0001时,v =-13.10049; 当△t=0.00001时,v =-13.100049; 当△t=0.000001时,v =-13.1000049; …... 观察 当 ?t 趋近于0时,平均速 度 v 有什么样的变化? 我们发现,当Δt 趋近于0时,即 无论t从小于2的一边,还是从大于2 的一边趋近于2时,平均速度都趋近 于一个确定的值-13.1 . 我们用 h(2 + Δt) - h(2) lim = -13.1 ?t ? 0 Δt 表示 “当t=2, Δt趋近于0 时,平均速 度趋于确定值-13.1”. 探究 ?那么运动员在某一时刻t0的瞬时速 度怎么表示? h(t 0 + Δt) - h(t 0 ) lim ?t ? 0 Δt 探究 函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示? 导数定义 一般地,函数 y = f ? x ? 在 x = x 0 处的瞬时变化率是 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 我们称它为函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 处的导数(derivative). ) 者 一般将导数记作 f ?(x,0或 , 即 y? |x?x 0 f(x0 ?Δ x)? f (x0 ) f (x)? f (x0 ) f ?(x0 ) ? lim ? lim Δx?0 x ? x0 Δ x x ? x0 y? |x? x0 表示函数y关 于自变量x在 x0 处的 导数 概念理解 ?y 有极限 ?x ?x ? 0 f(x)在点x0处可导 f(x)在点x0处的导数 概念理解 Δy f(x0 ? Δx) ? f(x0 ) ? 是函数f(x)在以x0与 Δx Δx x0+Δx 为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0]) 上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变 化的快

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