对号函数_图文


对号函数在数学解题中的应用
在求函数的最值或值域时,有些函数不能用均值不等式,主要是由于等号不成立,而用单调性又难以 判断与证明。掌握对号函数的性质,使这类题目在解题中显得简便而准确。

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函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对 x
b b b b (当且仅当 ax ? 即 x ? 时取等号) ,由此可得函 ?2 x x a a

号函数的图象及均值不等式,当 x>0 时, ax ?

b (a>0,b>0,x∈R+)的性质: x b b b 当x? 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)有最小值 2 ,特别地,当 a=b=1 时函数有最小值 2。 x a a b b b 函数 y ? ax ? (a>0,b>0)在区间(0, )上是减函数,在区间( ,+∞)上是增函数。 x a a b b 因为函数 y ? ax ? (a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-)的性质: x x b b b 当x?? 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-)有最大值- 2 ,特别地,当 a=b=1 时函数有最大值-2。 x a a

数 y ? ax ?

函数 y ? ax ?

b b b (a>0,b>0)在区间(-∞,)上是增函数,在区间(,0)上是减函数。 x a a

利用对号函数以上性质,在解某些数学题时很简便,下面举例说明: x 2 ? 2x ? 4 1、求函数 y ? 的最小值。 x 2 ? 2x ? 3 解:令 t ? x 2 ? 2x ? 3 ,则 t ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2
y? t 2 ?1 1 ?t? t t

1 3 2 根据对号函数 y ? t ? 在(1,+∞)上是增函数及 t 的取值范围,当 t ? 2 时 y 有最小值 。此时 x=-1. t 2 2 ( x ? k? , k ? Z ) 的单调区间,并求当 x ? (0, ? ) 时函数的最小值。 2、求函数 y ? sin x ? sin x 2 ? 解:令 t=sinx,对号函数 y ? t ? 在(0, 2 )上是减函数,故当 x ? (0, ] 时 sinx 是增函数,所以 t 2 2 ? 2 ? 2 y ? sin x ? 在 (0, ] 上是减函数。 同理,y ? sin x ? 在 ( , ? ) 上是增函数, 由于函数 y ? sin x ? 是 sin x 2 sin x 2 sin x 2 ? ? 奇 函 数 , 所 以 函 数 y ? sin x ? 在 (? ,0) 上 是 减 函 数 , 在 (?? ,? ) 上 是 增 函 数 , 由 周 期 性 , 函 数 sin x 2 2 2 ? ? y ? sin x ? 在每一个区间 (2k? ? ,2k? )( k ? Z ) 上是减函数, 在每一个区间 (2k? ,2k? ? )( k ? Z ) 上是减函 sin x 2 2 2 ? 数 ; 函 数 y ? sin x ? 在 每 一 个 区 间 (2k? ? ,2k? ? ? )( k ? Z ) 上 是 增 函 数 , 在 每 一 个 区 间 sin x 2 3? ? (2k? ? ? ,2k? ? )( k ? Z ) 上是增函数。当 x ? (0, ? ) 时 t ? (0,1] ,当 t=1 时即 x ? 时 y 有最小值 3。 2 2

3 的单调区间,并用函数单调性定义证明之。 x 3 解:利用对号函数性质,容易得出函数 y ? 2 x ? 的单调递增区间是 x
3、求函数 y ? 2 x ?
6 6 6 )( , ,+∞) ,函数的单调递减区间是(,0) , 2 2 2 6 6 (0, ) 。下面只证明在区间上(0, )是减函数的情形: 2 2 3 3 6 设任意的 x1 , x2 ? (0, ),且 x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? ? (2 x2 ? ) x1 x2 2 x ? x1 2x x ? 3 3 = 2( x1 ? x2 ) ? 3( 2 ) = ( x1 ? x2 )(2 ? ) ? ( x1 ? x2 )( 1 2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

(-∞,-

因为 x1 , x2 ? (0,

6 ),且 x1 ? x 2 ,所以 x1 ? x2 ? 0,2 x1 x2 ? 3 ? 0 2

2 x1 x2 ? 3 )?0 x1 x2 即 f(x1)-f(x2)>0 ( x1 ? x2 )(
6 )是减函数. 2 评析:本例利用对号函数求出函数的单调区间后,再用常规法证明,简单明了。
所以 f(x1)>f(x2),f(x) 在区间上(0,

部分参考图像: (图像制作:任喜熙)


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