练习-2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第十二篇 第3讲 数学归纳法


第3讲 数学归纳法 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1 1 127 1 用数学归纳法证明不等式 1+2+4+…+ n-1> 64 (n∈N )成立,其初始值至 2 O O 少应取 A 7 O ( B 8 O ) O C 9 O D 10 O 1 1-2n 1 1 1 1 解析 左边=1+2+4+…+ n 1= = 2 - ,代入验证可知 n 的最小 n 2 - 1-1 2 -1 2 值是 8 O 答案 B 2 用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二 O 步时,正确的证法是 A 假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 O ( ) O B 假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 O C 假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 O D 假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 O 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇 数 O 答案 D 1 1 1 3 用数学归纳法证明 1-2+3-4+…+ O 1 1 1 1 1 - = + +…+2n, 则当 2n-1 2n n+1 n+2 ( ) O n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 A O 1 2k+2 B - O 1 2k+2 C O 1 1 - 2k+1 2k+2 D O 1 1 + 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1-2+3-4+…+ -2k,当 n=k+1 时, 2k-1 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1-2+3-4+…+ -2k+ - 2k-1 2k+1 2k+2 答案 C 4 对于不等式 n2+n<n+1(n∈N ),某同学用数学归纳法的证明过程如下: O O O (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立 O O (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥1)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则当 n=k+ 1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+ 1)+1, 所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A 过程全部正确 O ( ) O B n=1 验得不正确 O C 归纳假设不正确 O D 从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 O 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,故推理错误 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5 用数学归纳法证明不等式 O O 1 1 1 13 + +…+ >24的过程中,由 n=k 推导 n+1 n+2 n+n O n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是________ 解析 不等式的左边增加的式子是 1 2k+1 + 1 2k+2 - 1 k+1 = 1 ?2k+1??2k+2? ,故 填 1 ?2k+1??2k+2? O 答案 O 1 ?2k+1??2k+2? O 6 如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N )行,在这些数中非 1 的数 字之和是________________ O 1 1 1 1 1 4 3 6 … 解析 所有数字之和 Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1,除掉 1 的和为 2n-1 -(2n-1)=2n-2n 答案 2n-2n 三、解答题(共 25 分) 1 1 1 n 7 (12 分)已知 Sn=1+2+3+…+n(n>1,n∈N ),求证:S2n>1+2(n≥2,n∈N ) O O O O O 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 25 2 证明 (1)当 n=2 时,S2n=S4=1+2+3+4=12>1+2,即 n=2 时命题成立; 1 1 1 k (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时命题成立,即 S2k=1+2+3+…+2k>1+2, O 1 1 1 1 1 k 1 则当 n=k+1 时,S2k+1=1+2+3+…+2k+ k +…+ k 1>1+2+ k + 2 +1 2+ 2 +1 k+1 1 1 k 2k k 1 + … + >1 + + = 1 + + = 1 + 2 2k+2k 2 2 2 , 2k+2 2k+1 故当 n=k+1 时,命题成立 O n 由(1)和(2)可知,对 n≥2,n∈N 不等式 S2n>1+2都成立 OO O O 8 (13 分)已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N ),与数列{bn}: O b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N ) 记 Tn=b1a1+b2a2+b3a3+… O O +bnan O (1)若 a1+a2+a3+…+a12=64,求 r 的值; (2)求证:T12n=-4n(n∈N ) O O (1)解 a1 + a2 + a3+…+a12 =1 +2 +r + 3+ 4+ (r + 2)+5+6 +(r+ 4)+ 7 + 8 O +(r+6)=48+4r ∵48+4r=64,∴r=4 (2)证明 O 用数学归纳法证明:当 n∈N 时,T12n=-4n O O O 当 n=1 时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立 ②假设 n=k 时等式成立,即 T12k=-4k,那么当 n=k+1 时, O T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1) -(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等 式也成立 O 根据 O 和

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