【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮课件第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理


第6讲 正弦定理和余弦定理 [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量 问题. 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 正弦定理 a b c = = =2R 内容 sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知两角和任一边,求其他两边和一 (1)已知三边,求三个角; 角; (2)已知两边和它们的夹角,求第 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一 三边和其他两角 边和其他两角 常见 变形 解决 的问 题 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 图 形 关 系 式 解 的 个 数 A为钝角 或直角 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 absin C acsin B 1 2 2 (2)S= bcsin A=____________=_____________. 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2 辨析感悟 1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A> B. (× ) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . ( √ ) 2.解三角形 1 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3, 5 则 sin B=9. (√ ) 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A= ,则 16 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝 角三角形. (√ ) ( √ ) (6)在△ABC 中, 若 b2+c2>a2, 则此三角形是锐角三角形. (×) [感悟·提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的 正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2. 判断三角形形状的两种途径 一是化边为角; 二是化角为边, 并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边 长分别为 a, B.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A. 3 π C.6 π B. 4 π D.12 ( ). (2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________. 解析 (1)在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3 sin

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