【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮课件第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理_图文


第6讲 正弦定理和余弦定理 [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量 问题. 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 正弦定理 a b c = = =2R 内容 sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知两角和任一边,求其他两边和一 (1)已知三边,求三个角; 角; (2)已知两边和它们的夹角,求第 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一 三边和其他两角 边和其他两角 常见 变形 解决 的问 题 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 图 形 关 系 式 解 的 个 数 A为钝角 或直角 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 absin C acsin B 1 2 2 (2)S= bcsin A=____________=_____________. 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2 辨析感悟 1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A> B. (× ) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . ( √ ) 2.解三角形 1 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3, 5 则 sin B=9. (√ ) 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A= ,则 16 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝 角三角形. (√ ) ( √ ) (6)在△ABC 中, 若 b2+c2>a2, 则此三角形是锐角三角形. (×) [感悟·提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的 正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2. 判断三角形形状的两种途径 一是化边为角; 二是化角为边, 并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边 长分别为 a, B.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A. 3 π C.6 π B. 4 π D.12 ( ). (2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________. 解析 (1)在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3 sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, ? π? π ? ? ∴A∈ 0,2 ,∴A= . 3 ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b =a +c -2accos B=1+32-8 2× 2 2 2 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= = = . b 5 5 4 答案 (1)A (2)5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯 一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C = A.30° C.45° 或 135° B.45° D.60° ( ). (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B, 则 A= A.30° C.120° B.60° D.150° ( ). 2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= = = = , 又 2bc 2bc 2bc 2 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (2014· 九江模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A, B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 si

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