2017_2018学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习新人教A版选修4_4


四 渐开线与摆线 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0,那么其横坐标可能是( A.π C.12π B.2π D.14π ) 解析:当 t=0 时,x=0 且 y=0.即点(0,0)在曲线上. 答案:C 2.已知一个圆的摆线的参数方程是? 个拱的高度是( A.3 C.9 解析:由圆的摆线的参数方程 ? ?x=3?φ -sin φ ?, ? ?y=3?1-cos φ ? ? ? ?x=3φ -3sin φ , ?y=3-3cos φ ? (φ 为参数),则该摆线一 ) B.6 D.12 (φ 为参数)知圆的半径 r=3,所以摆线一个拱的高度是 3×2=6. 答案:B 3.圆? ?x=10cos φ , ? ? ?y=10sin φ (φ 为参数)的渐开线方程是( ) A.? ?x=5cos φ +5φ sin φ , ? ?y=5sin φ -5φ cos φ ? ? ?x=5cos φ -5φ sin φ , ?y=5sin φ +5φ cos φ ? ?x=10cos φ +10φ sin φ , ? ? ?y=10sin φ -10φ cos φ ? ?x=10cos φ -10φ sin φ , ?y=10sin φ +10φ cos φ ? (φ 为参数) B.? (φ 为参数) C.? (φ 为参数) D.? (φ 为参数) 解 析 : 由 圆 的 参 数 方 程 知 圆 的 半 径 为 10 , 故 其 渐 开 线 方 程 为 ? ?x=10cos φ +10φ sin φ , ? ?y=10sin φ -10φ cos φ ? (φ 为参数). 答案:C 4.有一个半径为 8 的圆盘沿着直线轨道滚动,在圆盘上有一点 M 与圆盘中心的距离为 1 3,则点 M 的轨迹方程是( A.? ) B.? ?x=8φ -3sin φ , ? ?y=8-3cos φ ? ? ?x=3φ -8sin φ , ?y=3-8cos φ ? ?x=8?φ -sin φ ?, ? ?y=8?1-cos φ ? ? ? ?x=3?φ -sin φ ?, ?y=3?1-cos φ ? ? C.? D.? 解析:易知点 M 的轨迹是摆线,圆的半径为 3.故选 C. 答案:C 5.当 φ =2π 时,圆的渐开线? ( ) A.(6,0) C.(6,-12π ) 解析:当 φ =2π 时, ? ?x=6?cos 2π +2π sin 2π ?=6, ? ?y=6?sin 2π -2π ·cos 2π ?=-12π . ? ? ?x=6?cos φ +φ sin φ ? ?y=6?sin φ -φ cos φ ? ? (φ 为参数)上的点是 B.(6,6π ) D.(-π ,12π ) 故选 C. 答案:C 6.半径为 5 的圆的摆线的参数方程为________. 解析:由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为? 为参数). 答案:? ?x=5?φ -sin φ ?, ? ?y=5?1-cos φ ? ? ?x=5?φ -sin φ ?, ? ? ?y=5?1-cos φ ? (φ (φ 为参数) ? ?x=cos φ +φ sin φ , ?y=sin φ -φ cos φ ? 7.已知圆的渐开线的参数方程是? (φ 为参数),则此渐开 π 线对应的基圆的直径是________,当参数 φ = 时对应的曲线上的点的坐标为________. 4 解析:圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为 1, 故直径为 2. π π 2 2π 2 求当 φ = 时对应的坐标只需把 φ = 代入曲线的参数方程, 得 x= + , y= 4 4 2 8 2 - 2π 2π 2 2π ? ? 2 ,由此可得对应的点的坐标为? + , - ?. 8 8 2 8 ? ?2 答案:2 ? 2π 2 2π ? ? 2 + , - ? 8 2 8 ? ?2 2 8.给出直径为 8 的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程. 解析:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系.又圆的直径 为 8,所以半径为 4,从而圆的渐开线的参数方程是 ?x=4cos φ +4φ sin φ , ? ? ? ?y=4sin φ -4φ cos φ (φ 为参数). 以圆周上的某一定点为原点,以定直线所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系, 所以摆线的参数方程为? ?x=4φ -4sin φ , ? ?y=4-4cos φ ? (φ 为参数). 9.求摆线? ? ?x=2?t-sin ?y=2?1-cos ? t?, t? (0≤t≤2π )与直线 y=2 的交点的直角坐标. π 3π 解析:当 y=2 时,有 2(1-cos t)=2,∴t= 或 t= . 2 2 π 当 t= 时,x=π -2; 2 3π 当 t= 时,x=3π +2. 2 ∴摆线与直线 y=2 的交点为(π -2,2),(3π +2,2). [B 组 能力提升] 1.t=π 时,圆的渐开线? A.(-5,5π ) C.(5,5π ) ? ?x=5?cos ?y=5?sin ? t+tsin t?, t-tcos t? 上的点的坐标为( ) B.(-5,-5π ) D.(5,-5π ) 解析:将 t=π 代入参数方程易得 x=-5,y=5π .故选 A. 答案:A 2.已知摆线的参数方程为? 度与高度分别是( A.2π ,2 C.4π ,2 ) B.2π ,4 D.4π ,4 ? ?x=2?φ -sin φ ?, ?y=2?1-cos φ ? ? (φ 为参数),该摆线一个拱的宽 解析:方法一 由摆线参数方程可知,产生摆线的圆的半径 r=2,又由摆线的产生过 程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长为 2π

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