高中数学人教A版选修4-4优化课件:第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介_图文


四 柱坐标系与球坐标系简介 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.理解柱坐标系和球坐标 重点:空间直角坐标与柱坐 系的概念和结构. 标、球坐标的转化关系. 2.掌握空间点的三种坐标 难点:空间一点的球坐标与 的互相转化公式. 其他坐标的互相转化公式. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 1.空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系:在空间选定一点 O,作两两垂直的三条数轴 Ox, Oy,Oz,使∠xOy=135° ,∠yOz=90° ,这就是空间直角坐标系.有 序实数组 (x,y,z) 叫点 P 的直角坐标. (2)柱坐标系:空间直角坐标系 Oxyz 中,设 P 是空间任意一点,它在 Oxy 平面的射影为 Q,用 (ρ,θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标,点 P 的位置可用有序数组 (ρ,θ,z) 表示.这就是柱坐标系.有序数组 (ρ,θ,z) 叫点 P 的柱坐标.其中 ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞. __________ (3)球坐标系:空间直角坐标系 Oxyz 中,设 P 是空间任意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这就是球坐标系.有序数组(r,φ,θ) 叫作点 P 的球坐标.其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. 2.点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),则 空间直角坐标(x,y,z) 柱坐标 (ρ,θ,z) 球坐标 (r,φ,θ) 转换公式 ρcos θ , ?x=_______ ? ρsin θ , ?y=_______ ?z=z ? rsin φcos θ ?x=____________ ? rsin φsin θ ?y=___________ ?z= rcos φ ? [双基自测] 1.点 M ? ? π 的柱坐标为?1,2,8?,则它的直角坐标为( ? ? ) A.(0,1,8) C.(-1,0,8) 解析:设 M 的直角坐标为(x,y,z), π ? ?x=1×cos2, ? π 则? ?y=1×sin2, ? ?z=8, ?x=0, ? ∴?y=1, ?z=8, ? B.(1,0,8) D.(0,-1,8) 故选 A. 答案:A 2.空间直角坐标系 Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面 yOz 内的是( ? π ? A.?1,2,2? ? ? ? π π? C.?3,4, 6 ? ? ? ? ? π B.?2,3,0? ? ? ? π π? D.?3,6, 2 ? ? ? ) π 解析:由点 P 的柱坐标(ρ,θ,z)知,当 θ= 时,点 P 在平面 yOz 内,故选 A. 2 答案:A 3.直角坐标系中的点(2,2,2)关于 z 轴对称的点的柱坐标为( ? A.?2 ? ? C.?2 ? ? 3π 2, ,2? 4 ? ? B.?2 ? ? π 2, ,2? 4 ? ) ? ? ? 5π 7π 2, ,2? D.?2 2, 4 ,2? 4 ? ? ? 解析:(2,2,2)关于 z 轴的对称点为 M(-2,-2,2),设 M 的柱坐标为(ρ,θ,z),则 ?-2=ρcos θ, ? 有?-2=ρsin θ, ?z=2, ? 2 2 2 y 5π 可得 tan θ= =1,因点 M 在第Ⅲ卦限,所以解得 θ= ,ρ= x 4 2 x +y = ?-2? +?-2? =2 2,所以点 M ? 的柱坐标为?2 ? ? 5π 2, ,2?. 4 ? 答案:C 4 .已知 M ________. ? π 3 ? 的球坐标为 ?4, , π? ,则它的直角坐标为 ________ ,它的柱坐标为 4 4 ? ? 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), π 3 π 3 则 x=4sin cos π=-2,y=4sin sin π=2, 4 4 4 4 π z=4cos =2 2, 4 故点 M 的直角坐标为(-2,2,2 2), ? 柱坐标为?2 ? ? 3 2, π,2 2?. 4 ? 答案:(-2,2,2 2) ? ?2 ? ? 3 2, π,2 2? 4 ? 探究一 直角坐标与柱坐标的互化 [例 1] 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标: ? ? ? 5π (1)?2, 6 ,3?;(2)? ? ? ? ? π 2, ,5?. 4 ? [解析] 设点的直角坐标为(x,y,z). ? ? 5π (1)∵(ρ,θ,z)=?2, 6 ,3?, ? ? 5π ? x = ρ cos θ = 2cos =- 3, ? 6 ? 5π ∴? ?y=ρsin θ=2sin 6 =1, ? ?z=3, ∴(- 3,1,3)为所求点的直角坐标. ? (2)∵(ρ,θ,z)=? ? ? π 2, ,5?, 4 ? π ? ?x=ρcos θ= 2cos4=1, ? π ∴? y = ρ sin θ = 2sin =1, ? 4 ? ?z=5, ∴(1,1,5)为所求点的直角坐标. 直角坐标与柱坐标的互化 点(ρ,θ,z)是三维空间坐标中的点的柱坐标,在平面 xOy 中实际为极坐标, 且 ρ≥0,0≤θ<2π,在竖直方向上 z 为任意实数.化点的柱坐标(ρ,θ,z)为直 ?x=ρcos θ, ? 角坐标(x,y,z),需要运用?y=ρsin θ, ?z=z. ? 1.设点 A 的直角坐标为(1, 3,5),求它的柱坐标. ?x=ρcos θ, ? 2 2 2 解析:由公式?y=ρsin θ,得ρ =x +y , ?z=z, ? 即 ρ

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