上海市卢湾区2008年高考模拟考试. 数学试卷


上海市卢湾区 2008 年高考模拟考试 数学试卷
(完卷时间:120 分钟 完卷时间: 满分: 满分:150 分) 2008.04

题号 得分

一 1~12

二 13~16

三 17 18 19 20 21 22

总分

一、填空题: 填空题 (共 48 分,每小题 4 分) 2? x 1.不等式 > 1 的解集为 x+3
n



2 ? ? 2.计算: lim ?1 + . ? = n →∞ ? 3n + 1 ? 3.函数 f ( x) = cos x ? 3 sin x 的单调递减区间为
Sn =




2 4 . 若 {an } 是 一 个 以 2 为 首 项 , ?2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和

5.函数 f ( x) = 2 x +1 ? 1 ( x > 0 )的反函数 f ?1 ( x) =



6.已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为它的短轴的一个端点,若该椭圆的长轴长为 4 ,则△

AF1 F2 面积的最大值为


A1 B1
E

7.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 为 A1C1 与 B1 D1 的 交点, F 为 DD1 的中点,则直线 EF 与直线 BC 所成角的大小 为 (用反三角函数值表示) .

D1 C1
F

π? ? 8.(理) 在极坐标系中,直线 ρ cos ? θ ? ? = 3 与直线 ρ sin θ = 3 3? ? 交点的极坐标为 .
(文)若某工程由下列工序组成,则该工程总时数为 工 序 紧前工序 工时数(天)

A B

D C

(第 7 题) 天.

a


b


c a、b 2

d c 5

e c 4

f d、e 1

2

3

9.若平面向量 a = ( x, y ) ,b = ( x 2 , y 2 ) ,c = (2, 2) ,d = (1,1) ,则满足 a ? c = b ? d = 1 的向量 a 共 有 个. (用分数表示) . 10.若 A 、 B 、C 、 D 、 E 五人随机地乘坐两辆出租车,每辆车最多能乘坐 4 人,则 A 、 B 、

C 在同一辆车, D 、 E 在另一辆车上的概率为

11.定义:若对定义域 D 上的任意实数 x 都有 f ( x) = 0 ,则称函数 f ( x) 为 D 上的零函数 零函数.根 零函数
第 1 页共 9 页

据以上定义, f ( x) 是 D 上的零函数或 g ( x) 是 D 上的零函数”为“ f ( x) 与 g ( x) 的积函 “ 数是 D 上的零函数”的 个内角从大到小依次可以为 二、选择题: 选择题 (共 16 分,每小题 4 分) 13.已知集合 A 、 B ,若 A 不是 B 的子集,则下列命题中正确的是 ……………( (A) 对任意的 a ∈ A ,都有 a ? B ; (C) 存在 a0 ,满足 a0 ∈ A , a0 ? B ; (B) 对任意的 b ∈ B ,都有 b ∈ A ; (D) 存在 a0 ,满足 a0 ∈ A , a0 ∈ B . ) 条件. (写出满足题设的一组解) . 12.若△ ABC 的三个内角的正弦值分别等于△ A′B′C ′ 的三个内角的余弦值,则△ ABC 的三

14.若方程 x 2 cos α ? y 2 sin α + 2 = 0 所表示的曲线为双曲线,则圆 x 2 + y 2 + 2 x cos α

?2 y sin α = 0 的圆心在 …………………………………………………………(
(A) 第一或第三象限; (C) 第一或第二象限; 15.函数 f ( x) = 2|log2 x| ? x ?
y y



(B) 第二或第四象限; (D) 第三或第四象限.

1 的图像为 …………………………………………( x
y y



1
O

1 1
x

1 1
x

1 1
x

O

O

O

1

x

(A)

(B)

(C)

(D)

16. f ( x) 为定义在 R 上的函数, f (10 + x) = f (10 ? x) , f (20 ? x) = ? f (20 + x) , f ( x) 若 且 则 为 ………………………………………………………………………( (A) 奇函数且周期函数; (C) 偶函数且周期函数; 三、解答题: 解答题 (本大题共 86 分) 17. (本题 12 分) 已知 z ∈ C ,且 z ? i = z + 2 + 3i ( i 为虚数单位) ,求 (B) 奇函数且非周期函数; (D) 偶函数且非周期函数. )

z . 2+i

18. (本题 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 图 1 是某储蓄罐的平面展开图,其中 ∠GCD
第 2 页共 9 页 C G

F E

D

B

A

= ∠EDC = ∠F = 90° ,且 AD = CD = DE = CG , FG = FE .若将五边形 CDEFG 看成底面, AD 为
高,则该储蓄罐是一个直五棱柱. (1) 图 2 为面 ABCD 的直观图,请以此为底面 将该储蓄罐的直观图画完整; (2) 已知该储蓄罐的容积为 V = 1250cm3 ,求制作 该储蓄罐所需材料的总面积 S (精确到整数位,材料厚 度、接缝及投币口的面积忽略不计) .

C

D

B

图2

A

19. (本题 14 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分)
3 3 0 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 可用组合数表示为 Sn = Cn + 3 ? Cn + 2 + Cn .

(1) 求数列 {an } 的通项公式;

?S ? (2) 若 f (n) 为关于 n 的多项式,且满足 lim ? n ? f ( n) ? = 2 ,求 f (n) 的表达式. n →∞ a ? n ?

20. (本题 14 分,第(1)小题 10 分,第(2)小题 4 分) 已知锐角三角形 ABC 的三边为连续整数,且角 A 、 B 满足 A = 2 B . (1) (理)求角 B 的取值范围及△ ABC 三边的长;
第 3 页共 9 页

(文)当

π π < B < 时,求△ ABC 的三边长及角 B (用反三角函数值表示) ; 5 4

(2) 求△ ABC 的面积 S .

21. (本题 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) 已知函数 f ( x) =

3x 3(a ? 1) + ( a ≠ 0 且 a ≠ 1) . a x

(1) 试就实数 a 的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
第 4 页共 9 页

(2) 已知当 x > 0 时,函数在 (0, 6) 上单调递减,在 ( 6, +∞) 上单调递增,求 a 的值并写 出函数的解析式; (3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线 C ,试问是否存在经过原点的直线 l ,使得 l 为曲 线 C 的对称轴?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由. (文) 记(2)中的函数的图像为曲线 C ,试问曲线 C 是否为中心对称图形?若是,请 求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.

22. (本题 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 9 分,第(3)小题 5 分) (1) 已知动点 P ( x, y ) 到点 F (0,1) 与到直线 y = ?1 的距离相等,求点 P 的轨迹 L 的方程; (2) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ( x1 < 0 ≤ x2 < x3 )在(1) 中的曲线 L 上,设 BC 的斜率为 k , l =| BC | ,求 l 关于 k 的函数解析式 l = f ( k ) ;
第 5 页共 9 页

(3) (理)求(2)中正方形 ABCD 面积 S 的最小值. (文)由(2),求当 k = 2 时正方形 ABCD 的顶点 D 的坐标.

上海市卢湾区 2008 年高考模拟考试 数学试卷答案及评分标准
一、填空题: 填空题 (共 48 分,每小题 4 分) 2 ? 1? π 2π ? ? 1. ? x ?3 < x < ? ? 2. e 3 3. ? 2k π ? , 2k π + (k ∈Z) 2? 3 3? ? ? ? 5. log 2 ( x + 1) ? 1 ( x > 1) 6.2 7. arctan 2 (或 arccos 10. 4.

4(4n ? 1) 3

3 ) 3

2π ? ? 8. (理) ? 2 3, ? , (文)11 9. 2 3 ? ? 3π π 12. ,另两角不惟一,但其和为 4 4
二、选择题: 选择题 (共 16 分,每小题 4 分) 13.C 14.B 15.D

1 15

11.充分非必要

16.A

三、解答题: 解答题 (本大题共 86 分) 17.设 z = x + yi ( x , y ∈ R ) ,

? x 2 + y 2 = x + 2, ? 代入得 x 2 + y 2 ? i = x ? yi + 2 + 3i ,即 ? ??1 = ? y + 3, ? ? x = 3, 解得 ? 故 z = 3 + 4i , ? y = 4,

(4 分)

(8 分) (12 分)

z 3 + 4i = = 2+i. 2+i 2+i 18.(1) 该储蓄罐的直观图如右图所示.
因此

(4 分)
G

F E

5 (2) 若设 AD = a ,则五边形 CDEFG 的面积为 a 2 , 4 5 3 得容积 V = a = 1250 ,解得 a = 10 , (8 分) 4 1 其展开图的面积 S = 5a 2 + a 2 + 2a 2 = 50(11 + 2 2) ≈ 691 , B 2
因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为 691 cm 2 .
3 3 0 19.(1) Sn = Cn + 3 ? Cn + 2 + Cn =

C
A

D

(12 分) (3 分)

n + 3n + 4 , 2
2

当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = n + 1 ,当 n = 1 时, a1 = S1 = 4 ,

第 6 页共 9 页

n = 1, ?4 因此 an = ? ? n + 1 n ≥ 2.

(7 分)

?S ? ? n 2 + 3n + 4 ? n 2 + 3n + 4 ? 2(n + 1) f (n) (2) lim ? n ? f (n) ? = lim ? ? f (n) ? = lim , n →∞ a 2(n + 1) ? n→∞ ? n ? n →∞ ? 2(n + 1)
(9 分) 由题设 lim

n 2 + 3n + 4 ? 2(n + 1) f (n) = 2 ,由于当多项式 f (n) 中 n 的最高次数大于或 n →∞ 2(n + 1)

等于 2 时,极限不存在,故可设 f (n) = an + b ,

?1 ? 2a = 0, (1 ? 2a )n 2 + (3 ? 2b ? 2a )n + 4 ? 2b ? 代入得 lim = 2 ,即 ? 3 ? 2b ? 2a (12 分) n →∞ 2n + 2 = 2, ? ? 2
解得 a =

1 1 , b = ?1 ,因此 f (n) = n ? 1 . 2 2

(14 分)

20. (理)(1) 设△ ABC 的三边为 n ? 1 , n , n + 1 ( n ≥ 3 , n ∈ N ) ,由题设 C = π ? 3B , π π π π 由题意 0 < A < ,0 < C < ,A ≠ C , 0 < 2 B < ,0 < π ? 3B < ,2 B ≠ π ? 3B , 即 2 2 2 2 ?π π? ?π π? 得 B ∈? , ? ∪ ? , ? . (4 分) ?6 5? ?5 4? π π π 2π 2π π ① 当 < B < 时, < 2 B < , < π ? 3B < ,得 C > A > B ,故角 B 所对的 6 5 3 5 5 2 边为 n ? 1 ,角 A 所对的边为 n ,于是有

n ?1 n n 2 + (n + 1)2 ? (n ? 1) 2 n = ,得 cos B = ,又 cos B = , sin B sin 2 B 2(n ? 1) 2n ? (n + 1) n 2 + (n + 1) 2 ? (n ? 1)2 n = ,解得 n = 2 ,舍去; (7 分) 2(n ? 1) 2n ? (n + 1) π π 2π π π 2π ② 当 < B < 时, < 2 B < , < π ? 3B < ,得 A > C > B ,故角 B 所对的 5 4 5 2 4 5 边为 n ? 1 ,角 A 所对的边为 n + 1 ,于是有


n 2 + (n + 1)2 ? (n ? 1) 2 n ?1 n +1 n +1 = ,得 cos B = ,又 cos B = , sin B sin 2 B 2(n ? 1) 2n ? (n + 1)


n 2 + (n + 1) 2 ? (n ? 1)2 n +1 = ,解得 n = 5 , 2(n ? 1) 2n ? (n + 1)
(10 分)

故△ ABC 的三边长为 4 , 5 , 6 .
第 7 页共 9 页

3 7 1 15 7 ,故 sin B = ,因此 S = ac sin B = . (14 分) 4 4 2 4 (文) 设△ ABC 的三边为 n ? 1 , , + 1 n ≥ 3 , ∈ N )由题设 C = π ? 3B , (1) n n ( n , 由 π π 2π π π 2π 题意 < B < ,得 < A < ,可得 < C < , 5 4 5 2 4 5 从而 A > C > B ,得角 B 所对的边为 n ? 1 ,角 A 所对的边为 n + 1 , (4 分)
(2) 由(1)中的②得 cos B = 故有

n ?1 n +1 n 2 + (n + 1)2 ? (n ? 1) 2 n +1 = ,得 cos B = ,又 cos B = , 2n(n + 1) sin B sin 2 B 2(n ? 1)



n +1 n 2 + (n + 1) 2 ? (n ? 1)2 ,解得 n = 5 , = 2( n ? 1) 2n(n + 1)
(7 分) (10 分) (14 分)

故△ ABC 的三边长为 4 , 5 , 6 , 得 cos B = (2) 由 sin B =

3 3 ,从而 B = arc cos . 4 4 7 1 15 7 ,得 S = ac sin B = . 4 2 4

21.(1) ①当 a < 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? a (a ? 1),0) 及 (0, a (a ? 1)) , ②当 0 < a < 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?∞,0) 及 (0, +∞) , ③当 a > 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?∞, ? a (a ? 1)) 及 ( a (a ? 1), +∞) . (6 分) (2) 由题设及(1)中③知 a(a ? 1) = 6 且 a > 1 ,解得 a = 3 , 因此函数解析式为 f ( x) = (9 分) (10 分)

3x 2 3 + ( x ≠ 0) . 3 x

(3) (理)假设存在经过原点的直线 l 为曲线 C 的对称轴,显然 x 、 y 轴不是曲线 C 的 , 对称轴,故可设 l : y = kx ( k ≠ 0 ) 设 P ( p, q ) 为曲线 C 上的任意一点, P′( p′, q′) 与 P ( p, q ) 关于直线 l 对称,且 q + q′ p + p′ q ? q′ 1 p ≠ p′ , q ≠ q′ ,则 P′ 也在曲线 C 上,由此得 =k , =? , 2 2 p ? p′ k 且q =

p 3

+

2 3 p′ 2 3 , q′ = , + p p′ 3

(14 分)

1 2 3 = ,解得 k = 3 或 k = ? , k 3 3 3 所以存在直线 y = 3x 及 y = ? x 为曲线 C 的对称轴. (16 分) 3 (文)该函数的定义域 D = (?∞,0) ∪ (0, +∞) ,曲线 C 的对称中心为 (0,0) ,
整理得 k ?

第 8 页共 9 页

? 3x 3x 3(a ? 1) 3(a ? 1) ? + = ?? + ? = ? f ( x) , a ?x x ? a ? 所以该函数为奇函数,曲线 C 为中心对称图形. (10 分)
因为对任意 x ∈ D , f (? x) = ? 22.(1) 由题设可得动点 P 的轨迹方程为 x 2 = 4 y . (2) 由(1),可设直线 BC 的方程为: y = k ( x ? x2 ) + (4 分)

x (k > 0) , 4

2 2

? x2 ? y = k ( x ? x2 ) + 2 , 2 2 4 消 y 得 x ? 4kx ? x2 + 4kx2 = 0 , ? ? x2 = 4 y, ?
易知 x2 、 x3 为该方程的两个根,故有 x2 + x3 = 4k ,得 x3 = 4k ? x2 , 从而得 | BC |= 1 + k 2 ( x3 ? x2 ) = 2 1 + k 2 (2k ? x2 ) , (7 分)
2 2

1 x 类似地,可设直线 AB 的方程为: y = ? ( x ? x2 ) + , k 4
从而得 | AB |=

2 1+ k2 (2 + kx2 ) , k2 由 | AB |=| BC | ,得 k 2 ? (2k ? x2 ) = (2 + kx2 ) ,
解得 x2 =

(9 分)

2(k 3 ? 1) , k2 + k 4 1 + k 2 (k 2 + 1) (k > 0) . k (k + 1)
4 1 + k (k + 1) ≥ k (k + 1)
2 2

(11 分) (13 分)

l = f (k ) =

(3) (理)因为 l = f ( k ) =

4?

(1 + k )2 ? 2k 2 =4 2, k ( k + 1)

所以 S = l 2 ≥ 32 ,即 S 的最小值为 32 ,当且仅当 k = 1 时取得最小值. (18 分)

? 7 49 ? ? 17 289 ? (文)由(2)及 k = 2 可得点 B 、 C 、 A 的坐标分别为, B ? , ? , C ? , ?, ? 3 36 ? ? 3 36 ?
409 ? ? 13 169 ? ? A? ? , ? ,所以 D ? ?1, ?. 36 ? ? 3 36 ? ?
(18 分)

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