高考文科数学训练题练习题:天天练 17


天天练 17 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③若 λa=0 (λ 为实数),则 λ 必为零; ④已知 λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正 确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的 模均为实数,故可以比较大小.③错误.当 a=0 时,不论 λ 为何值, λa=0;④错误.当 λ=μ=0 时,λa=μb,此时,a 与 b 可以是任意向 量. 2.(2018· 海淀模拟)下列说法正确的是( ) A.长度相等的向量叫做相等向量 B.共线向量是在同一条直线上的向量 C.零向量的长度等于 0 → ∥CD → 就是AB → 所在的直线平行于CD → 所在的直线 D.AB 答案:C 解析:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故 A 不正确; 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量, 但共线向量不一定在同一 → ∥CD → 时,AB → 所在的直 条直线上,故 B 不正确;显然 C 正确;当AB → 所在的直线可能重合,故 D 不正确. 线与CD 3. (2018· 四川成都七中一诊)已知点 O, A, B 不在同一条直线上, → =2OA → +BA → ,则( 点 P 为该平面上一点,且 2OP ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 答案:B → =2OA → +BA → ,∴2OP → -2OA → =BA → ,即 2AP → =BA →, 解析:∵2OP

∴点 P 在线段 AB 的反向延长线上.故选 B.

4.(2018· 河南中原名校质检三)如图,已知在△ABC 中,D 为边 →= BC 上靠近 B 点的三等分点,连接 AD,E 为线段 AD 的中点.若CE → +nAC → ,则 m+n=( mAB ) 1 1 A.-3 B.-2 1 1 C.-4 D.2 答案:B → =AB → +BD → =AB → +1BC → =AB → +1(AC → -AB → )=2 解析:依题意得AD 3 3 3 2→ 1→? → +1AC →, → =CA → +AE → =CA → +1AD → =-AC → +1? → ? AB +3AC?=-AC AB ∴ CE 3 2 2?3 ? 1→ 1→ 1→ 5→ → =mAB → +nAC → ,∴m=1,n=-5,∴m +3AB +6AC=3AB-6AC.∵CE 3 6 1 5 1 +n=3-6=-2.故选 B. → =3e + 5.(2018· 资阳二模)设 e 与 e 是两个不共线的向量,AB
1 2 1

→ =ke +e ,CD → =3e -2ke ,若 A,B,D 三点共线,则 k 的 2e2,CB 1 2 1 2 值为( ) 9 4 A.-4 B.-9 3 8 C.-8 D.-3 答案:A 解析:由题意,A,B,D 三点共线,故必存在一个实数 λ,使得 → =λBD → .又AB → =3e +2e ,CB → =ke +e ,CD → =3e -2ke ,所以BD →= AB
1 2 1 2 1 2

→ -CB → =3e -2ke -(ke +e )=(3-k)e -(2k+1)e ,所以 3e +2e CD 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ?3=λ?3-k?, 9 =λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,所以? 解得 k=-4. ?2=-λ?2k+1?, ? 6.(2018· 太原二模)设 D,E,F 分别为△ABC 三边 BC,CA,AB → +EB → +FC → =( 的中点,则DA ) 1→ 1→ A.2DA B.3DA

1→ C.4DA D.0 答案:D 解析:因为 D,E,F 分别为△ABC 三边 BC,CA,AB 的中点, → +EB → +FC → =1(BA → +CA → )+1(AB → +CB → )+1(AC → +BC → )=1(BA →+ 所以DA 2 2 2 2 → )+1(CB → +BC → )+1(CA → +AC → )=0,故选 D. AB 2 2 7.(2018· 辽宁联考)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是 1→ 1→ →? → =1? ? OA ?,则 P 一定为 + OB + 2 OC △ABC 的重心,动点 P 满足OP 2 3?2 ? △ABC 的( ) A.AB 边中线的三等分点(非重心) B.AB 边的中点 C.AB 边中线的中点 D.重心 答案:A 1→ 1→ →? → =1? ? OA ? + OB + 2 OC 解析: 如图所示, 设 AB 的中点是 E, 则OP 2 3?2 ? 1 → =3(OE +

→ ).∵O 是△ABC 的重心,∴2EO → =OC →, 2OC → =1(OE → +4EO → )=EO → ,∴点 P 在 AB 边的中线上,是中线的 ∴OP 3 三等分点,不是重心.故选 A. 8.(2018· 河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC 的外接圆的 → +4OB → +5OC → =0,则△ABC 的面积 半径为 1,圆心为点 O,且 3OA 为( ) 8 7 A.5 B.5 6 4 C.5 D.5 答案:C

→ |=|OB → |=|OC → |=1.由 3OA → +4OB → +5OC → =0 解析:由题意,得|OA → +4OB → =-5OC →, →· → =0.同理, → +4OB →+ 得 3OA 两边平方得OA OB 由 3OA

→ =0 得 3OA → +5OC → =-4OB → 和 4OB → +5OC → =-3OA →, 5OC →· → =-3和OB →· → =-4. 两个式子分别平方可得OA OC OC 5 5 3 4 4 所以 cos∠AOC=-5, cos∠BOC=-5, sin∠AOC=5, sin∠BOC 3 1 1 3 1 4 6 =5,所以 S=2×1×1+2×1×1×5+2×1×1×5=5. 二、填空题 9. 已知 a 与-b 是两个不共线的向量, 且向量 a+λb 与-(b-3a) 共线,则实数 λ 的值为________. 1 答案:-3 解析:因为 a+λb 与-(b-3a)共线,所以存在实数 μ,使 a+λb 1 ? μ = ? 3, ? ?1=3μ, =μ(3a-b),即? 所以? 1 ?λ=-μ, ? ? λ =- ? 3. 10.(2018· 盐城一模)在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分线交 1→ → (λ∈R),则 AD 的长为 BC 于点 D,若 AB=4,且 AD=4AC +λAB ________. 答案:3 3

1 3 解析:因为 B,D,C 三点共线,所以4+λ=1,解得 λ=4,如图, → =1AC → 过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB, AC 于点 M, N, 则AN 4 , → =3AB → AM 4 ,经计算得 AN=AM=3,AD=3 3.

→ ,OB → ,OC → 的模分别为 1,1, 11.如图,在同一个平面内,向量OA → 与OC → 的夹角为 α, → 与OC → 的夹角为 45° →= 2, OA 且 tan α=7, OB .若OC → +nOB → (m,n∈R),则 m+n=________. mOA 答案:3

解析:本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及 其应用等知识. 解法一:∵tanα=7,α∈[0,π], 2 7 2 ∴cosα= 10 ,sinα= 10 , →· → 2 OA OC → → ∵OA与OC的夹角为 α,∴ 10 = , → → |OA||OC| → = m OA → + n OB → , | OA → | = | OB → | = 1 , | OC → |= 2,∴ 2= ∵ OC 10 →· → m+nOA OB ,① 2 → 与OC → 的夹角为 45° 又∵OB , →· → +n →· → mOA OB 2 OB OC ∴2= = ,② → ||OC →| 2 |OB 2 2 又 cos∠AOB=cos(45° +α)=cosαcos45° -sinαsin45° = 10 × 2 - 7 2 2 3 × =- 10 2 5, 3 →· → =|OA → |· → |· ∴OA OB |OB cos∠AOB=-5, 3 1 3 将其代入①②得 m-5n=5,-5m+n=1, 2 2 6 两式相加得5m+5n=5,所以 m+n=3. 解法二:过 C 作 CM∥OB,CN∥OA,分别交线段 OA,OB 的延 长线于点 M,N, → =mOA → ,ON → =nOB →, 则OM 由正弦定理得 →| →| →| |OM |OC |ON = = , sin45° sin?135° -α? sinα → |= 2, ∵|OC 7 2 2 由解法一知,sinα= 10 ,cosα= 10 , 1 5 → |= 2sin45° = ∴|OM =4, sin?135° -α? sin?45° +α?

7 2 2× 10 2sinα 7 → |= |ON = =4, sin?135° -α? sin?45° +α? → =mOA → +nOB → =OM → +ON → ,|OA → |=|OB → |=1, 又OC 5 7 ∴m=4,n=4,∴m+n=3. 三、解答题 → =1OA → ,OD → =1OB → 12.如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 ,AD 与 BC → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. 相交于点 M,设OA

→ =ma+nb, 解:设OM → =OM → -OA → =ma+nb-a=(m-1)a+nb, 则AM → =OD → -OA → =1OB → -OA → =-a+1b. AD 2 2 → 与AD → 共线. 又∵A,M,D 三点共线,∴AM → =tAD →, ∴存在实数 t,使得AM 1 ? ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?.
? ?

1 ∴(m-1)a+nb=-ta+2tb.

?m-1=-t, ∴? t n = ? 2,

消去 t 得 m-1=-2n,

即 m+2n=1.① 1? → =OM → -OC → =ma+nb-1a=? ?m- ?a+nb, 又∵CM 4? 4 ? → =OB → -OC → =b-1a=-1a+b. CB 4 4 → 与CB → 共线. 又∵C,M,B 三点共线,∴CM → =t CB →, ∴存在实数 t1,使得CM 1 1? ? ? 1 ? ∴?m-4?a+nb=t1?-4a+b?, ? ? ? ?

?m-1=-1t1, 4 4 ∴? ?n=t1,

消去 t1 得 4m+n=1.②

1 3 → =1a+3b. 由①②得 m=7,n=7,∴OM 7 7


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