17学年高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大版选修2_2_图文


阶 段 一

阶 段 三

§4.2

微积分基本定理
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解微积分基本定理的含义.(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)

[基础· 初探] 教材整理 微积分基本定理

阅读教材 P82~P84,完成下列问题. 1.微积分基本定理
b 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F′(x),则有? ? f(x)dx ?
?

a

=F(b)-F(a).

2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则

(1) 图 421
b S (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图 421(1),则? . ? f(x)dx= 上 ?
?

a

b (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图 421(2),则? . ? f(x)dx= -S下 ?
?a

(2) 图 421

(3)

b (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时, 如图 421(3), 则? ? f(x)dx ?
?

a

b = S上-S下 ,若 S 上=S 下,则? . ? f(x)dx= 0 ?
?

a

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)微积分基本定理中,被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数.( )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取原函数的常 数项为 0.( )

(3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连 续函数.( )

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√

2π 2.? ? (-sin x)dx 等于( ?
?0

) B.2 D.4
?2π x? ? =cos ?0

A.0 C.-2

【解析】

?2π ? ? ?0

(-sin x)dx=cos

2π-cos 0=0.

【答案】 A

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

[小组合作型]

利用微积分基本定理求定积分
计算下列定积分.
x 2 2 ?0 (1)? ( cos x - e )dx; ? (x +2x+3)dx;(2)? ? ?
?1 ?-π

2 2 x +x+1 ?2 (3)? dx;(4) ? x ? 1

?π ?2 ?0

sin 2dx.

2x

【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数 F(x),然后利用微积分 基本定理求解;(3)、(4)则需先对被积函数变形,再利用微积分基本定理求解.

【自主解答】

2 2 (1)? ? (x +2x+3)dx ?
?

1

2 2 ?2 ?2 =? ? x dx+? 2xdx+? 3dx ? ? ?
?

1

?

1

?

1

? ? x3? 25 ? ? 2? = ? +x ? +3x? = . 3 ?1 3 ?1 ?1
0 x x ?0 ?0 (2)? ( cos x - e ) dx = cos xdx - e dx ? ? ? ? ? ?
?-π ?-π ?-π

2

2

2

=sin

?0 ?0 1 ? x? x? -e ? =eπ-1. ?-π ?-π

2x2+x+1 1 1 2 (3) =2x+1+x ,而(x +x+ln x)′=2x+1+x . x
2 ?2 2 x + x + 1 ? 2 2 ∴? dx = ( x + x + ln x ) ? ? =4+ln 2. ? x ?1 ? 1
π (4)原式=? ?2 ? ?0

1 1?π 2 (1-cos x)dx 2(1-cos x)dx=2? ?
?0

π ?π 1?π 1?π x? sin x ? ?2 = ?21dx- ?2cos xdx= ?2- 2? 2? 2 2 ? ? ?0 ?0 ?0 0

π-2 = 4 .

求简单的定积分应注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数, 当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

[再练一题] x-1 1. x2 dx=________.
?2 ? ? ?1

【解析】
? =?ln ? ? =?ln ?

?2 ? ? ?1

?1 x-1 1? ?2? - 2?dx 2 dx=? x ? ? x? x ?
1

2 1?? ? x+x ?? ??0

1? 1 ? 2+2 -(ln 1+1)=ln 2- . 2 ?

1 【答案】 ln 2-2

求分段函数的定积分
计算下列定积分. π ? ?sin x,0≤x<2, ? 4 π (1)f(x)=? 求? ? f(x)dx; ? ? ?1,2≤x≤2, 0 ? ?x-1,2<x≤4,
2 2 (2)? ? |x -1|dx. ?
?0

【精彩点拨】 (1)按 积分,再求和.

? ? π? ?π f(x)的分段标准,分成?0,2?,?2,2?,(2,4]三段求定 ? ? ? ?

(2)先去掉绝对值号,化成分段函数,再分段求定积分.

【自主解答】

4 ?π ?4 ? (1)? ? f(x)dx=? sin xdx+ 21dx+? (x-1)dx ? ? ?
?

0

?2 ?0


2

?

2

2 π ? ? ?1 ?4 ? ? ? =(-cos x)?2+x?π+?2x2-x?? ? ?? ?2 ?0 ?2

? π? π ? ? =1+ 2-2 +(4-0)=7-2. ? ?
2 2 2 2 ?1 ?2 (2)? ? |x -1|dx=? (1-x )dx+? (x -1)dx ? ? ?
?0 ?0 ?1

1 ?2 ? ? ? 1 3?? 1 ? 3 ? ? x - x =?x-3x ?? + =2. ? ? 3 ? ??0 ? ??1

1.本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号,可先求函数 f(x)的零点,结合积分 区间,分段求解. 2.分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成 n 段定积分和的形式,分段的标 准可按照函数的分段标准进行. 3.带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.

[再练一题]
3 2.计算定积分:? (|2x+3|+|3-2x|)dx. ? ?
?-3

【解】

设f(x)=|2x+3|+|3-2x|,x∈[-3,3], ? ?-4x,-3≤x<-3, 2 ? ? 3 3 则f(x)=?6,-2≤x≤2, ? ? 3 4x,2<x≤3. ? ? 所以
?3 ? ? ?- 3

3 ?3 ? (|2x+3|+|3-2x|)dx=? 2(-4x)dx+?2 6 ? ? ?-3 ?3

dx+? ? 4x dx
3

-

?3 ?
2

2

3 3 ? 3 ?? ?9 ? ?3 3? ? 9? ?2 2? 2 2? =-2x ? +6x? 3+2x ?3=-2×?4-9?+6×?2+2?+2×?9-4?=45. ? ? ? ? ? ? -2 2 ?-3 ? ?

[探究共研型]

利用定积分求参数
探究 1 满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x)唯一吗? 【提示】 不唯一,它们相差一个常数,但不影响定积分的值. 探究 2 如何求对称区间上的定积分?

【提示】

在求对称区间上的定积分时,应首先考虑函数性质和积分的性

质,使解决问题的方法尽可能简便.

(1)设函数 f(x)=ax +c(a≠0),若 x0 的值;

2

?1 ? ? ?0

f(x)dx

=f(x0),0≤x0≤1,求

(2)已知 f(x)是一次函数,其图像过点(3,4),且 式.

?1 ? ? ?

0

f(x)dx =1,求 f(x)的解析

【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分 关于 x0 的方程,求出 x0 的值. (2)设出 f(x)的解析式,再根据已知条件列方程组求解.

?1 ? ? ?0

f(x)dx ,然后列出

【自主解答】

(1)因为f(x)=ax2+c(a≠0),

?a 3 ? 且?3x +cx?′=ax2+c, ? ? ?1 a ? ? a 3 ? 2 2 1 ?1 所以? ? f(x)dx=? (ax +c)dx=? x +cx?? = +c=ax0+c, ? ? ?3 ??0 3 ? ?
0 0

3 3 解得x0= 或x0=- (舍去). 3 3

(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为 f(x)=kx+b(k≠0). ∵函数图像过点(3,4),∴3k+b=4.
1 ?k 2 ?? k ? ?1 ?1 ∵? f(x)dx=? (kx+b)dx=?2x +bx?? =2+b, ? ? ? ??0 ? ?



0

0

k ∴ +b=1. 2 6 2 由①②得,k=5,b=5, 6 2 ∴f(x)=5x+5.



1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. 2.计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与 积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念.

[再练一题]
2 k 3.已知? ? (2x-3x )dx=0,则 k 等于( ?
?

)

0

A.0 C.0 或 1

B.1 D.以上都不对

【解析】 =k2-k3,

2 2 3 k ∵? ? (2x-3x )dx=(x -x ) ?
?0

?k ? ? ?0

∴k2-k3=0, 解得k=1或k=0(舍去),故选B.

【答案】 B

[构建· 体系] ?— 定理 ? ? 微积分基本定理 —?— 定积分的计算 ?— 定积分的几何意义 ?

1.下列定积分的值等于 1 的是(
1 A.? ? xdx ?
?

)
1 B.? ? (x+1)dx ?
?

0

0

C. 1dx

?1 ? ? ?0

1 D. 2dx
?1 ? ? ?0

【解析】

选项
1

?x2? A,因为? 2 ?′=x, ? ?

2? x 1 ? ?1 所以? xdx= 2 ? =2; ? ?0 ? 0 1 ?x2 ? ?x2 ?? 3 ? 1 ? B,因为? 2 +x?′=x+1,所以? (x+1)dx=? 2 +x?? = ; ? ? ? ? ??0 2 ? 0

选项

选项 C,因为 选项

?1 ? 1 x′=1,所以? ? 1dx=x? =1; ? ?0 ?
0

1 ? ?1 ? 1 1 1 ? 1 ?1 ? ? D,因为 2x ′= ,所以? dx= x? = . ? 2 2 2 ?0 2 ? ? ? 0

【答案】 C

π ? 2. 2 (sin x+cos x)dx 的值是( ? ?-π 2

)

A.0 C.2
【解析】

π B.4 D.4
?π (sin x+cos x)dx=?π sin xdx+?π cos xdx ?2 ?2 ?2 ?-π ?-π ?-π 2 2 2

?π ?π ?2 ?2 =(-cos x) ? π+sin x? π=2. ?- 2 ?-2

【答案】 C

1 2 3.计算? ? x dx=________. ?
?0

【解析】

?1 1 ?1 3? 1 3? 1 2 由于?3x ?′=x2,所以? ? x dx= x ? = . ? 3 ?0 3 ? ? ?
0

1 【答案】 3

2 4.已知 2≤? ? (kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围为________. ?
?

1

【解析】

2 ?1 2 ?? ?1 ? 3 ? ?2 ? (kx+1)dx=? kx +x?? =(2k+2)-? k+1?= k+1,所以 ? ?2 ??1 ?2 ? 2 ? 1

3 2≤2k

2 +1≤4,解得 ≤k≤2. 3

【答案】

?2 ? ? ,2? ?3 ?

1 2 5.已知 f(x)=ax+b,且? f (x)dx=1,求 f(a)的取值范围. ? ?
?-

1

【解】

1 2 由 f(x)=ax+b,? f (x)dx=1, ? ?
? -1

得 2a2+6b2=3,2a2=3-6b2≥0, 2 2 所以- 2 ≤b≤ 2 , 3 所以 f(a)=a +b=-3b +b+2
2 2

? 1?2 19 =-3?b-6? +12, ? ?

2 19 所以- 2 ≤f(a)≤12.

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