安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题 Word版含答案


安徽省合肥市 2018 届高三第二次教学质量检测 数学文试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 ?1 ? 2i ? ? i ( i 是虚数单位)的虚部是( A. ? 2i B. i C.-2 D.1 )

2.已知集合 M ? ?x | x ? 1 ? , N ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 M A. ? 0,1? B. ? ??,1?
2 2

N ?(
D. ?0,1?



C. ? ??,2?

3.已知圆 C : ? x ? 6 ? ? ? y ? 8 ? ? 4 , O 为坐标原点,则以 OC 为直径的圆的方程为( A. ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 100
2 2



B. ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 100
2 2

C. ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 25
2 2

D. ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 25
2 2

4.在平面直角坐标系中,若角 ? 的终边经过点 P ? sin

? ?

5? 5? , cos 3 3 3 2

? ? ,则 sin ?? ? ? ? ? ( ?



A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

5.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题: “九百九十斤绵,赠分八子做盘缠,次第 每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到 小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( A.174 斤 6.已知函数 f ? x ? ? A. ? B.184 斤 C.191 斤 D.201 斤 ) )

a ? 2x 是奇函数,则 f ? a ? 的值等于( a ? 2x
C. ?

1 3
月份 x

B.3

1 或3 3

D.

1 或3 3

7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表 2 3 16.3 4 17.0 5 17.2 6 18.4

销售额 y (万元) 15.1

? ? 0.75x ? a ? ,据此估计,该公司 7 月份这种型号产品的销售 根据上表可得到回归直线方程 y

额为(

) B.19.25 万元 C.19.15 万元 D.19.05 万元 )

A.19.5 万元

8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 1,则输出的 x 值是(

A.3 或-2

B.2 或-2

C. 3 或-1

D.3 或-1 或-2

9.已知函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? ? ? 相邻两条对称轴间的距离为

3? ,且 2

?? ? f ? ? ? 0 ,则下列说法正确的是( ?2?
A. ? ? 2 C.函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 称

) B.函数 y ? f ? x ? ? ? 为偶函数

? ?

??

上单调递增 2? ?

D.函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?

? 3? ? ,0? 对 ? 4 ?

E 10.在正方体 ABCD ? A 用过点 A ,C ,E 的平面截正方体, 1B 1C1D 1 中, 是棱 A 1B 1 的中点,
则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )

A.

B.

C.

D.

11.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线 C 上的一点, a 2 b2


?PF1F2 ? 15? , ?PF2 F1 ? 105? ,则该双曲线的离心率为(
A. 6 B. 3 C.

2? 6 2

D.

6 2

12.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数, f ? x ? ? 2 ? f ′ ? x ? , f ? 0? ? 1,则不等式

ln ? ? f ? x ? ? 2? ? ? ln 3 ? x 的解集为(
A. ? ??,0? B. ? 0, ???

) C.

? ??,1?

D. ?1, ?? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若命题 p : ?x ? 0 , ln x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为 14.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 .

? ,则 2a ? b ? a ? b ? 3

?

??

?



15.已知四棱锥 P ? ABCD 的侧棱长都相等,且底面是边长为 3 2 的正方形,它的五个顶点 都在直径为 10 的球面上,则四棱锥 P ? ABCD 的体积为 .

16.小李从网上购买了一件商品,快递员计划在 5:00-6:00 之间送货上门.已知小李下班到家 的时间为下午 5:30-6:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,就将商品存放到快递柜中, 则小李需要去快递柜收取商品的概率等于 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知正项等比数列 ?an ? 满足 a3 ? 9 , a4 ? a2 ? 24 .

?Ⅰ ? 求数列 ?an ? 的通项公式; ?Ⅱ? 设 bn ? n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn .
18. 某班级甲、乙两个小组各有 10 位同学,在一次期中考试中,两个小组同学的数学成绩如 下: 甲组:94,69,73,86,74,75,86,88,97,98; 乙组:75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.

?Ⅰ ? 画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图,判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大,并说

明理由;

?Ⅱ? 从这两个小组数学成绩在 90 分以上的同学中,随机选取 2 人在全班介绍学习经验,求选
出的 2 位同学不在同一个小组的概率.

?PAD AB / /CD / / PQ ,AB ? CD , 19. 在多面体 ABCDPQ 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD ,
为正三角形, O 为 AD 中点,且 AD ? AB ? 2 , CD ? PQ ? 1 .

?Ⅰ ? 求证:平面 POB ? 平面 PAC ; ?Ⅱ? 求多面体 ABCDPQ 的体积.
20. 已知椭圆 E :

x2 y 2 1? ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 P ? ? 3, ? ,椭圆 E 的一个焦点为 2 a b 2? ?

?

3, 0 .

?

?Ⅰ ? 求椭圆 E 的方程; ?Ⅱ? 若直线 l 过点 M ? 0,
2 且与椭圆 E 交于 A , B 两点,求 AB 的最大值.
x 2

?

21. 已知函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? ax ( e 是自然对数的底数)

?Ⅰ ? 判断函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由; ?Ⅱ? 若 ?x ? 0 , f ? x? ? ex ? x3 ? x ,求 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x? t ? 2 ? 已知过点 P ? 0, ?1? 的直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在以坐标原点 O 为极 3 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程为 2a sin ? ? ? cos
2

? ? 0 ? a ? 0? .

?Ⅰ ? 求曲线 C 的直角坐标方程; ?Ⅱ? 若直线 l 与曲线 C 分别交于点 M , N ,且 PM
23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 3x ? m . , MN , PN 成等比数列,求 a 的值.

?Ⅰ ? 若不等式 f ? x? ? m ? 9 的解集为 ??1,3? ,求实数 m 的值; ?Ⅱ? 若 m ? 0 ,函数 g ? x? ? f ? x? ? 2 x ?1 的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 60,求 m
的取值范围.

试卷答案 一、选择题 1-5: DACBB 二、填空题 13. ?x ? 0 , ln x ? x ? 1 ? 0 三、解答题 17. ? Ⅰ ? 设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a4 ? a2 ? 24 ,得 9q ? 得 q ? 3或 q ? ? . 又 14. 6-10: CDACA 11、12: DA

1 2

15.6 或 54

16.

3 4

9 ? 24 ,即 3q2 ? 8q ? 3 ? 0 ,解 q

1 3

an ? 0 ,则 q ? 0 ,∴q ? 3 ,∴an ? 9 ? 3n?3 ? 3n?1 .

?Ⅱ? bn ? n ? an ? n ? 3n?1 ,
∴Sn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ???? ? n ? 3n?1 ,

3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ????? ? n ?1? ? 3n?1 ? n ? 3n ,
∴-2Sn ? 1 ? 31 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? n ? 3n ?

?1 ? 2n ? ? 3n ? 1 ,
2

∴Sn ?

?1 ? 2n ? ? 3n ? 1 .
4

18. ? Ⅰ ? 由茎叶图中数据分布可知,甲组数据分布比较分散,乙组数据分布相对集中,所以, 甲组同学的成绩差异较大. (也可通过计算方差说明: s甲2 ? 101.6 , s乙2 ? 37.4 , s甲2 ? s乙2 )

?Ⅱ? 设甲组数据成绩在 90 分以上的三位同学为 A1 , A2 , A3 ;乙组数据在 90 分以上的三位同学
为 B1 , B2 , B3 .从这 6 位同学中选出 2 位同学,共有 15 个基本事件,列举如下:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, B3 ? ; ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? ; ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? ; ? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B2 , B3 ? .
其中,从这 6 位同学中选出 2 位同学不在同一个小组共有 9 个基本事件,

∴P ?

9 3 ? . 15 5

19. ? Ⅰ ? 由条件可知, Rt ?ADC≌Rt ?BAO ,故 ?DAC ? ?ABO .

∴?DAC ? ?AOB ? ?ABO ? ?AOB ? 90? ,∴AC ? BO .
PA ? PD ,且 O 为 AD 中点,∴PO ? AD .

?平面PAD ? 平面ABCD ? ?平面PAD 平面ABCD ? AD ,∴PO ? 平面 ABCD . ? PO ? AD ? ? ? PO ? 平面PAD
又 又

AC ? 平面 ABCD ,∴AC ? PO .

BO

PO ? O ,∴AC ? 平面 POB .

AC ? 平面 PAC ,∴ 平面 POB ? 平面 PAC .

?Ⅱ? 取 AB 中点为 E ,连接 CE , QE .
由? Ⅰ ? 可知, PO ? 平面 ABCD .又 又

AB ? 平面 ABCD ,∴PO ? AB .

AB ? CD , PO

AD ? O ,∴AB ? 平面 PAD .

1 ∴VBCDPQ ? VPAD ?QEC ? VQ ?CEB ? S?PAD ? AE ? S ?CEB ? PO 3

?

3 2 1 ?1 4 3 ? . ? 2 ?1 ? ? ? ?1? 2 ? ? 3 ? 4 3 ?2 3 ?

20. ? Ⅰ ? 依题意,设椭圆 E 的左,右焦点分别为 F1 ? 3, 0 , F2

?

?

?

3, 0 .

?

∴a ? 2 , c ? 3 ,∴b ? 1 , 则 PF 1 ? PF 2 ? 4 ? 2a ,
2

∴ 椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

?Ⅱ? 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ?

2 , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8 2kx ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
2 由 ? ? 0 得 4k ? 1 .

由 x1 ? x2 ? ?

4 8 2k , x1 x2 ? 得 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k
2

AB ? 1 ? k

? x1 ? x2 ?

2

1 ? 1 ? ? 4 x1 x2 ? 2 ?6 ? ? ?1 . 2 ? 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k
2

2

设t ?

1 ? 25 5 6 1 1 ? 2 ? ,则 0 ? t ? ,∴ AB ? 2 ?6t ? t ? 1 ? 2 ?6 ? t ? ? ? . 2 1 ? 4k 2 6 ? 12 ? 24

当直线 l 的斜率不存在时, AB ? 2 ?

5 6 , 6

∴ AB 的最大值为

5 6 . 6

21. ? Ⅰ ? x ? ? xe x ? 2ax ? x e x ? 2a . ? f′ 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递减,在 ? 0, ??? 上单调递增,∴f ? x ? 有 1 个极值点; 当0 ? a ?

?

?

1 时, f ? x ? 在 ? ??,ln 2a ? 上单调递增,在 ? ln 2a,0? 上单调递减,在 ? 0, ??? 上单 2

调递增,∴f ? x ? 有 2 个极值点;

1 时, f ? x ? 在 R 上单调递增,∴f ? x ? 没有极值点; 2 1 当 a ? 时, f ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递增,在 ? 0,ln 2a ? 上单调递减,在 ? ln 2a, ??? 上单调 2
当a ? 递增,∴f ? x ? 有 2 个极值点;

∴ 当 a ? 0 时, f ? x ? 有 1 个极值点;当 a ? 0 且 a ?

1 1 时, f ? x ? 有 2 个极值点;当 a ? 时, 2 2

f ? x ? 没有极值点.

?Ⅱ? 由 f ? x? ? ex ? x3 ? x 得 xex ? x3 ? ax2 ? x ? 0 .
当 x ? 0 时, e ? x ? ax ? 1 ? 0 ,即 a ?
x 2

ex ? x2 ?1 对 ?x ? 0 恒成立. x

? x ?1? ? ex ? x ? 1? ex ? x2 ?1 设 g ? x? ? ,则 g′ . ? x? ? x x2
设 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h′ ? x ? ? e ?1 .
x x

x ? 0 ,∴h′ ? x? ? 0 ,

∴h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, ∴h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 e x ? x ? 1 , ∴g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, ∴g ? x ? ? g ?1? ? e ? 2 ,∴a ? e ? 2 ,
∴ a 的取值范围是 ? ??, e ? 2? .
22. ? Ⅰ ?

2a sin ? ? ? cos2 ? ? 0 ,∴2a? sin ? ? ? 2 cos2 ? ? 0 ,即 x2 ? 2ay ? a ? 0? .

1 ? x? t ? 2 2 代入 x 2 ? 2ay ,得 t ? 4 3at ? 8a ? 0 ,得 ?Ⅱ? 将 ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? ? 2

?? ? ?4 3a 2 ? 4 ? 8a ? 0, ? ? ①. ?t1 ? t2 ? 4 3a, ?t t ? 8a. ?12 ?
a ? 0 ,∴ 解 ① 得 a ?

?

?

2 . 3
2 2

PM , MN , PN 成等比数列,∴ MN ? PM ? PN ,即 t1 ? t2 ? t1t2 ,

∴? t1 ? t2 ? ? 4t1t2 ? t1t2 ,即 4 3a ? 40a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ?
2

?

?

2

5 . 6

a?

2 5 ,∴a ? . 3 6

23. ? Ⅰ ? 由题意得 ? 解 ① 得 m ? ?9 .

? ?9 ? m ? 0①, ? ? 3 x ? m ? 9 ? m②.

② 可化为 ?9 ? m ? 3x ? m ? 9 ? m ,

?9 ? 2 m ? x ? 3. 3 ?9 ? 2 m ? ?1 ,解得 m ? ?3 ,满足 m ? ?9 . 不等式 f ? x ? ? 9 的解集为 ? ?1,3? ,∴ 3

∴m ? ?3

?Ⅱ? 依题意得, g ? x? ? 3x ? m ? 2 x ?1 .
? m? ? ?? x ? m ? 2 ? x ? ? 3 ? , ? ? ? ? ? m ? 又 m ? 0 ,∴g ? x ? ? ?5 x ? m ? 2 ? ? ? x ? 1 ? , ? 3 ? ? ? x ? m ? 2 ? x ? 1? . ? ?

? 2?m ? ,0 ? , g ? x ? 的图象与 x 轴围成的 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A? ?m ? 2,0? , B ? ? 5 ? ? m 2m ? C?? ,? ? 2? , 3 ? 3 ?

∴S?ABC

4 ? m ? 3? 1 ? AB ? yC ? ? 60 ,解得 m ? 12 . 2 15
2


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