函数导数解答题训练之一


函数导数解答题训练之一:
1. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e ? 3x ,其中 a ?R .
ax

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

ax 2 ? x ? a 2. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? . ex
(Ⅰ)函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围 e2

3.(本小题共 14 分)已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? ax ? a)e? x , a 为常数, e 为自然对数的底) ( .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?(2) ; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ) (Ⅱ) 在 的条件下, 设由 f ( x) 的极大值构成的函数为 g ( a ) , a 换元为 x , 将 试判断曲线 y ? g ( x) 是否能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由.

4. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ?2a 2 ln x ? (Ⅰ) 讨论函数 f (x) 的单调性;

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在区间 [1, e] 的最小值.

函数导数解答题训练之二:
1. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ?R . 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值.

2.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

mx , x x ? 1 ( m ? 0 ) g () ? e 2( 2 x ?1

ax

a)? R .

(Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

3.(本小题共 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a (a ? 0) . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点, 若以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值;

1 恒成立, 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 的实根情况. (Ⅲ)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? 2x 2

4.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

函数导数解答题训练之一答案:
1. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e ? 3x ,其中 a ?R .
ax

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围. 1.(Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x) ? a ? ??????1 分 ??????2 分

1 ax ? 1 . ? x x

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.从而 f (x) 没有极大值,也没有极小值?3 分 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

f ( x) 和 f ?( x) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 . a
1 ( , ? ?) a

1 (0, ) a
?

1 a

0

?




故 f ( x) 的单调减区间为 (0,

1 1 ) ;单调增区间为 ( , ? ?) . a a
??????5 分 ??????6 分

从而 f (x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值. (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 R ,且 g ?( x) ? ae ? 3 .
ax

1 a

③ 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增. 由(Ⅰ)得,此时 f ( x) 在 ( , ? ?) 上单调递增,符合题意.

1 a

??????8 分

④ 当 a ? 0 时, g ( x) 在 R 上单调递增, f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.??9 分 ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x0 ?

g ( x) 和 g ?( x) 的情况如下表:
x
g ?( x) g ( x)
(??, x0 )
?

1 3 ln(? ) . a a

x0

( x0 , ? ?)

0

?




当 ?3 ? a ? 0 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减, 不合题意. ??????11 分

当 a ? ?3 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递减,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,符 合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) . 2. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ??????13 分

ax 2 ? x ? a . ex

(Ⅰ)函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围 e2
???????????2 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ex

f ?(0) ? 1 ? a ,

???????????3 分

因为函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行 所以 1 ? a ? ?2 , a ? 3 (Ⅱ) f ?( x) ? ???????????5 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a)( x ? 1) ? ex ex

令 f ?( x) ? 0 当 a ? 0 时, x ? 1 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增;在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 减,

f (0) ? 0, f (2) ?

2 e2

函数 f ( x) 的最小值为 0,结论不成立.?????????6 分

当 a ? 0 时, x1 ? 1, x2 ? 1 ?

1 a

???????????7 分 ???????????9 分

若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 ,结论不成立 若 0 ? a ? 1,则 1 ?

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增;在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函 a

1 1 ? ? ?a ? e2 ? f (0) ? e 2 1 ? ? 数 f ( x) 减,只需 ? ,得到 ? ,所以 2 ? a ? 1 ??????????11 分 e ?a ? ? 1 ? f (2) ? 1 2 ? ? 5 e ? ?
1 1 ? ? f (1 ? a ) ? e 2 1 1 ? 若 a ? 1 , 0 ? 1 ? ? 1 ,函数在 x ? 1 ? 有极小值,只需 ? a a ? f (2) ? 1 ? e2 ?

1 ?1? ? 1 2a ? 1 ? e a ?1? ? 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 ?????????13 分 1 ?a ? ? 5 ? 1 综上所述, a ? 2 ???????????14 分 e 2 ?x 3.(本小题共 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a )e , a 为常数, e 为自然对数的底) ( .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?(2) ; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ) (Ⅱ) 在 的条件下, 设由 f ( x) 的极大值构成的函数为 g ( a ) , a 换元为 x , 将 试判断曲线 y ? g ( x) 是否能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由. 3.(本小题共 14 分)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x e . f ?( x) ? 2 xe
2 ?x ?x

? x 2e? x ? xe? x (2 ? x) .

所以 f ?(2) ? 0 .
?x ?x 2 ?x 2 ?x (Ⅱ) f ?( x) ? (2 x ? a)e ? e ( x ? ax ? a) ? e [? x ? (2 ? a) x] ? ?e ? x[ x ? (2 ? a)] .

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a .
2 ?x 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? ? x e ≤ 0 恒成立,

此时 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递减,没有极小值; 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 0 ? x ? 2 ? a ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 x ? 0 是函数 f ( x) 的极小值点. 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 若 2 ? a ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 . 此时 x ? 0 是函数 f ( x) 的极大值点. 综上所述,使函数 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a ? 2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 2 ,且 x ? 2 ? a 时, f ?( x) ? 0 , 因此 x ? 2 ? a 是 f ( x) 的极大值点,极大值为 f (2 ? a) ? (4 ? a)e 所以 g ( x) ? (4 ? x)e 令 h( x) ? (3 ? x)e
x?2 x?2 x?2 a ?2



( x ? 2) .

g ?( x) ? ?e x ?2 ? e x ?2 (4 ? x) ? (3 ? x)e x ?2 . ( x ? 2) . ? 0 恒成立,即 h( x) 在区间 (??, 2) 上是增函数.
2? 2

则 h?( x) ? (2 ? x)e

所以当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? (3 ? 2)e 又直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的斜率为

? 1 ,即恒有 g ?( x) ? 1 .

3 , 2

所以曲线 y ? g ( x) 不能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 相切.

4. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ?2a 2 ln x ? (Ⅰ) 讨论函数 f (x) 的单调性;

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在区间 [1, e] 的最小值. ???1 分

4. 解:函数 f (x) 的定义域为 (0,??) , (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) , ? x x

???4 分

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 0 ,所以 f (x) 在定义域为 (0,??) 上单调递增; ?5 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a (舍去) x2 ? a , , 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下: 此时, f (x) 在区间 (0, a ) 单调递减, 在区间 (a,??) 上单调递增; (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a , x2 ? a (舍去) , 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下: 此时, f (x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减, 在区间 (?2a,??) 上单调递增. ???9 分 ???7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 0 时, f (x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减,在区间 (?2a,??) 上单调递增.???10 分

e 时, f (x) 在区间 [1, e] 单调递减, 2 1 所以, [ f ( x)]min ? f (e) ? ?2a 2 ? ea ? e 2 ; ???11 分 2 e 1 (2)当 1 ? ?2a ? e ,即 ? ? a ? ? 时, f (x) 在区间 (1,?2a ) 单调递减, 2 2
(1)当 ? 2a ? e ,即 a ? ? 在区间 (?2a, e) 单调递增,所以 [ f ( x)]min ? f (?2a ) ? ?2a ln(?2a ) ,???12 分
2

(3)当 ? 2a ? 1 ,即 ? 所以 [ f ( x)]min

1 ? a ? 0 时, f (x) 在区间 [1, e] 单调递增, 2 1 ? f (1) ? a ? . 2

???13 分

函数导数解答题训练之二:
1. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ?R . 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值. 1.(Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a .
2

??????2 分

当 a ? 2 时, f (1) ? ?

1 , f ?(1) ? ?2 , 3 1 ? ?2( x ? 1) , 3
??????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6x ? 3 y ? 5 ? 0 . (Ⅱ)解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式为 ? ? 8a .

(ⅰ)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3
2a 2a ,或 x2 ? 1 ? . 2 2

??????6 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

f ( x) 和 f ?( x) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
(??, x1 )
x1

( x1 , x2 )
?

x2

( x2 , ? ?)

?


0

0

?




故 f ( x) 的单调增区间为 ( ??, 1 ?

2a 2a 2a 2a , ?? ) ;单调减区间为 (1 ? ) , (1 ? ,1 ? ) .??8 分 2 2 2 2

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是

f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

??????10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上单调递增, 所以 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f ( x2 ) ? 因为 f (3) ? f (2) ?

5 a 2a ?a? . 3 3

??????11 分

14 ?a, 3

14 14 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值是 f (3) ? 7 ? 3a ;当 ? a ? 8 时, f ( x) 在 3 3 7 区间 [2,3] 上的最大值是 f (2) ? ? 2a . ??????12 分 3
所以 当 2 ? a ? ③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x) 在区间 (2,3) 上单调递减, 所以 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a ;最大值是 f (2) ? 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 当2? a ?

7 ? 2a .??????14 分 3

7 ? 2a ,最大值是 7 ? 3a ; 3

5 a 2a 14 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? ,最大值是 7 ? 3a ; 3 3 3



5 a 2a 14 7 ,最大值是 ? 2a ; ? a ? 8 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? 3 3 3 3

当 a ? 8 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 7 ? 3a ,最大值是 2.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

7 ? 2a . 3
ax

mx x , x ? 1 ( m ? 0 ) g () ? e 2( 2 x ?1

a)? R .

(Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围. 2.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ?

m(1 ? x2 ) m(1 ? x)(1 ? x) ? .????1 分 ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

①当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?1)
?

(?1,1)

(1, ??)
?

?
?

?

?

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) .???3 分 ②当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?1)

(?1,1)
?

(1, ??)

?
?

?
?

?

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) .???5 分 (Ⅱ)依题意, “当 m ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于 “当 m ? 0 时, 对于任意 x ? [0, 2] , f ( x) min ? g ( x) max 成立”. 当 m ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 . 5

所以应满足 g ( x) max ? 1 . ???????????????????????6 分 因为 g ( x) ? x e ,所以 g ?( x) ? (ax + 2 x)e .
2 ax
2 ax 2

?????7 分

①当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x , ?x ?[0, 2] , g ( x)max ? g (2) ? 4 , 显然不满足 g ( x) max ? 1 ,故 a ? 0 不成立. ②当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ? (ⅰ)当 ? ?????8 分

2 . a

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a

在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增, 所以函数 g ( x) max ? g (2) ? 4e .
2a

由 4e

2a

? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? a ? ? ln 2 .

?????10 分

2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a 2 2 在 [0, ? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 ( ? , 2] 上 g ?( x) ? 0 , a a 2 2 所以函数 g ( x) 在 [0, ? ) 上单调递增,在 ( ? , 2] 上单调递减, a a 2 4 所以 g ( x) max ? g (? ) ? 2 2 . a ae 4 2 由 2 2 ? 1 得, a ? ? ,所以 a ? ?1 . ?????11 分 ae e 2 (ⅲ)当 ? ? 0 ,即 a ? 0 时,显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 , a
(ⅱ)当 0 ? ? 函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,且 g ( x) max ? g (2) ? 4e .
2a

显然 g ( x) max ? 4e

2a

? 1 不成立,故 a ? 0 不成立.

?????12 分 ?????13 分

综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] .

3.(本小题共 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a (a ? 0) . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点, 若以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值; (Ⅲ)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? 3.解:(Ⅰ) f ( x) ? ln x ?

1 恒成立, 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 的实根情况. 2x 2

a ,定义域为 (0, ??) , x
??????????????2 分

则 f | ( x) ?

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x

因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .?????4 分 (Ⅱ)由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足

k ? f ?( x0 ) ?

x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( x0 ? 0) ,

所以 a ? ?

1 2 x0 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立. ??????????????5 分 2 1 2 1 x0 ? x0 ? , 2 2 1 . 2
??????????????7 分

又当 x0 ? 0 时, ?

所以 a 的最小值为

(Ⅲ)由题意,方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 化简得 2x 2
??????????????8 分

1 1 x ? (0, ??) b ? ln x ? x 2 + 2 2
令 h( x) ? ln x ?

1 2 1 1 (1 ? x)(1 ? x) .?????9 分 x ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? 2 2 x x

当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减.?????10 分

所以 h( x ) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为

1 1 h(1) ? ln1 ? ?12 ? b ? ? ?b . 2 2

??????????????11 分

所以 当 ?b ? 0 , 既 b ? 0 , y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点,

x3 ? 2(bx ? a) 1 方程 f ( x) ? ? 有两个实根, ????????????12 分 2x 2
当 b ? 0 , y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有一个实根, ???????????13 分 2x 2

当 b ? 0 , y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 无实根. 2x 2

??14 分

4.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围. 4.解: (I) a ? 2, f ( x) ?

1 2 2 x ? 2ln x, f '( x) ? x ? , 2 x

1 f '(1) ? ?1, f (1) ? , 2
f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0. ?????????..3 分
(Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x
a.

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ?

①若 a ? 1, 即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递增, 因此, f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值为 f (1) ? ②若 1 ?

1 . 2

a ? e,即1 ? a ? e2 , 在 1, a ) 上,f '( x) ? 0 ,f (x) 单调递减; ( a , e) 上,f '( x) ? 0 ,f (x) ( 在

单调递增,因此 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f ( a ) ?
2

1 a(1 ? ln a). 2

③若 a ? e, 即a ? e , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递减,

因此, f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f (e) ? 综上,当 0 ? a ? 1时, f min ( x) ? 当 a ? e 时, f min ( x) ?
2

1 2 e ?a. 2

1 1 2 ;当 1 ? a ? e 时, f min ( x) ? a(1 ? ln a) ; 2 2
????????????.9 分
2

1 2 e ? a. 2

(III) 由(II)可知当 0 ? a ? 1或 a ? e 时, f (x) 在 (1, e) 上是单调递增或递减函数,不可能存在两 个零点. 当 1 ? a ? e 时,要使 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,则
2

?1 ? 2 a (1 ? ln a ) ? 0, ? ?a ? e 1 1 2 ? ? ∴ ? f (1) ? ? 0, 即? 1 2 ,此时, e ? a ? e . 2 2 ? ?a ? 2 e ? 1 2 ? ? f (e) ? 2 e ? a ? 0, ?
所以, a 的取值范围为 (e,

1 2 e ). ??????????????????????..13 分 2


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