18学年高中数学第2章算法初步1算法的基本思想教学案北师大版必修3


内部文件,版权追溯 1 算法的基本思想 [核心必知] 1.算法的概念 在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这一系列步骤来解 决问题,我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法. 2.算法的作用 现代算法的作用之一是使计算机能代替人完成某些工作,这是学习算法的重要原因之一. [问题思考] 1.是不是任何一个算法都有明确结果? 提示:是,因为算法的步骤是明确的和有限的,有时可能需大量重复的计算,但只要按部就 班地去做,总能得到确定的结果. 2.一个具体问题的算法唯一吗? 提示:解决一个具体问题的算法可有多个,但我们可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽 量少的算法. 讲一讲 1.下列语句中是算法的有( ) ①做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤; ②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1; ③方程 x2+2x-3=0 有两个实根; ④求 1+2+3+4 的值,先计算 1+2=3,再由 3+3=6,6+4=10 得最终结果是 10. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [尝试解答] ①说明了做饭的步骤;②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式;④中 给出了求 1+2+3+4 的一个过程,最终得出结果;对于③,并没有说明如何去算,故①②④是 -1- 算法,③不是算法. [答案] C 解答这类问题的方法为特征判断法,主要从以下三方面判断: (1)看是否满足顺序性.算法实际上就是顺序化的解题过程,是指可以用计算机来解决某一 类问题的程序或步骤. (2)看是否满足明确性.算法的每一步都是确定的,而不是含糊的、模棱两可的. (3)看是否满足有限性.一个算法必须在有限步后结束.如果一个解题步骤永远不能结束, 那么就永远得不到答案.因此,有始无终的解题步骤不是算法. 此外,算法的不唯一性也要考虑到. 练一练 1.下列语句表达中是算法的有( ) ①从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达; ②12x>2x+4; ③求 M(1,2)与 N(-3,-5)两点连线的方程,可先求 MN 的斜率,再利用点斜式方程求得. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C ①中说明了从济南到巴黎的行程安排,完成任务.对于②没有说明如何去做.③ 说明了求直线 MN 的方程的算法步骤. 讲一讲 2.给出解方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 为实常数)的一个算法. [尝试解答] 算法步骤如下: 1.当 a=0,b=0,c=0 时,解集为全体实数; 2.当 a=0,b=0,c≠0 时,原方程无实数解; 3.当 a=0,b≠0 时,原方程的解为 x=-cb; 4.当 a≠0 且 b2-4ac>0 时,方程有两个不等实根 x1=-b+ 2ab2-4ac,x2=-b- b2-4ac 2a ; 5.当 a≠0,b2-4ac=0 时,方程有两个相等实根 x1=x2=-2ba; 6.当 a≠0 且 b2-4ac<0 时,方程没有实数根. 设计算法的基本要求是:(1)设计的算法必须能解决一类问题并且能重复使用;(2)算法的过 程需能一步步执行,每步执行的操作必须确切,不能含糊不清,而且经过有限步运算后能得出结 -2- 果;(3)任何算法都必须输出结果,否则是无意义的算法;(4)如果需要分类讨论解决的问题,那 么设计的算法中,要根据条件是否成立来决定执行任务的步骤;(5)如果需要重复做同一种动作, 那么设计的算法要含有返回步骤. 练一练 2.写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法. 解:法一:1.移项,得 x2-2x=3;① 2.①两边同时加 1 并配方,得(x-1)2=4;② 3.②式两边开方,得 x-1=±2;③ 4.解③得 x=3,或 x=-1. 法二:1.计算方程的判别式并判断其符号,Δ =(-2)2-4×1×(-3)=16>0; 2.将 a=1,b=-2,c=-3 代入求根公式 x=-b± b2-4ac 2a ,得 x1=3,x2=-1. 【解题高手】【易错题】 设计一个算法,求 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 的值. [错解] 1.计算 1+2 的值为 3; 2.将 3 加到上一步的结果中,3+3=6; 3.将 4 加到上一步的结果中,6+4=10; … 9.将 10 加到上一步的结果中,45+10=55; 10.输出结果为 55. [错因] 根据算法的确定性.算法的每一步都是明确具体的.当算法中出现类似步骤时,可 以给出判定条件重复执行,不能由省略号代替.本题做错的根本原因在于对算法的确定性理解不 到位. [正解] 算法: 1.令 S=0,n=1; 2.将 n 加给 S; 3.判断 n 是否为 10,若不是,则 n 加 1 后,执行第二步;若 n 是 10,则输出结果 S 后结束. 1.下列说法正确的是( ) A.“5+6=11”是一个算法 -3- B.“3 是 15 与 21 的公约数”是一个算法 C.判断 15 是否为素数的一个程序或步骤是一个算法 D.用二分法求方程 x2-2=0 的近似根(精确到 0.01)是一个算法 解析:选 D 算法中的程序或步骤应是明确的,有效的,且在有限步之内能够解决问题. 2.下列可以看成算法的是( ) A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当 的练习题 B.今天餐厅的饭真好吃 C.这道数学题难做 D.方程 2x2-x+1=0 无实数根 解析:选 A A 是学习数学的一个步骤,所以是算法. 3.计算下列各式中的 S 值,能设计算法求解的是( ) ①S=1+2+3+…+100; ②S=1+2+3+…+100+…; ③S=1+2+3+…+n(n≥1,且 n∈N+). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:选 B 算法的设计要求步骤是可行的,并且能在有限步之内

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