2017年高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标方程课件北师大选修_图文


第四课时

圆的极坐标方程

[学习目标]
1.熟练掌握圆的极坐标方程的求法,并能够利用极坐标 方程与直角坐标方程的互化公式进行互化.

2.通过比较,体会极坐标在解决个别问题中的优越性,
提高分析问题、解决问题的灵活性.

[学法指要]
1.圆的极坐标方程的应用.(重点)
2.圆的极坐标方程的根据是正余弦定理.

预习学案

圆x2+y2=r2还有他的表示形式吗?

1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表 示.曲线与方程满足如下关系: 点的坐标 都是方程f(x,y)=0的解; (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上. (2)以方程f(x,y)=0的解为__________

2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ,θ)=0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ,并且坐标 f(ρ,θ)=0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上,那么方程 f(ρ,θ)=0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程.

曲线 圆心在极点,半径 为r的圆 圆心为C(r,0),半径 为r的圆
? π? 圆心为C?r,2?,半 ? ?

圆形

极坐标方程

ρ=r __________
(0≤θ<2π) ρ=2rcos θ
? π π? ?- ≤θ< ? 2? ? 2

ρ =2rsinθ __________
(0≤θ<π)

径为r的圆

1.将曲线ρ2(1+sin2θ)=2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A.x2+ 2 =1 B. 2 +y2=1 C.2x2+y2=1 D.x2+2y2=1

)

解析:

∵ρ2(1+sin2θ)=2,

∴ρ2(cos2θ+2sin2θ)=2, ∴ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2, 即x2+2y2=2, x2 2 ∴ 2 +y =1. 答案: B

2.如下图所示,极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线 的图形是( )

答案: D

3.以极坐标中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的极坐标方

程是________,在直角坐标系下的方程是____________.
解析: 1, 故圆的直角坐标方程为(x-cos1)2+(y-sin1)2=1, 即x2+y2-2(xcos1+ysin1)=0, 化为极坐标方程为ρ2-2ρ(cosθcos1+sinθsin1)=0 即为ρ=2cos(θ-1). 答案: ρ=2cos(θ-1) x2+y2-2xcos1-2ysin1=0 依题意,圆心的直角坐标为(cos1,sin1),半径为

4 .写出圆心在点 (1 ,- 1) 处,且过原点的圆的极坐标方 程.
解析: 有些曲线的极坐标方程不容易直接求出,可先求

直角坐标方程,再进行转化. 因为圆的半径为R= ?-1?2+11= 2, 所以圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=2, 变形为x2+y2=2(x-y), 用坐标变换公式得ρ2=2(ρcosθ-ρsinθ), 故所求圆的极坐标方程为ρ=2(cosθ-sinθ).

课堂讲义

圆的极坐标方程
在极坐标系中,求半径为r,圆心为C 的极坐标方程.
? 3π? ?r, ? 2? ?

的圆

[思路点拨]

先设圆上的任意一点为M(ρ,θ),再根据圆的

性质建立等式,转化为变量ρ,θ的方程即可. 设点M?ρ,θ? ―→ 列方程f?ρ,θ?=0 ―→ 检验特殊点 ―→ 结果

[解题过程] 由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直 径,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点, 如图所示,则|OA|=2r, 连接AM,则OM⊥MA, 在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,
?3π ? 即ρ=2rcos? 2 -θ?, ? ?

故ρ=-2rsin θ.
? 3π? 经验证,点O(0,0),A?2r, 2 ?的坐标皆满足上式, ? ?

所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-2rsin θ.

[规律方法]

求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况

一样,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程

f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.
极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解 直角或斜三角形.

[变式训练] 1.在极坐标系中,求: (1)圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;

(2)圆心为C(2,π),半径为2的圆的极坐标方程.
解析: (1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ), 结合图形,得|OM|=2,

∴ρ=2,0≤θ<2π.

(2)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),结合图形,

在Rt△OAM中, ∠OMA=90° ,∠AOM=π-θ,OA=4. OM ∵cos∠AOM= OA , ∴OM=OA· cos∠AOM. 即ρ=4cos(π-θ),故ρ=-4cos θ为所求.

将极坐标化为直角坐标,判断形状
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判 断曲线的形状. (1)ρcos θ=2;(2)ρ=2cos θ; 1 (3)ρ cos 2θ=2;(4)ρ= . 1-cos θ
2

[思路点拨]

ρcos=x, 极坐标方程 ――→ 直角坐标方程 ρsinθ=y

―→ 曲线的形状

[解题过程] 根据点的极坐标化为直角坐标的公式: ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y. (1)∵ρcos θ=2, ∴x=2,是过点(2,0),垂直于x轴的直线. (2)∵ρ=2cos θ,

∴ρ2=2ρcos θ,∴x2+y2-2x=0,
即(x-1)2+y2=1, 故曲线是圆心在(1,0),半径为1的圆.

(3)∵ρ2cos 2θ=2,∴ρ2(cos2 θ-sin2 θ)=2, 即ρ2cos2 θ-ρ2sin2θ=2,∴x2-y2=2, 故曲线是中心在原点,焦点在x轴上的等轴双曲线. 1 (4)∵ρ= ,∴ρ=1+ρcos θ, 1-cos θ ∴ x +y =1+x,两边平方并整理得y
? 1 ? 顶点为?-2,0?,焦点为F(0,0), ? ?
2 2 2

? 1? =2?x+2?, ? ?

准线方程为x=-1的抛物线.

[规律方法]

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y代入曲线

的极坐标方程,整理为直角坐标方程.

解决此类问题常常通过方程变形,构造出形如 ρcos θ ,
ρsin θ,ρ2的式子整体代换.方程的两边同乘以(或同除以)ρ或 方程两边平方是常用方法.

[变式训练]

2.化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方

程,并判断曲线的形状. (1)ρsin θ=2;(2)ρ=2sin θ; 1 (3)ρ sin 2θ=2;(4)ρ= . 1+cos θ
2

解析:

(1)∵ρsin θ=2,∴y=2,是一条过(0,2),平行于

? π? x轴的直线,也就是过点?2,2?且平行于极轴的直线. ? ?

(2)∵ρ=2sin θ, ∴ρ2=2ρsin θ,即x2+y2=2y, 于是x2+(y-1)2=1, ∴曲线为圆心在(0,1),半径为1的圆. (3)∵ρ2sin 2θ=2,∴ρ2(2sin θcos θ)=2, ∴xy=1,曲线是中心在原点的双曲线.

1 (4)∵ρ= ,∴ρ+ρcos θ=1, 1+cos θ ∴ x2+y2=1-x, 两边平方得x2+y2=1-2x+x2, ∴y
2

? 1? =-2?x-2?, ? ?

?1 ? 曲线为以点?2,0?为顶点, ? ?

焦点为F(0,0),准线为x=1的抛物线.

圆的极坐标方程应用
在极坐标系中,已知圆 ρ = 2cosθ 与直线 3ρcosθ +

4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.
[思路点拨] (1)极坐标方程化为直角坐标方程; (2)由点到直线的距离公式求解;

(3)注意解的个数.

解题过程: 0.

将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方

程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a= 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1, |3×1+4×0+a| 即有 =1, 2 2 3 +4 解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.

[变式训练] 置关系.
解析:

3.判断两圆ρ=cosθ+

3 sinθ和ρ=2cosθ的位

把圆ρ=cosθ+ 3sinθ的方程化简得
?1 3sinθ=2? ?2cosθ+ ? ? ? π? 3 ? =2cos?θ-3? sin θ ? 2 ? ? ?

ρ=cosθ+

? π? 所以该圆的圆心的极坐标为C1?1,3?,半径为1. ? ?

又圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标为C2(1,0),半径为1. 在极坐标系中,△OC1C2为等边三角形.(如图)

∴|C1C2|=1<1+1=2. 即两圆圆心距小于两圆半径的和. 所以两圆ρ=cosθ+ 3sinθ和ρ=2cosθ相交.

极坐标方程 (ρ - 1)(θ - π) = 0(ρ≥0) 表示的图形是

(

)
A.两个圆 C.一个圆和一条射线 ∴ρ=1或θ=π(ρ≥0). B.两条直线 D.一条直线和一条射线

解析: ∵(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)

ρ=1表示圆心在原点,半径为1的圆,
θ=π(ρ≥0)表示x轴的负半轴,是一条射线,故选C. 答案: C

用代入法求圆的极坐标方程(求轨迹方程)
从极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,求弦ON的中 点M的轨迹方程.

[思路点拨] ①设M坐标,M(ρ,θ)

②找M与N关系
③代入原方程得M轨迹方程.

[解题过程] 方法一(代入法):设点M(ρ,θ),N(ρ1,θ1) ∵点N在圆ρ=8cosθ上,∴ρ1=8cosθ1.

∵点M是ON的中点,
∴ρ1=2ρ,θ1=θ, ∴2ρ=8cosθ,∴ρ=4cosθ.

∴点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(点(2,π)除外).

方法二(定义法):圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4, ∵M为弦ON的中点,

∴CM⊥ON
故M在以OC为直径的圆上, 所以动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(点(2,π)除外).

[规律方法]

方法一是代入法,如果所求动点的变化是另

一个点引起的,而另一个点的轨迹方程已知(或易求),可以用

代入法,其方法是先建立两个动点坐标之间的关系,然后代入
其中一个动点满足的轨迹方程,整理即可. 方法二为定义法,先根据圆的概念确定轨迹为圆,然后再

求圆心和半径.

[变式训练]

5.已知半径为R的定圆O′外有一定点O,|OO′|

= a(a > R) , P 为 定 圆 O′ 上 的 动 点 , 以 OP 为 边 作 正 三 角 形 OPQ,求Q点的轨迹的极坐标方程.
解析: 如图所示,以定点O为极点,射线OO′为极轴正 向建立极坐标系,则⊙O′的极坐标方程是ρ2-(2cosθ)ρ+a2- R
2

? π? =0.设Q(ρ,θ),则有P?ρ,θ-3?,又P在⊙O′上, ? ?

∴ρ

2

? ? π?? -?2acos?θ-3??ρ+a2-R2=0. ? ?? ?

即所求Q点的轨迹方程是: ρ
2

? π? 2 -2aρcos?θ-3?+a -R2=0. ? ?

1.曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程 f(ρ , θ) =0来表示;这种方程叫做曲线的极坐标方程.这时, 以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线上的点.由于在极 坐标平面中,曲线上每一个点的坐标都有无穷多个,它们可能

不全满足方程,但其中应至少有一个坐标能够满足这个方
程.这一点是曲线的极坐标方程和直角坐标方程的不同之处.

[注意] 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合 它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定 都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标
?π π? ? , ? ?4 4?

,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但
?π 9π? ? , ? 4? ?4

点P的另一个极坐标

就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐

标系内,确定某一个点P是否在某一曲线C上,只需判断点P的 极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可.

(2)由极坐标系中点的对称性可得到坐标方程ρ=ρ(θ)的图 形对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ) π =ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 2 所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π +θ),则图形关于极点O对称.

2.求极坐标方程的步骤
求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤: ①建立适当的极坐标系; ②在曲线上任取一点M(ρ,θ); ③根据曲线上的点所满足的条件写出等式;

④用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方
程; ⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程.通常第⑤步不必

写出,只要对特殊点的坐标加以检验即可.

3.利用极坐标求轨迹方程 求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似:(1)建

坐标系; (2) 列出动点所满足的关系式; (3) 将上述关系式用动
点坐标(ρ,θ)的解析式来表示;(4)化简并证明所得方程就是所 求曲线的方程.求曲线的极坐标方程主要方法有:直接法、相

关点法和参数法.

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