2017届北师大版 算法、复数与推理证明 阶段规范强化练


阶段规范强化练(十二) 证明
一、选择题

算法、复数与推理

1.(2016· 重庆模拟)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确 的是( )

A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无理数;结论:π 是 无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无限不循环小数;结 论:π 是无理数 C.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结 论:π 是无理数 D.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:π 是无理数;结论:无限不循 环小数是无理数 【解析】 对于 A,小前提与结论互换,错误;对于 B,符合演绎推理过程 且结论正确;对于 C 和 D,均为大前提错误.故选 B. 【答案】 B )

2.设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z(1+i)=(1-i),则复数 z 的模|z|=( A.-1 C. 2 z= B B.1 D.2 1-i ?1-i?2 = 2 =-i,所以|z|=1,故选 B. 1+i

【解析】 【答案】

3.(2015· 吉林模拟)如图 1 是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 ( )

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图1 A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值 C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值 【解析】 由秦九韶算法原理,结合框图可知

S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0)),故选 C. 【答案】 C

1+2i 4.(2016· 银川模拟)复数 i 的共轭复数是 a+bi(a,b∈R),i 是虛数单位, 则点(a,b)为( A.(2,1) C.(1,2) 【解析】 为(2,1). 【答案】 A ) B.(2,-i) D.(1,-2) 1+2i ?1+2i?i 1+2i = = 2 - i ,故 2 i i i 的共轭复数为 2+i,所对应的点

5.(2016· 辽宁五校协作体联考)下边程序框图中,若输入 m=4,n=10,则 输出 a,i 的值分别是( )

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图2 A.12,4 C.20,5 【解析】 根据程序框图可得 B.16,5 D.24,6

i=1,a=4;i=2,a=8;i=3,a=12; i=4,a=16;i=5,a=20. 此时,n 整除 a,所以程序结束, 故输出 a=20,i=5.故选 C. 【答案】 C

6. 已知点 A(-1,0), 若函数 f(x)的图象上存在两点 B、 C 到点 A 的距离相等, 则称该函数 f(x)为“点距函数”,给定下列三个函数:①y=-x+2(-1≤x≤2); 5? ? ②y= 9-?x+1?2;③y=x+4?x≤-2?.其中,“点距函数”的个数是( ? ? A.0 C. 2 B.1 D.3 )

【解析】 对于①,过 A 作直线 y=-x+2 的垂线 y=x+1,交直线 y=-x ?1 3? ?1 3? +2 于 D?2,2?点,D?2,2?在 y=-x+2(-1≤x≤2)的图象上,故 y=-x+2(- ? ? ? ? 1≤x≤2)的图象上存在离 D 距离相等的两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相 等,故该函数 f(x)为“点距函数”;对于②,y= 9-?x+1?2表示以(-1,0)为 圆心以 3 为半径的半圆,图象上的任意两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相 等,故该函数 f(x)为“点距函数”;对于③,过 A 作直线 y=x+4 的垂线 y=-x

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5? ? 5 3? ? 5 3? ? -1,交直线 y=x+4 于 E?-2,2?,E?-2,2?是射线 y=x+4?x≤-2?的端点, ? ? ? ? ? ? 5? ? 故 y=x+4?x≤-2?的图象上不存在两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相等, ? ? 故该函数 f(x)不为“点距函数”.综上所述,其中“点距函数”的个数是 2 个, 故选 C. 【答案】 二、填空题 1 1 1 9 1 1 1 1 16 7.在△ABC 中,A+B+C≥π成立,在四边形 ABCD 中,A+B+C+D≥2π 1 1 1 1 1 25 成立,在五边形 ABCDE 中,A+B+C+D+E≥3π成立,猜想在 n 边形 A1A2?An 中,不等式________________成立. 【解析】 观察已知的三个不等式可知,其左边全是多边形所有内角的倒数 和,右边是一个分式,其分子恰为多边形边数的平方,而分母恰为边数减二倍的 1 1 1 1 n2 圆周率,故可猜想在 n 边形 A1A2?An 中不等式A +A +A +?+A ≥ 成 ?n-2?π 1 2 3 n 立. 【答案】 1 1 1 1 n2 + + +?+ ≥ A1 A2 A3 An ?n-2?π C

8.(2015· 枣庄模拟)阅读程序框图(如图 3 所示),若输入 a=60.7,b=0.76,c =log0.76,则输出的数是________.

图3 【解析】 由上述程序框图可知,程序框图的功能是输出 a,b,c 中最大的 数,因为 a>1,0<b<1,c<0,所以输出的数为 60.7.
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【答案】 三、解答题

60.7

a 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=-2,3a>2c>2b. b 3 求证:(1)a>0 且-3<a<-4; (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 【证明】 a (1)∵f(1)=a+b+c=-2,

∴3a+2b+2c=0.① 又 3a>2c>2b,∴a>0,b<0. 3 由①变形得 c=-2a-b.② ?b>-3a, 将②式代入 3a>2c>2b,得? ?4b<-3a. b 3 ∴-3<a<-4. (2)假设函数 f(x)在区间(0,2)内没有零点. a ∵f(1)=-2<0,∴f(0)=c≤0,f(2)=4a+2b+c=a-c≤0,∴a≤c≤0. 这与已知 a>0 矛盾,∴函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 10.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图 4 中(1)、(2)、(3)、(4)为她们 刺绣中最简单的四个图案, 这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越 漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

图4 (1)求出 f(5); (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式, 并根据 你得到的关系式求 f(n)的表达式.
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【解】

(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,

∴f(5)=25+4×4=41. (2)∵f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∵f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, ?? f(n-1)-f(n-2)=4(n-2), f(n)-f(n-1)=4(n-1). 各式相加得 f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)n, ∴f(n)=2n2-2n+1.

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