成都七中嘉祥外国语学校高一上学期10月月考数学试题及其详解答案


成都七中嘉祥外国语学校高 2013 级 10 月月考数学试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。 1. 已知集合 A ? {x | ax - ax ? 1 ? 0} ,若 A= ? ,则实数 a 组成的集合为( A. {a | 0 ? a ? 4} B. {a | 0 ? a ? 4} C. {a | 0 ? a ? 4} )
2



D. {a | 0 ? a ? 4}

2.下列对应法则 f 中,构成从集合 P 到 S 的函数的是( A.P=R,S=(-∞, 0), x ∈P, y ∈S, f : x → y =| x |

B.P= N ? ,S=N (N 是自然数集), x ∈P, y ∈S, f : y ? x

2

C.P={有理数},S={数轴上的点}, x ∈P, f : x →数轴上表示 x 的点 D. P ? R , S ? { y | y ? 0} , x ? P , y ? S , f : x ? y ?

1 x2

3.若函数 f ( x ) 在区间(a,b)上为增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f ( x ) 在区间(a, c)上( ) A 必是增函数 B 必是减函数 C 是增函数或是减函数
2

D 无法确定增减性
) 。

4.若函数 f(x)的定义域是[1,5],那么函数 f(x +1)的定义域是(

A (0,2) B [0,2] C [-2,2] D[-2,0) ? (0,2] 5 .设全集为 U ,集合 A 、 B 是 U 的子集,定义运算: A*B={ a | a ∈A, 或 a ∈B, 且 a ? A ? B}, 则 (A*B)*A=( ) A. A 6.函数 y ? 1 ? B. B ?CU A C. B ) D.A ?CU B

y

1 的图象是( x ?1
y

y 1 1 B. x -1 O x -

y 1 O D


1 O 1 A. x 1 O x

7.关于 x 的不等式 ax - b ? 0 的解集为(1, +∞),关于 x 的不等式 A.(-1, 2) B.(-∞, -1)∪(2, +∞)
2

C ax ? b

C.(1, 2)

D.(-∞, -2)∪(1, +∞) )

x?2

? 0 的解集为(

8.如果函数 f ( x ) ? x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 - t ) ,那么( A. f (2) ? f (1) ? f (4)

B. f (1) ? f (2) ? f (4) C. f (2) ? f (4) ? f (1) D. f (4) ? f (2) ? f (1) ).

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 2) ? ? f ( x ) ,则 f (6) =( A.-1 B.0 C.1
1

D.2

10. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x ) 在区间 (8, ??) 上为减函数, 且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 则 ( A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)



二、填空题(每小题 5 分,共计 25 分。 ) 11.已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? 3 ,f(-6)=4 , 则 f(6)=_____________; 12.已知函数 f(x)、g(x),其中 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=3x+ 则 g(x)= ____________; 13.函数 y ? 3x ? 2 ? 2 x 的最大值是_____________; 14.已知函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,它在(0, ?? )上是增函数,且 f (1) ? 0 .那么关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? 0 的解集是_____________; 15. 设定义域为 R 的函数 f(x)=|x-1| ,若关于 x 的方程 f ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0 有 3 个不同的实数解
2 5

2 2 + t +1,(t ? R ,t 为常数), x

x1 , x2 , x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 =_______________;
三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x
2

? 3x ? 1 .求 f ( x) 的解析式.

17. (12 分)解关于 x 的不等式:

x 2 ? (a ? 1) x ? (a ? 1) ? x , (a ? R) . x ?1

18. (12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 2ax ? 3 在 [ ?1,1] 上有最小值,记作 g ( a ) . (1)求 g ( a ) 的表达式; (2)求 g ( a ) 的最大值.

2

19. (12 分)设函数 g(x)=

2x 1 ,若 g(1)= . x ? 4x ? k 3
2

(1)求实数 k 的值,并判断函数 g(x)的奇偶性; (2)求函数 g(x)在区间[

1 ,3]上的最值。 2

20. (13 分)已知函数 f(x),若对于一切实数 x, y ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) . 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 . (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性并证明你的结论; (2)判断函数 f(x)的单调性并证明你的结论; (3)如果实数 a 满足不等式 f (3a ? a ? 3) ? f (?2a
2
2 2

? a ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

2x2 ? a 21. (14 分)已知 f ( x ) ? ,且 f (1) ? 3 . x
(1)试求 a 的值; (2)试用函数单调性的定义证明 y ? f ( x ) 在 [

2 , ??) 上单调递增. 2

( 3 ) 设 关 于 x 的 方 程 f ( x ) ? x ? b 的 两 根 为 x1 , x2 , 试 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 不 等 式

m 2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x 2 | 对任意的 b ? [2, 13] 及 t ? [?1, 1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存
在说明理由.

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11.2 三、解答题 16.f(x)=x +3x+1.(x<0); f(x)=0 (x=0); f(x)=-x +3x-1 (x>0). 17.当 a=0 时,{x;x<1}; 当 a>0 时,{x;1当 a<0 时,
2 2

1 D

2 B

3 D

4 C

5 C

6 B

7 B

8 A

9 B

10 D

12.t +1,

2

13. 3

14.(- ? ,-2) ? (-1,0)

15.3

1 ? x<1}; a

{x;x<1,或 x ? 12

1 } a

18 解: (1)由 f ( x ) ? 2 x ? 2ax ? 3 知对称轴方程为 x ? 当

a ? ?1 时,即 a ? ?2 时, g (a ) ? f ( ?1) ? 2a ? 5 ; 2

a , 2

当 ?1 ? 当

a a a2 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, g (a ) ? f ( ? ) ? 3 ? ; 2 2 2

a ? 1 ,即 a ? 2 时, g (a ) ? f (1) ? 5 ? 2a ; 2 ? 2a ? 5, ( a ? ?2) ? 2 ? a 综上, g (a ) ? ?3 ? , ( ?2 ? a ? 2) . 2 ? ? ?5 ? 2a, ( a ? 2)
3

(2) 当 a ? ?2 时,g (a ) ? 1 ; 当 ?2 ? a ? 2 时,g (a ) ? 3 ; 当 a ? 2 时,g (a ) ? 1 .故当 a ? 0 时, g ( a ) 的最大值为 3. 19. (1)k=1,g(x)是非奇非偶函数 (2)当 x=1 时,最大值 20. 解; (1)奇函数 (2)增函数 (3)a<-3,或 a>1 21.解: (1)∵f(1)=3, ∴a=1, ∴f(x)= 设

1 3 ;当 x=3 时,最小值 。 3 11

2x 2 ? 1 , x

2 ≤x1<x2, 2 x ? x2 1 1 1 -(2x1+ )=2(x2-x1)+ 1 =(x2-x1)(2). x2 x1 x1x 2 x1x 2

∴f(x2)-f(x1)=2x2+

∵x2>x1≥

2 , 2 1 1 1 , ∴0< <2,∴2>0 x1x 2 x1x 2 2

2 ∴x1x2>x 1 ≥

又 x2-x1>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,

2 , +∞)上单调递增. 2 (2)∵f(x)=x+b, ∴x2-bx+1=0,
∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在 [ ∴|x1-x2|= (x 1 ? x 2 ) 2 ? 4x 1 x 2 ? b 2 ? 4 又 2≤b≤ 13 ,∴0≤|x1-x2|≤3. 故只须当 t∈[-1, 1],使 m2+mt+1≥3 恒成立,

?g( ?1) ? 0 记 g(t)=tm+m2-2,只须: ? , ?g(1) ? 0
2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ∴? , 2 ? ?m ? m ? 2 ? 0

?m ? 2或m ? ?1 ∴? , ?m ? 1或m ? ?2
∴m≥2 或 m≤-2, 故 m 的取值集合是{m|m≥2 或 m≤-2}.

4


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