黑龙江省哈师大附中2014届高三第五次高考模拟考试 文科数学 Word版含答案


黑龙江省哈师大附中 2014 届高三第五次高考模拟考试 文科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形 码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. sin(?210?) 的值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.设全集 U ? R , A ? {x ? N | y ? ln(2 ? x)}, B ? {x | x( x ? 2) ? 0} , A A. {x | x ? 1} B. x 0 ? x ? 2?
2

B?

?

C. ?1?

D. ?0,1?

3.已知 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“ a ?1 ? (a ?1)i 为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
开始

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 ?a2013 ? a1 ? ?a2014 ,则必 定有 A. S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 C. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0 B. S2013 ? 0, 且S2014 ? 0 D. a2013 ? 0, 且a2014 ? 0

输入

x

x ?1




5.函数 f ( x) ? sin 2x 的一个单调递减区间为 A. ( ?

? ?

? ? C. ( , ) 4 2

, ) 4 4

B. (

? 3?
4 ,

D. (0,

?
4

4 )

)

S ? 2? x

S ? log2 x

输出 S

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 为 4,则输入的 x 应为 A. ? 2 B. 16 C. 2 或 8 D. ?2 或 16
1

结束

7.向平面区域 ? ? ( x, y ) 0 ? x ? ? , ?1 ? y ? 1 投掷一点 P,则点 P 落 入区域 M ? ( x, y ) y ? cos x, 0 ? x ? ? 的概率为 A.

?

?

?

?

1 3

B.

1 2

C.

? 4

D.

? 2

8.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体 的三视图如图所示,那么该几何体的体积是

14 3 10 C. 3
A.

B.4 D.3 正视图 侧视图

2 2 9.等比数列 ?an ? 中 a4 ? a8 ? ?2 ,则 a4 ? 2a6 ? a6a10 的值为

A. 4 B. 5 C. 8 D. ?9 10. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4) 为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正 方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律 相同),设第 n 个图形包含 f ( n) 个小正方形.则 f (6) ?

俯视图

A.61

B.62

C.85

D.86

x2 y 2 a2 2 2 11.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0) (c ? 0) ,作圆 x ? y ? 的切 a b 4

OE ? OF ,则双曲线的离心率为 线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OP ? 2
A. 10 B.
10 5

C.

10 2

D. 2

? 1 ?x ? , x ? 0 2 12.函数 f ? x ? ? ? .若关于 x 的方程 f ? x ? 2 x ? ? a 有六个不同的实数解,则 x ? x3 ? 9, x ? 0 ?
实数 a 的取值范围是 A.

? 2,8?

B.

? 2,9?
2

C. ?8,9?

D.

?8,9?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?

?2n ? 1, n ? 2k ? 1 ? 2 , n ? 2k
n

, k ? N , 前 n 项和为 Sn ,则
*

S5 ? ____.
? ? 14.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中侧棱垂直于底面, ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 , BC ? 1 ,

且 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 体 积 为 3 , 则 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 外 接 球 的 表 面 积 为 .

?x ? 0 ? 15 . 已 知 点 M (a, b) 在 由 不 等 式 ? y ? 0 确 定 的 平 面 区 域 内 , 则 2a ? b 的 最 大 值 ?x ? y ? 2 ?
是 . 16.对于四面体 ABCD,以下命题中,真命题的序号为 (填上所有真命题的序号) ①若 AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点,则平面 AED⊥平面 ABC; ②若 AB⊥CD,BC⊥AD,则 BD⊥AC; ③若所有棱长都相等,则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 2:1; ④若以 A 为端点的三条棱所在直线两两垂直, 则 A 在平面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心; ⑤分别作两组相对棱中点的连线,则所得的两条直线异面。 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ABC 面积的最大值.

sin A 3 cos B ? a b

.

3

18. (本小题满分 12 分) 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试, 学校决定利用随机数 表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查,先将 800 人按 001,002,…,800 进行编号; (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行到第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (2)抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向,纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表 中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42. ① 若在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值: 人数 优秀 优秀 地理 良好 及格 7 9 a 数学 良好 20 18 4 及格 5 6 b

② 在地理成绩及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8, 求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的 概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使 得平面 ADM ? 平面 ABCM .

A (1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,三棱锥 M ? ADE 的体积为

2 . 12

4

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 E : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的 垂直平分线和半径 PE 相交于 Q . (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; ( 2 )已知 A, B, C 是轨迹 ? 的三个动点,点 A 在一象限, B 与 A 关于原点对称,且
| CA |? | CB |,问△ ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相应直线 AB 的

方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)

? x 2 ? 3ax ? a 2 ?3, ( x ? 0) 已知函数 f ( x) ? ? x ,a?R . 2 ?2e ? ( x ? a) ? 3, ( x ? 0)
(1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)若存在 x ? (0, ??) ,使得 f ( x) ? ? f (? x) ,求实数 a 的范围.

5

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切 圆 O 于点 G. (1)求证:△DEF∽△EFA; (2)如果 FG=1,求 EF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的 y ? 2sin ? ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 点按坐标变换 ? 得到曲线 C ? . 1 ? y? ? y ? ? 2
(1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹 方程.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明 2 a ? b ? 4 ? ab .

6

数学答案(文科) 一、选择题
题号 选项 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 A 10 A 11 C 12 D

二、填空题 13、 41 14、 16? 15、 4 16、①②④

三、解答题 17、 (本小题满分 12 分) (1)

sin A 3 cos B sin A 3 cos B ,由正弦定理得 , ? ? a b sin A sin B

………………4 分

tan B ? 3,? B ?
(2) cos B ?
2 2

?
3

.

………………………………………………6 分

a 2 ? b2 ? 4 1 ? ,? a 2 ? c 2 ? ac ? 4 2ac 2

………………………………8 分

又? a ? c ? 2ac ,所以 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c 取等号.

………………………10 分

S?

1 ac sin B ? 3 , 2

ABC 为正三角形时, Smax ? 3 . ……………………………………………………12 分
18、 (本小题满分 12 分) (1)785,667,199. (2)① ……………………………………………3 分

7?9?a ? 30%,? a ? 14; 100
…………………………………………5 分 ………………………6 分

b ? 100 ? 30 ? (20 ? 18 ? 4) ? (5 ? 6) ? 17

② a ? b ? 100 ? (7 ? 20 ? 5) ? (9 ? 18 ? 6) ? 4 ? 31 因为 a ? 10, b ? 8, 所以 a , b 的搭配:

(10, 21),(11, 20),(12,19),
共有 23 ? 9 ? 14 种,

,(15,16),(16,15),

,(23,8) ,

……………………………………………8 分

设 a ? 10, b ? 8 时,数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A , 事 件 A 包 括 :( (10, 21),(11, 20),(12,19), 件;……………………10 分
7

? ? 9 ,(15,16) , 共 1 5

6 基 本事 个

P( A) ?

6 3 ? , 14 7 3 . 7
…………………………12 分

数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 19、 (本小题满分 12 分)

(1)连接 BM ,矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, M 为 CD 中点, AM ? BM ? 2 , 由勾股定理得 BM ? AM ; …………………………………………2 分 平面 ABCM ? AM , BM ? 平面

折起后,平面 ADM ? 平面 ABCM ,且平面 ADM

ABCM ;
得 BM ? 平面 ADM , 又 AD ? 平面 ADM ,所以 AD ? BM ; (2)在 BDM 中,作 EF // BM 交 DM 于 F . (1)中已证明 BM ? 平面 ADM ,? EF ? 平面 ADM , …………………………………………4 分 ……………………………………6 分

EF 是三棱锥 E ? MAD 的高.

………………………………………………8 分

1 1 2 VM ? ADE ? VE ? MAD ? ( AD DM ) ? EF ? , 3 2 12

? EF ?

2 2

……………………………………………………………10 分

? DMB 中 BM ? 2 ,且 EF // BM , ? EF 为中位线, E 为 BD 的中点
(本小题满分 12 分) 20、 (1) Q 在线段 PF 的垂直平分线上,所以 QP ? QF ; 得 QE ? QF ? QE ? QP ? PE ? 4 , 又 EF ? 2 3 ? 4 ,得 Q 的轨迹是以 E , F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. ……………………………………12 分

x2 ? : ? y2 ? 1. 4

…………………………………………4 分

(2)由点 A 在一象限, B 与 A 关于原点对称,设 AB : y ? kx(k ? 0)

8

1 CA ? CB ,? C 在 AB 的垂直平分线上,? CD : y ? ? x . k

? y ? kx ? 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4 , ?x 2 ? y ? 1 ? ?4

AB ? 2 OA ? 2 x 2 ? y 2 ? 4
?

k 2 ?1 k 2 ?1 OC ? 2 , 同理可得 ,……………6 分 4k 2 ? 1 k2 ? 4
……………………8 分

S

ABC

1 (k 2 ? 1) 2 4(k 2 ? 1) AB CO ? 4 ? 2 (4k 2 ? 1)(k 2 ? 4) (4k 2 ? 1)(k 2 ? 4)

(4k 2 ? 1)(k 2 ? 4) ?
所以 S ?

4k 2 ? 1 ? k 2 ? 4 5(k 2 ? 1) ? ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 2 2
………………………………………………………………………11 分

8 , 5

当 AB : y ? x 时 S min ?

8 . 5

…………………………………12 分

21、 (本小题满分 12 分) (1) x ? 0 时, f ?( x) ? 2e x ? 2 x ? 2a ,

y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, f ?(1) ? 0,? a ? 1 ? e , …………………………………3 分
此时, f ?( x) ? 2e ? 2x ? 2 ? 2e ? 2(e ? e) ? 2( x ?1) ,
x x

f ??( x) ? 2ex ? 2 ? 2(ex ?1) ? 0,( x ? 0) ,
f ?( x ) 在 (0, ??) 递增,
又 f ?(1) ? 0 , x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 .

f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减,
y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值. 符合题意? a ? 1 ? e .
(2)存在 x ? (0, ??) ,使得 f ( x) ? ? f (? x) , 即 2e ? ( x ? a) ? 3 = ?( x ? 3ax ? a ?3) ,
x 2 2 2

……………………………5 分

即存在 x ? (0, ??) ,使得 a ?

2e x . x

…………………………………………7 分

9

令 h( x ) ?

2e x 2e x ( x ? 1) , ( x ? 0) , , ( x ? 0) , 则 h?( x) ? x2 x

h?( x) ? 0 时, x ? 1 ; h?( x) ? 0 时, 0 ? x ? 1 ;

h( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增,

………………………………9 分

h( x)min ? h(1) ? 2e ,

……………………………………………………………………10 分

2e x ? ?? ; 且 x ? 0 时 ( x ? 0) , h( x) ? x
所以只需 a ? 2e . 22、 (本小题满分 10 分) (1)证明:

………………………11 分

…………………………………………………………12 分

EF // BC ? ?DEF ? ?EBC ? ? ? ?DEF ? ?BAD ? ?DEF ∽?EFA ………5 分 ?BCD ? ?BAD ?
(2) ?EFA ∽?EFD ? FE ? FD ? FA
2

又因为 FG 为切线,则 FG ? FD ? FA
2

所以,EF=FG=1. 23、 (本小题满分 10 分)

……………………10 分

? x ? 3cos ? (1) C ? ? y ? 2sin ?
? ? 1 x ? x ? ? 3 将 ? 1 ? y? ? y ? ? 2

? C:

x2 y 2 ? ?1, 9 4

?

? x ? 3 x? 代 入 C 的 普 通 方 程 得 x?2 ? y?2 ? 1 , 即 ? ? y ? 2 y ?

C? : x2 ? y 2 ? 1;………5 分
(2)设 P( x, y),

A( x0 , y0 ) , 则 x ?

x0 ? 3 y ,y? 0 2 2

所以 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ,即 A(2 x ? 3, 2 y)
2 2 2 2 代入 C? : x ? y ? 1,得 (2x ? 3) ? (2 y) ? 1 ,即 ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 4

AB 中点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 2

1 . 4
10

……………………………10 分

24、 (本小题满分 10 分) (1)解不等式: x ?1 ? x ?1 ? 4

?x ? 1 ? ?2 x ? 4

或?

??1 ? x ? 1 ? x ? ?1 或? ? 1 ? x ? 2 或 ?1 ? x ? 1 或 ?2 ? x ? ?1 , ?2 ? 4 ??2 x ? 4
………………………………5 分

? ?2 ? x ? 2 ? M ? ? ?2, 2? .

(2)需证明: 4(a2 ? 2ab ? b2 ) ? a2b2 ? 8ab ? 16 , 只需证明 a b ? 4a ? 4b ? 16 ? 0 ,
2 2 2 2

即需证明 (a2 ? 4)(b2 ? 4) ? 0 。 证明: a, b ? (?2, 2) ? a2 ? 4, b2 ? 4 ? (a2 ? 4) ? 0,(b2 ? 4) ? 0

? (a2 ? 4)(b2 ? 4) ? 0 ,所以原不等式成立.

……………………………10 分

11


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