4.三角函数的图象与性质(学生)


三角函数图像与性质
一、知识梳理:
1.正弦函数、余弦函数的性质: 函 数 图 象 定 义 域 值 域 奇 偶 性 周 期 性 单 调 性 最 值 {x|x∈R,且 x≠kπ+ π ,k∈Z} 2 R 奇函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

R [-1,1] 奇函数

R [-1,1] 偶函数

最小正周期:2π

最小正周期:2π

最小正周期为 π 在 π ?kπ- ,kπ+π? (k ? ? 2 2? ? ∈Z)内递增

在[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z) π π 在[- +2kπ, +2kπ](k∈Z)上单调递增; 2 2 上单调递增; π 3π 在[2kπ, π+2kπ] (k∈Z)上单 在[ +2kπ, +2kπ] (k∈Z)上单调递减。 2 2 调递减。 π 在 x= +2kπ (k∈Z)时,ymax=1; 2 π 在 x=- +2kπ (k∈Z)时,ymin=-1 2 对称中心(kπ,0)k∈Z π 对称轴 x=kπ+ ,k∈Z 2 在 x=2kπ (k∈Z)时,ymax= 1; 在 x=π+2kπ (k∈Z)时,ymin =-1。 π 对称中心(kπ+ ,0),k 2 ∈Z 对称轴 x=kπ,k∈Z

对 称 性

k? 对称中心( 2 ,0),k
∈Z

2.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的性质如下: R 定义域 值域 周期性 T=____________ φ=____________时是奇函数;__________时是偶函数; kπ 奇偶性 当 φ≠ (k∈Z)时是__________函数 2 单调增区间可由______________________得到, 单调性 单调减区间可由________________________得到 对称轴: 对称性 对称中心: 3.函数 y=sinx 的对称性与周期性的关系. ⑴ 若相邻两条对称轴为 x=a 和 x=b,则 T=
1



⑵ 若相邻两对称点(a,0)和(b,0) ,则 T= . ⑶ 若有一个对称点(a,0)和它相邻的一条对称轴 x=b,则 T= 注:该结论可以推广到其它任一函数. 4.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤



题型一

作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

π 例 1 (2015 高考湖北文)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某 2 一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: π 3π ?x ? ? π 2π 0 2 2 π 5π x 3 6 A sin(? x ? ? ) ?5 0 5 0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位 置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 .......... . 析式; (改编)并画出它的图象。 π (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6 y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

2

课堂小结:(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 φ? ωx+φ=ω? ?x+ω?来确定平移单位. π? ? π ? 课堂练习 1:函数 y=sin? ?2x-3?在区间?-2,π?的简图是

题型二
将函数 y ? sin 4 x 的图象( ) (A)向左平移 (C)向左平移

三角函数图象的变换
? ) 的图象,只需要 3

例 2 (1) (2015 高考山东文) (平移变换)要得到函数 y ? sin (4 x ?

?
12

个单位

(B)向右平移

?
12

个单位

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

π? (2)(先变名再变换)已知 f(x)=sin? ?ωx+3?(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻两交点 间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos 2x 的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 5π 5π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 12 ).

题型三

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式
)

例 3 (2016 全国卷 II 文) 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则(

? ? ? ? (A) y ? 2sin(2 x ? ) (B) y ? 2sin(2 x ? ) (C) y ? 2sin(2 x+ ) (D) y ? 2sin(2 x+ ) 6 3 6 3 变式训练:[2015· 全国卷Ⅰ] 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图 12 所示,则 f(x)的单调 递减区间为( ) 错误!未找到引用源。 图 12
1 3? A.? ?kπ -4,kπ +4?,k∈Z 1 3? B.? ?2kπ -4,2kπ +4?,k∈Z
3

1 3? C.? ?k-4,k+4?,k∈Z

1 3? D.? ?2k-4,2k+4?,k∈Z

题型四
x1 ? x2 ? x3 ?

借用三角函数图象研究问题


例 4 、设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0,2? ] 上恰有三个解 x1 , x 2 , x3 ,则

2.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) ?π 3π? ?π π? ?5π 3π? ?π π? A.?4, 4 ? B.?4,2?∪? 4 , 2 ? C.?4,2? ? ? ? ? ? ? ? ?

?5π 7π? D.? 4 , 4 ? ? ?

3.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则 这个封闭图形的面积是( ) A.4 B.8 C.2π D.4π

三角函数的性质 题型五 三角函数的单调性
π? 例 5 (1) [2015· 温州联考]已知函数 f(x)=2sin? 则 f(x)的单调 ?ωx-6?(ω>0)的最小正周期为 π, 递增区间为( ) π 5π ? A. ? ?kπ+3,kπ+ 6 ?(k∈Z) π π? C. ? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π π? B. ? ?2kπ-6,2kπ+3?(k∈Z) π π? D. ? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z)

π? ?π ? (2) 已知 ω > 0 ,函数 f(x) = sin ? ?ωx+4? 在 ?2,π? 上单调递减,则 ω 的取值范围是 ( 1 5? A.? ?2,4? 1 3? B.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? D.(0,2]

)

4

变 式 训 练 : (2015 · 哈 尔 滨 市 第 六 中 学 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 · 3) 函 数

y ? l o 1g( s i2n xc o s ? c o 2 sx s i n ) 的单调递减区间是( 4 4 2

?

?



5? ), k ? Z 8 8 ? 3? ), k ? Z C. (k? ? , k? ? 8 8
A. (k? ?

?

, k? ?

3? ), k ? Z 8 8 3? 5? D. (k? ? , k? ? ), k ? Z 8 8
B. (k? ?

?

, k? ?

题型六 函数的对称性
π 2π 例 6、[2015 江西高三联考]已知函数 f(x)=sin(ωx+ )-1(ω>0)的最小正周期为 ,则 f(x)的 6 3 图象的一条对称轴方程是( ) π π π π A. x= B. x= C. x= D. x= 9 6 3 2

4π ? 变式训练:(2015· 豫北六校联考)若函数 f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?成中心对称, π? π π 且- <φ< ,则函数 y=f? ?x+3?为( 2 2 π? A.奇函数且在? ?0,4?上单调递增 π? C.偶函数且在? ?0,2?上单调递减 ) π? B.偶函数且在? ?0,2?上单调递增 π? D.奇函数且在? ?0,4?上单调递减

题型七

三角函数的周期性
?
6 2? ) ? 1, 则函数 y ? f ( x ) 的最小正周期为 3

例 7、 (周 期性 ) ( 1 ) (2015 徐州、连云 港、宿迁三 市高三第三 次模 拟 9) 已知函 数
f ( x ) ? sin(?x ? )(0 ? ? ? 2), 若 f (

.

变 式 训 练 :( ( 绵 阳 市 高 中 2015 届 第 三 次 诊 断 性 考 试 · 3) 己 知 函 数 的图象在同一直角坐标系中对称轴相同,则 ? 的值为 ( ) (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)

1 2

题型八 三角函数的最值
5

π?? π π? 例 8.(1)求函数 y=2sin ? ?2x+3??-6<x<6?的值域; (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域.

变式训练: (2016 全国卷 II 文) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

π ? x) 的最大值为 2

3、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______

家庭作业
π 1 1. (2016 全国卷 I 文) (6)将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应 的函数为( ) π π π (B)y=2sin(2x+3) (C)y=2sin(2x–4) (D)y=2sin(2x–3)

π (A)y=2sin(2x+4)

2. (2013 年高考四川卷(理) )函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 如图所示,则 ? , ? 的值分别是( )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象

6

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

3.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 求函数 f(x)的解析式;

?
2

) 的部分图像如图 5 所示.(Ⅰ)

4.方程 sin x = A、7

x 的根的个数为( 10



B、8

C、9

D、10

2 ?π? 5.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f? ?=- ,则 f(0)= 2 3 ? ? 2 A.- 3 1 B.- 2 C. 2 3 1 D. 2

6、(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 单调递增,则 ω 的取值范围是( 2 0, ? A.? ? 3? 3 0, ? B.? ? 2? ). 3 ? C.? ?2,+∞?

π π? ωx ωx cos 在区间? ?-3,3?上 2 2

D.[1,+∞)

7. (2016 浙江文) 已知 2cos 2 x ? sin 2 x ? Asin( ?x ? ?) ? b( A ? 0) , 则 A ? ______. b=_____. 8. (15 年天津文科)已知函数

f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R,

若函数 f ? x ? 在区 .

间 ? ??, ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 9. (15 年江苏)已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

1 ,则 tan ? 的值为_______.10. (2016 7 山东文)设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 .
(I)求 f ( x) 得单调递增区间;

7

(II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的 图象向左平移

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6

8


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