高中数学一轮复习随堂训练 第8讲 《离散型随机变量的期望与方差、正态分布》人教版选修2-3


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第 8 讲 离散型随机变量的期望与方差、正态分布

随堂演练巩固

1.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需 再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( )

A.100

B.200

C.300 D.400

【答案】 B

【解析】 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设没有发

芽的种子数为? ? 则? -B(1 000,0.1),∴ E(? ) ? 1 000? 0 .1=100,故需补种的期望为

2E(? ) ? 200.

2.已知

?

-

B(n?

1 2

)??

-

B(n?

13)?



E(?

)

?

15?



E

(?

)

等于(

)

A.15

B.20

C.5

D.10

【答案】 D

【解析】

∵? - B(n? 1)? 有 E(? ) ? 2

n 2

?



E

(?

)

?

15?

∴n=30.

又? - B(n? 13)?



E

(?

)

?

30

?

1 3

?

10?

故选

D.

3.在正态分布

N

(0?

1 9

)

中,数值落在

(???

?1)

?

(1? ??)

内的概率为(

)

A.0.097

B.0.046 C.0.03

D.0.002 6

【答案】 D

【解析】

∵?

? 0??

?

1 3

?



?

?

3?

? ?1? ? ? 3?

?1.

∴随机变量在(-1,1)内取值的概率约为 99.74%,

∴数值落在 (??? ?1) ? (1? ??) 内的概率为 0.002 6.

4.已知正态总体落在区间(0. 2? ??) 内的概率是 0.5,那么相应的正态曲线 f(x)在 x=

时,达到最高点.

【答案】 0.2

【解析】 由正态曲线的对称性可知,在对称轴左右两边的概率相等,即

P(x ? ?) ? P(x ? ?) ? 1 ? 且在 x ? ? 处曲线达到最高点,故 x ? ? ? 0 .2. 2

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课后作业夯基

基础巩固

1.设随机变量 X- N (2? 22 )? 则 D(1 X ) 等于( ) 2

A.1

B.2

C. 1

D.4

2

【答案】 A

【解析】 ∵X- N (2? 22 )? ∴? ? 2 .∴D(X)=4.



D(

1 2

X

)

?

1 4

D(

X

)

?

4

?

1 4

?

1.

2.设随机变量

X

的分布列为

P(X

?

k)

?

c k

?k

? 1? 2? c

为常数,则

D(X)等于(

)

A. 4 3
【答案】 C

B.2

C. 2

9

D. 16 9

【解析】

∵c?

c 2

? 1? ∴ c

?

2 3

.

于是 E ( X ) ? c ? 2? c ? 2c ? 4 ? D( X ) ? 2 ? (1? 4)2 ? 1 ? (2 ? 4)2 ? 2 .

2

3

3

33

39

3.若随机变量? 的分布列如下表,则下列说法正确的是( )

A. p1 及 E(? ) 无法计算

B.

p1

?

0?

E(? )

?

4 3

C.

p1

?

1 6

?

E(? )

?

4 3

【答案】 C

D.

p1

?

1 6

?

E(?

)

?

3 2

【解析】



p1

?

1 3

?

1 2

? 1? 得 p1 ?

1. 6

∴ E(? )

? 1?

1 3

?

2

?

1 2

?

4 3

.

4.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利 50 元,生产出一件乙等品可获利 30

元,生产一件次品,要赔 20 元,已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为 0.6、

0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期可获利( )

A.36 元

B.37 元

C.38 元

D.39 元

【答案】 B

【解析】 设可获利 X 元,则

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E(X)=0. 6? 50 ? 0 . 3? 30 ? 0 .1? (?20) ? 37( 元). 5.某地区数学考试的成绩 x 服从正态分布,其密度函数曲线如图:成绩 x 位于区间(52,68]上
的概率是( )

A.0.954 4 【答案】 B

B.0.682 6

C.0.997 4

D.0.432 3

【解析】 ∵x 服从正态分布,设其密度函数 f (x) ?

1

e?

(

x?? )2 2? 2

?

由图形知:

?

?

60? 顶点

2??

为 (60? 1 )? ∴ ? 8 . 8 2?

设 x 位于区间(52,68]上的概率为 P(52 ? x ? 68) ?

P(60-8 ? x ? 60 ? 8) ? P(? ?? ? x ? ? ? ? ) ? 0 .682 6.

6.随机变量? 的分布列为

那么 E(5? ? 4) 等于( )

A.15 【答案】 A

B.11

C.2.2

【解析】 E(? ) ? 1? 0 . 4 ? 2? 0 . 3 ? 4? 0 .3=2.2,

D.2.3

则 E(5? ? 4) ? 5E(? ) ? 4 ? 15 .

7.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为

10,方差为 2,则|x-y|的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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【答案】 D 【解析】 由题意

? ? ?

x

?

y

?

10 5

?

11 ?

9

?

10?

?1 [(x ?10)2 ? ( y ?10)2 ? 02 ?12 ? (?1)2 ] ? 2?

?5

∴化简得

?

? ?

x

2

?

y2

x? y ? 20(x

? ?

20? ① y) ? 200

?

8?②

①代入②得 x2 ? y2 ? 208?

① 2 得 x2 ? 2xy ? y2 ? 400? ∴2xy=192.
∴ x2 ? 2xy ? y2 ? 16? 即 (x ? y)2 ? 16 .∴|x-y|=4. 8.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败,一年
后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的均值是

元.

【答案】 4 760

【解析】

获利的概率

p1

?

192 200

? 0 .96,

失败的概率

p2

?

8 200

?

0

.04.

∴分布列为

∴ E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? 6 000? 0 .96+0. 04 ? (-25 000)=4 760.

9.若随机变量 X- N (??? 2 )? 则 P( X ? ?) =

.

【答案】 1 2
【解析】 X- N (??? 2 )? 则其密度曲线关于 X ? ? 对称,则 P( X ? ?) ? 1 . 2

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10.若 ?

是离散型随机变量 ? P(?

?

x1 )

?

2 3

?

P(?

?

x2 )

?

1 3



x1

?

x2 ?

又已知

E(?

)

?

4 3

?

D(?

)

?

2 9

?



x1

?

x2

的值为

.

【答案】 3

【解析】

由 E(? ) ?

4 3

?



2 3

x1

?

1 3

x2

?

4. 3





D(?

)

?

2 9

?



( x1

?

4)2 3

?

2 3

?

( x2

?

4)2 3

?

1 3

?

2 9

.



解由①②组成的方程组,得 x1 ? 1? x2 ? 2 .

所以 x1 ? x2 ? 3 . 11.已知随机变量 X 的分布列为:

另一随机变量 Y=2X-3,则 E(Y)=

,D(Y)=

.

【答案】 3 4.8

【解析】 E(Y)=2E ( X ) ? 3 ? 2? (1? 0 .1? 2? 0 . 2 ? 3? 0.4+

4? 0 . 2 ? 5? 0 .1) ? 3 ? 2? 3 ? 3 ? 3?

D(Y ) ? 22 ? D( X )

? 22 ?[(1? 3)2 ? 0 .1 ?(2 ? 3)2 ? 0 .2 ?(3 ? 3)2 ? 0.4+ (4 ? 3)2 ? 0 .2 ?(5 ? 3)2 ? 0 .1]

? 4 ? (0 .4+0.2+0.2+0.4)=4.8.

12.设? 服从 N(0,1),求下列各式的值.

(1 )P(?1 ? ? ? 1) ; (2)P(? ? 0) ; (3)P(? ? 0) ; (4)P(? ? 2) .

【解】 由题意知:? -N(0,1),

∴ ? ? 0?? ? 1.

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(1 )P(?1 ? ? ? 1) ? P(0 ? 1<? ? 0 ?1) ? P(? ?? ? ? ? ? ? ? ) ? 0 .682 6.

(2) P(? ? 0) ? P(? ? 0)? 又图形与 x 轴所围的面积为 1,

∴ P(? ? 0) ? P(? ? 0) ? 1.∴ P(? ? 0) ? 1 . 2
(3)P(? ? 0) ? P(? ? 0)?

∵ P(? ? 0) ? P(? ? 0) ? 1? ∴ P(? ? 0) ? 1 . 2
(4 )P(?2 ? ? ? 2) ? P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0 .954 4,

∴ P(0 ? ? ? 2) ? 1 P(?2 ? ? ? 2) ? 0 .477 2. 2
∵ P(? ? 0) ? 1 ? 2
∴ P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? P(0 ? ? ? 2) ? 0 .022 8.

13.(2011 江西高考,理 16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工 资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月 工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2 800 元;否则月工资定为 2 100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力.
(1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 【解】 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,

P(X

?

i)

?

Ci4C44?i C84

(i

?

0?1?

2,3,4),



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(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500,



P(Y=3

500)=P ( X

?

4)

?

1? 70

P(Y=2 800)=P ( X ? 3) ? 8 ? 35

P(Y=2

100) ?

P( X

? 2) ?

53 70

?

E(Y)=3 500? 1 ? 2 800? 16 ? 2 100? 53 ? 2 280,

70

70

70

所以新录用员工月工资的期望为 2 280 元.

拓展延伸

14.(2011 陕西高考,理 20)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2? 据统计,通过两条路 径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望. 【解】 (1) Ai 表示事件”甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,i=1,2,
Bi 表示事件”乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P( A1) ? 0 .1+0.2+0.3=0. 6? P( A2 ) ? 0 .1+0.4=0.5,
∵ P( A1) ? P( A2 )? ∴甲应选择 L1 ;
P(B1) ? 0 .1+0.2+0.3+0.2=0. 8? P(B2 ) ? 0 .1+0.4+0.4=0.9,
∵ P(B2 ) ? P(B1)? ∴乙应选择 L2 . (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,
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由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9, 又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P( A B )=P( A )P( B )=0. 4? 0 .1=0.04, P(X=1)=P( A B ? A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B ) =0. 4? 0 .9+0. 6? 0 .1=0.42, P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0. 6? 0 .9=0.54. ∴X 的分布列为
∴ E( X ) ? 0? 0 . 04 ?1? 0 . 42 ? 2? 0 .54=1.5.
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